Etape 2 : identification aveugle de h(t)

L’´etape suivante consiste `a identifier la r´eponse impulsionnelle du syst`eme et a fortiori `a acc´eder `a sa fonction de transfert. Sa connaissance est en particulier utile pour identifier les r´esonances de la structure, estimer ses amortissements (suppos´es modaux) ou encore alimenter et valider des mod`eles num´eriques.

2.3.2.1 Estimation du module |H( f )|

Suite `a l’´etat de l’art r´ealis´e sur les techniques d’identification aveugle, nous choisissons d’utiliser le cepstre [HAN 06]. Diff´erentes composantes d’un signal peuvent ˆetre utilement lo-calis´ees dans le cepstre :

– le premier ´echantillon du cepstre contient la partie blanche du signal (tout comme l’auto-corr´elation d’un bruit blanc qui aura l’essentiel de son ´energie confin´ee `a l’origine), – une excitation large bande `a spectre plat est localis´ee sur les premi`eres qu´efrences, proche

de l’origine,

– le cepstre d’un signal compos´e d’harmoniques contient des pics sur une large bande de qu´efrence et fait ressortir leur p´eriodicit´e,

– la r´eponse impulsionnelle d’un syst`eme se retrouve dans les basses qu´efrences, – le bruit est distribu´e sur l’ensemble des qu´efrences.

La premi`ere ´etape pr´esent´ee `a la section 2.3.1 a permis d’extraire les parties harmoniques de l’excitation et d’obtenir une estimation de x_f(t) = h(t) ∗ r(t) + b(t). Son cepstre ˜xf(τ) est donn´e en figure 2.5.

En mettant `a 0 le premier ´echantillon du cepstre de x<sub>f</sub>(t) (qui correspond `a l’excitation al´eatoire r(t)) et en lissant par fenˆetrage les qu´efrences ne contenant que du bruit (ici estim´ees au-del`a des 300 premiers ´echantillons environ), on obtient une estimation du cepstre de la r´eponse impulsionnelle. Le liftrage est ici r´ealis´e avec une fenˆetre plate sur les 150 premiers ´echantillons puis une demi fenˆetre de Hanning sur les 150 ´echantillons suivants. Un liftrage avec une exponentielle d´ecroissante pourrait ´egalement ˆetre appliqu´e [RAN 12].

Estimation de fonction de transfert par exploitation des domaines temporels et angulaires

FIGURE2.5: Cepstre de xf(t).

Par d´efinition du cepstre de puissance (´equation (2.1)), le module de la fonction de transfert est estim´e par :

|H( f )| = e^{T F[˜h(τ)]} (2.7)

La figure 2.6 (a) donne une comparaison du module th´eorique de la fonction de transfert consid´er´ee avec celui obtenu par la m´ethode du cepstre en consid´erant d’une part un syst`eme sans ajout de bruit additif (b(t) = 0) et d’autre part avec prise en compte du bruit additif avec un rapport signal `a bruit de 20 dB. Les trois modules sont normalis´es `a ´energie unitaire et repr´esent´es sur la bande de fr´equence[0 − fe/2] Hz.

Dans le cas de l’estimation sur le syst`eme non bruit´e, on observe que le module est tr`es bien estim´e sur l’ensemble de la bande fr´equentielle : la fr´equence de r´esonance est bien identifi´ee et les niveaux d’amplitude sont bien retrouv´es. Dans le cas o`u on consid`ere le bruit additif b(t), la fr´equence de r´esonance est bien identifi´ee mais les amplitudes sont moins bien retrouv´ees au del`a de 5000 Hz, avec par exemple un ´ecart d’environ 4 dB `a 10000 Hz. Cette observation semble dˆue au fait qu’on consid`ere un syst`eme avec une unique r´esonance localis´ee `a 1968 Hz, ce qui implique qu’en haute fr´equence le spectre du signal x<sub>f</sub>(t) n’est pratiquement dˆu qu’au bruit large bande b(t). La figure 2.6 (b) consid`ere un cas de fr´equence de r´esonance `a 6968 Hz. On observe que l’estimation sur la simulation avec b(t) est am´elior´ee, les amplitudes sont mieux retrouv´ees. On remarquera en revanche que le module estim´e reste plus bruit´e que le module th´eorique car les basses qu´efrences conserv´ees apr`es liftrage passe-bas contiennent ´egalement du bruit, elles ne contiennent pas uniquement la r´eponse impulsionnelle.

Pour l’application industrielle d’int´erˆet, les modes propres des boˆıtes de vitesses ´etant assez nombreux sur une large bande fr´equentielle, nous nous consid´erons en situation favorable par rapport au bruit additif.

0 0.5 1 1.5 2 x 10⁴ −80 −70 −60 −50 fréquence (Hz) 20log10(.) Théorie Estimation sans b(t) Estimation avec b(t) (a) 0 0.5 1 1.5 2 x 10⁴ −65 −60 −55 −50 fréquence (Hz) 20log10(.) théorie estimation (b)

FIGURE2.6: Comparaison du module th´eorique (tirets noirs) avec le module estim´e pour un cas sans bruit additif (pointill´es bleus) et un cas de rapport signal `a bruit de 20 dB (courbes rouges) pour un syst`eme avec une unique r´esonance `a 1968 Hz (a) puis `a 6968 Hz (b). Les modules sont normalis´es `a

´energie unitaire.

2.3.2.2 Estimation de la phase φ( f )

A partir de la connaissance du module et en l’absence d’autres informations utiles, l’estimation de la phase peut se faire en exploitant l’hypoth`ese de syst`eme `a minimum de phase¹.

A temps continu, le syst`eme introduit au chapitre 1 (page 30) est par construction `a minimum de phase, c’est-`a-dire que sa r´eponse impulsionnelle et son inverse sont causaux et stables. Pour conserver un syst`eme `a phase minimale apr`es discr´etisation de h(t) en h[n], il convient de d´ecaler d’un ´echantillon h[n] et de mettre `a 0 le dernier ´echantillon. Un tel syst`eme n’est alors plus physique car une discontinuit´e est cr´e´ee en n= 0, mais il permet de tester et expliquer correctement la m´ethode propos´ee dans ce chapitre.

Par construction, le syst`eme consid´er´e ici est donc `a minimum de phase. Nous supposerons par la suite que nos syst`emes m´ecaniques d’int´erˆet peuvent ˆetre consid´er´es `a minimum de phase, hypoth`ese assez classique et entre autres propos´ee dans les r´ef´erences [GAO 96b] et [HAN 06]. Cela implique que la phase de la fonction de transfert φ( f ) est reli´ee `a son module par transform´ee de Hilbert [OPP 75] :

φ( f ) = T H[ln |H( f )|] (2.8)

Les figures 2.7 (a) et (b) donnent une comparaison de la phase th´eorique (courbe noire) du syst`eme consid´er´e avec celle obtenue par la m´ethode du cepstre en consid´erant d’une part un syst`eme sans ajout de bruit additif (b(t) = 0) et d’autre part avec prise en compte du bruit additif

Estimation de fonction de transfert par exploitation des domaines temporels et angulaires

avec un rapport signal `a bruit de 20 dB. Comme pour l’estimation du module, l’estimation de la phase dans le cas du syst`eme avec f0 = 1968 Hz (figure (a)) est bonne dans le cas non bruit´e alors qu’elle est mal reconstruite au del`a d’environ 3000 Hz lorsque du bruit additif est consid´er´e. Lorsque la fr´equence est d´ecal´ee vers les hautes fr´equences (ici `a f₀ = 6968 Hz, figure (b)), l’estimation avec prise en compte du bruit additif est am´elior´ee et la phase est alors estim´ee correctement bien que plus bruit´ee.

0 0.5 1 1.5 2 x 10⁴