Estimateurs cyclostationnaires

Les signaux cyclostationnaires peuvent s’´ecrire sous forme de s´erie de Fourier [GAR 75] : x(t) =

∑

k

c_k(t)e^j2πkαtt (3.5)

o`u les coefficients de Fourier c<sub>k</sub>(t) sont des signaux al´eatoires conjointement stationnaires et les fonctions de base sont exprim´ees dans le domaine temporel et d´ependent de la fr´equence cyclique α<sub>t</sub>. L’indice t dans cette notation nous permettra de diff´erencier dans la suite cette fr´equence cyclique exprim´ee en Hertz de l’ordre cyclique α<sub>θ</sub>exprim´e en nombre d’´ev`enements par tour.

Positionnement du probl`eme : de la cyclostationnarit´e `a la cyclo-non-stationnarit´e

3.2.2.1 Caract´erisation `a l’ordre 1

La caract´erisation de la cyclostationnarit´e `a l’ordre 1 consiste `a estimer la composante p´eriodique d’un signal cyclostationnaire, associ´ee `a des ph´enom`enes de nature d´eterministe. L’outil ad´equat est la moyenne synchrone, introduite pr´ec´edemment pour d´efinir la cycloergo-dicit´e.

L’estimation de la moyenne synchrone du signal `a temps discret x[n] de dur´ee L finie, ob-serv´ee sur K cycles de N= L

K ´echantillons chacun est donn´ee par [ANT 04a] :

ˆ m_x[n] = ¹ K K−1

∑

k=0 x[m + kN] (3.6)

avec m= n − b_NⁿcN o`u bzc correspond `a la plus grande valeur enti`ere inf´erieure ou ´egale `a z. Il convient de remarquer que la moyenne temporelle synchrone d’un signal cyclostationnaire reste un signal, alors que la moyenne temporelle d’un signal stationnaire est un scalaire.

Dans le cas de signaux poly-cyclostationnaires, la moyenne synchrone permet d’extraire chaque composante p´eriodique dans la contribution d´eterministe du signal. Pour nos syst`emes m´ecaniques d’int´erˆet, la moyenne synchrone permet entre autres de s´eparer les composantes p´eriodiques d’un engrenage ou d’une ligne d’arbre.

Le calcul de la moyenne synchrone n´ecessite la connaissance de la p´eriodicit´e de la compo-sante d’int´erˆet, pouvant ˆetre d´etermin´ee par le cepstre par exemple. La p´eriode doit ˆetre stricte-ment constante au cours du signal, ce qui rend naturel le calcul de la moyenne synchrone dans le domaine angulaire pour avoir un nombre de points constant par tour de l’arbre de r´ef´erence (suppression de l’effet des fluctuations de vitesse sur l’´echantillonnage). La section 3.2.3.1 trai-tera de la cyclostationnarit´e dans le domaine angulaire.

3.2.2.2 Caract´erisation `a l’ordre 2

La cyclostationnarit´e `a l’ordre 2 est essentiellement issue de ph´enom`enes de nature al´eatoire et concerne les signaux dont l’´energie est p´eriodique. La caract´erisation de la cyclostationna-rit´e `a l’ordre 2 peut s’effectuer `a la fois dans le domaine temporel et dans le domaine fr´equentiel. La caract´erisation de la cyclostationnarit´e `a l’ordre 2 dans le domaine temporel fait appel `a l’estimation de la fonction d’autocorr´elation instantan´ee (forme assym´etrique) :

R_xx(t, τ) = E[x(t)x^∗(t − τ)] (3.7)

Un signal cyclostationnaire au second ordre v´erifie R_xx(t, τ) = Rxx(t + T, τ) pour tout t, T ´etant la p´eriode cyclique.

En centrant la fonction d’autocorr´elation instantan´ee on obtient la fonction d’autocovariance synchrone :

Pour un signal cyclostationnaire, la fonction d’autocovariance synchrone est obtenue en retranchant la moyenne synchrone c’est-`a-dire la partie p´eriodique du signal. Dans la suite on s’int´eressera `a l’exploitation de la fonction d’autocorr´elation instantan´ee, `a partir du signal contenant donc `a la fois la cyclostationnarit´e d’ordre 1 et d’ordre 2.

La fonction d’autocorr´elation instantan´ee admet une d´ecomposition en s´erie de Fourier, dont les coefficients Rαt

x (τ) forment l’autocorr´elation cyclique du signal : R_x(t, τ) =

∑

αt Rαt

x (τ)e^{2π jαtt} (3.9)

Si cette autocorr´elation cyclique est non nulle uniquement pour la valeur α_t = 0, l’auto-corr´elation instantan´ee ne d´epend pas de t et le signal est stationnaire. Si elle est non nulle pour des valeurs discr`etes de α<sub>t</sub>, l’autocorr´elation instantan´ee est p´eriodique et le signal est cyclostationnaire `a l’ordre 2. Si elle est non nulle quel que soit α_t, le signal est non-stationnaire. La transform´ee de Fourier de l’autocorr´elation cyclique donne la densit´e spectrale cyclique

Sαt

x ( f ) =

F

τ→ f

{Rαt

x (τ)} (3.10)

`a partir de laquelle le cepstre cyclique est d´efini (cf. ´equation (2.3)).

A partir de l’autocorr´elation du signal, la caract´erisation de la cyclostationnarit´e `a l’ordre 2 peut s’effectuer dans le domaine fr´equentiel par transformation de Fourier par rapport `a la variable de retard τ qui donnera sa fr´equence spectrale f (qui repr´esente la porteuse) et par transformation de Fourier par rapport `a la variable temporelle t qui donnera sa fr´equence cy-clique αt. Cette fr´equence cyclique d´ecoule des propri´et´es de cyclostationnarit´e du signal. Une repr´esentation en fr´equences spectrale et cyclique est donn´ee par la corr´elation spectrale :

S_xx(αt, f ) =

F

t→α_t n

F

τ→ f {R_xx(t, τ)}^o (3.11)

qui peut ´egalement s’exprimer sous la forme : S_xx(αt, f ) = lim W→∞ 1 W^E h

F

W{x(t)}^∗

F

W{x(t)e^{− j2παtt}}ⁱ (3.12) o`u

F

W d´esigne la transform´ee de Fourier sur un intervalle de temps W fini.

Pour mesurer l’intensit´e de la corr´elation entre les incr´ements spectraux X( f ) et X( f + α_t) on utilise la coh´erence spectrale γ_xx(αt, f ) d´efinie par :

γ_xx(αt, f ) = ^{Sxx(αt, f )}

[Sxx(0, f )Sxx(0, f + αt)]1/2 (3.13) Comme indiqu´e par Antoni [ANT 07a], la coh´erence spectrale pr´esente l’avantage d’ˆetre ind´ependante du spectre de puissance du signal. Elev´ee au carr´e, |γ_xx(αt, f )|2 est normalis´ee

Positionnement du probl`eme : de la cyclostationnarit´e `a la cyclo-non-stationnarit´e

entre 0 et 1. Dans le cas des processus stationnaires, la fonction de coh´erence γ_xy( f ) donne une mesure du degr´e de similarit´e en fr´equence existant entre deux signaux temporels. La g´en´eralisation au cas des processus cyclostationnaires permet l’analyse aux fr´equences cycliques α_t 6= 0. Pour une fr´equence cyclique αt donn´ee, une coh´erence spectrale proche de 1 indique que le signal est fortement cyclostationnaire `a cette fr´equence cyclique. A l’inverse, une coh´erence proche de 0 indique que le signal n’est pas cyclostationnaire pour cette fr´equence cyclique α_t.

Dans cette section les outils sont pr´esent´es `a partir de l’autocorr´elation, on obtient alors des auto-corr´elations et auto-coh´erences spectrales. Ces grandeurs sont g´en´eralisables `a deux signaux x(t) et y(t) distincts. Une valeur de coh´erence spectrale γxy(αt, f ) proche de 1 indiquera alors que les deux signaux sont fortement conjointement cyclostationnaires `a la fr´equence cyclique α_t.

D’autres outils de caract´erisation de la cyclostationarit´e `a l’ordre 2 existent et sont largement d´ecrits dans la litt´erature [ANT 07a] [PRU 09]. Nous nous sommes volontairement focalis´es ici uniquement sur les outils qui seront dans la suite ´etendus dans le cadre de l’approche cyclostationnaire angle/temps pr´esent´ee `a la section 3.3 et exploit´ee pour la d´etection et l’extraction du bruit de grenaille.

Antoni [ANT 07a] donne une comparaison de diff´erents estimateurs pour la corr´elation spectrale, avec des consid´erations pratiques en termes de r´esolution ou de longueur de recouvre-ment par exemple. L’estimateur le plus couramrecouvre-ment utilis´e en raison de son efficacit´e algorith-mique est le p´eriodogramme cyclique moyenn´e (appel´e m´ethode de Welch [WEL 67] lorsque α_t = 0). Soit w[n]^Nw−1_n=0 une fenˆetre de longueur N_w ´echantillons et soit w_k[n] = w[n − kR_d] sa version d´ecal´ee de R_d ´echantillons, o`u R_d est pris entre 1 et N_wpour permettre un recouvrement entre les blocs adjacents. Le p´eriodogramme cyclique moyenn´e est alors d´efini par :

ˆ S_xx(αt, f ) = ¹ KW K−1

∑

k=0 TFTD {w_k[n]x[n]}^∗TFTDw_k[n]x[n]e^{− j2παtn} (3.14) avec TFTD {w_k[n]x[n]} = ∆t Nw−1

∑

n=0 w_k[n]x[n]e^{j2πn f ∆t} (3.15)

la transform´ee de Fourier `a temps discret (TFTD) de la k<sup>e</sup> s´equence w<sub>k</sub>[n]x[n], o`u ∆t est la p´eriode d’´echantillonnage temporelle, K est le nombre total de segments moyenn´es, choisi comme ´etant le plus grand entier plus petit ou ´egal `a (N − Nw)/Rd+ 1, o`u N est le nombre d’´echantillons temporels et W = N∆t.

A partir de l’estimateur de la corr´elation spectrale on peut estimer la coh´erence spectrale : ˆγ_xx(αt, f ) = ^{Sˆxx(αt, f )}

La r´ef´erence [ANT 07a] indique les pr´ecautions `a prendre dans les choix des param`etres afin de r´eduire le biais de l’estimateur. La condition de calibrage impose ||w||²= ∑_nw[n]2= 1. Pour limiter les interf´erences entre les fr´equences cycliques adjacentes (cyclic leakage), la lon-gueur de recouvrement pour les fenˆetres de Hanning et Hamming doit v´erifier R_d ≤ N_w/3. La r´esolution en fr´equence cyclique d´epend alors essentiellement de la dur´ee d’acquisition en v´erifiant ∆α_t ∼ 1/(N∆t). En d’autres termes, plus le temps d’acquisition est long, plus la r´esolution en fr´equence cyclique pourra ˆetre fine. Antoni [ANT 09] indique que la variance de l’estimateur d´ecroit selon le produit W ∆ f , il convient donc de v´erifier la condition W ∆ f  1, ou de fac¸on ´equivalente ∆ f  ∆α_t. Les signaux d’int´erˆet pour la corr´elation spectrale ´etant al´eatoires, ils ne n´ecessitent pas une r´esolution fine en fr´equence, ce qui est compatible avec cette derni`ere condition.

Dans le document Détection et extraction des bruits de type grenaille des boîtes de vitesses par approche cyclostationnaire angle/temps (Page 85-89)