Simulation des effets des paramètres de la couche poreuse sur les courbes 3ωsur les courbes 3ω

Si on examine l’équation (5.17), on voit que le comportement du régime linéaire dépend de plusieurs paramètres des échantillons : sa conductivité thermique, la largeur de la ligne métallique, et sa diffusivité thermique. Ce dernier paramètre dépend de la conductivité thermique et du produit ρcp. Nous allons faire varier les valeurs de ces paramètres pour voir comment ils affectent l’allure de la courbe 3ω.

Nous avons donc utilisé le modèle présenté à la section 5.7.2 pour simuler un bicouche formé d’une couche de carbure de silicium poreux sur un substrat semi-infini de SiC massif. Les valeurs utilisées pour les simulations sont données par le tableau 5.3. Certaines simulations utilisent des valeurs différentes, notamment pour l’épaisseur de la conductivité thermique du substrat. Dans ce cas les valeurs sont spécifiées pour cette simulation spécifique.

Tableau 5.3 Valeurs utilisées pour les simulations de mesures 3ω sur des matériaux multi-couches, sauf mention contraire pour une simulation spécifique

Variable Description Valeur

P Puissance dissipée. Ici la puissance dissipée par un courant

de 15 mA dans une ligne de résistance de 65 Ω ^{0.0073 W} l Longueur de la ligne métallique 2.9 ×10−3 m 2b Largeur de la ligne métallique 7 ×10−6 m d₁ Épaisseur de la couche poreuse 50 ×10−6 m d₂ Épaisseur du substrat Semi-infinie ρ₁c_p1 Produit de la densité et de la capacité calorifque de la

couche poreuse. Ici on suppose une couche de porosité 70%, donc on prend 0.3 x la valeur du substrat

0.3 × 675 × 3210 J.K−1.m−3

ρ₁c_p2 Produit de la densité et de la capacité calorifque du

substrat, nécessaire pour le calcul de D ^{675 × 3210}J.K−1.m−3

κx1 Conductivité thermique « in-plane » de la couche poreuse 1 W.m−1.K−1

κ_x2 Conductivité thermique « in-plane » du substrat 490 W.m−1.K−1

κ_y1 Conductivité thermique « cross-plane » de la couche

poreuse ^{= κx1}

κ_y2 Conductivité thermique « cross-plane » du substrat = κx2

La première simulation considère une couche poreuse ayant une conductivité thermique de 1 W.m−1.K−1 et différentes épaisseurs. Ces résultats sont présentés à la figure 5.16a. En plus des courbes 3ω simulées, nous avons tracé (en pointillés) des droites qui ont la même pente que le régime linéaire qu’on obtiendrait si la couche poreuse avait une épaisseur semi-infinie. On voit que la pente du pseudo-régime linéaire est voisine de celle de la droite dont la pente correspond à 1 W.m−1.K−1, et la différence avec les autres droites est marquée. L’épaisseur de la couche n’affecte pas la pente du régime linéaire correspondant. Par contre, plus la couche est épaisse, plus ce régime linéaire s’étend vers les basses fréquences. De plus dans le régime linéaire correspondant au substrat de SiC massif, le ∆T est plus élevé lorsque la couche poreuse est plus épaisse. À la figure 5.16b nous avons tracé la pente de ces mêmes courbes en fonction de la fréquence. Cela confirme les observations faites sur la figure 5.16a.

1 0 ⁰ 1 0 ¹ 1 0 ² 1 0 ³ 1 0 ⁴ 1 0 ⁵ 0 1 2 3 4 é p a i s . ( µ m ) : ép ais . (µ m ): a ) 1 W / ( m K ) 0 . 5 W / ( m K ) 2 W / ( m K ) 1 0 W / ( m K ) 5 0 0 W / ( m K ) 1 0 0 5 0 2 0 5 ∆ T ( K ) F r é q u e n c e ( H z ) 1 0 1 0 0 5 0 2 0 1 0 5

Figure 5.16 a) ∆T en fonction de la fréquence pour différentes épaisseurs d’une couche avec κ = 1 W.m−1.K−1, sur un substrat de SiC massif. L’épaisseur de la couche est indiquée sur la courbe en µm. Les pointillés correspondent au régime linéaire qui serait obtenu avec une couche d’épaisseur infinie pour différentes valeurs de conductivité thermique. b) La pente de ces mêmes courbes en fonction de la fréquence. Les autres paramètres de simulation sont 2b = 7 µm, ρcp = 30% de celui du SiC massif (donc une porosité de 70%)

Le fait que le régime linéaire soit plus étendu vers les basses fréquences pour les couches poreuses plus épaisses est normal. D’après l’équation 5.12, lorsque la fréquence diminue, la profondeur de pénétration thermique augmente. En augmentant l’épaisseur d’une couche, on augmente également son étendue vers les basses fréquences. Le ∆T observé à basse fréquence dans le régime linéaire correspondant au substrat augmente avec l’épaisseur de la couche poreuse, puisque plus la couche poreuse est épaisse, plus sa résistance thermique est grande, et donc le ∆T correspondant est plus élevé (voir équation 1.2).

Nous avons ensuite fixé l’épaisseur de la couche à 20 ou 50 µm, et avons simulé les courbes 3ω pour différentes conductivités thermiques de la couche poreuse. Ces courbes sont présentées à la figure 5.17. Encore une fois, nous avons également tracé des droites ayant la pente qu’aurait le régime linéaire si la couche poreuse avait une épaisseur semie-infinie. Ici aussi on voit que la pente du pseudo-régime linéaire est proche de celle qu’on obtiendrait avec une couche semi-infinie. Par contre l’écart entre le bicouche et la couche semi-infinie est plus élevée pour l’épaisseur de 20 µm que 50 µm. Donc, la pente du pseudo-régime linéaire semble être représentative de la conductivité thermique de la couche poreuse.

1 0 ⁰ 1 0 ¹ 1 0 ² 1 0 ³ 1 0 ⁴ 1 0 ⁵ - 1 0 1 2 3 4 5 6 É p a is s e u r : 5 0 µ m a ) 2 W / ( m . K ) 1 W / ( m . K ) ∆ T ( K ) F r é q u e n c e ( H z ) 0 . 5 W / ( m . K ) 1 0 ⁰ 1 0 ¹ 1 0 ² 1 0 ³ 1 0 ⁴ 1 0 ⁵ - 1 0 1 2 3 4 5 6 É p a is s e u r : 2 0 µ m b ) 2 W / ( m . K ) 1 W / ( m . K ) ∆ T ( K ) F r é q u e n c e ( H z ) 0 . 5 W / ( m . K )

Figure 5.17 ∆T en fonction de la fréquence pour différentes valeurs de conductivité thermique d’une couche sur SiC poreux sur substrat de SiC massif. L’épaisseur de la couche est a) 50 µm et b) 20 µm. La valeur de κ est indiquée sur la courbe, les traits pleins correspondent à la simulation du bicouche et les pointillés correspondent au régime linéaire qui serait obtenu avec une couche d’épaisseur infinie. On a pris 2b = 7 µm et la couche a un ρcp de 30% de celui du SiC massif.

Lorsque la conductivité thermique de la couche poreuse diminue, on voit que le ∆T dans le régime linéaire correspondant au substrat est plus élevé. L’explication est la même que pour l’effet de l’épaisseur de la couche poreuse : en diminuant la conductivité thermique de la couche, on augmente sa résistance thermique. On remarque également un décalage vers les basses fréquences du coude entre les deux régimes linéaires lorsque la conductivité thermique diminue. Cela peut s’expliquer en examinant l’équation 5.12 : lorsque la conductivité thermique diminue, la diffusivité thermique D et donc la profondeur de pénétration λ diminuent. Donc pour une fréquence donnée, λ diminue avec la conductivité thermique.

Nous allons maintenant regarder l’effet des autres paramètres du matériau pour voir s’ils peuvent affecter la pente du pseudo-régime linéaire. Nous avons fixé la conductivité thermique de la couche poreuse à 1 W.m−1.K−1 et son épaisseur à 50 µm. La figure 5.18a montre les courbes pour différentes valeurs de ρcp et la figure 5.18b pour différentes valeurs de la largeur de ligne

2b. Pour ces deux paramètres on voit qu’ils décalent les courbes, mais n’affectent pas la pente de la zone linéaire. Il n’est pas nécessaire d’étudier l’effet de la diffusivité thermique D puisqu’elle est le ratio de la conductivité thermique et de ρcp.

1 0 ⁰ 1 0 ¹ 1 0 ² 1 0 ³ 1 0 ⁴ 1 0 ⁵ 0 1 2 3 a ) 0 . 2 r C _p r C _p 0 . 8 r C _p 0 . 6 r C _p ∆ T ( K ) F r é q u e n c e ( H z ) 0 . 4 r C _p 1 0 ⁰ 1 0 ¹ 1 0 ² 1 0 ³ 1 0 ⁴ 1 0 ⁵ 0 1 2 3 4 b ) 1 5 µ m 2 b = 1 0 µ m 5 µ m ∆ T ( K ) F r é q u e n c e ( H z ) 2 µ m

Figure 5.18 a) ∆T en fonction de la fréquence pour différentes valeurs du produit ρc_p. Ici ρcp est défini comme une fraction de ρcp du SiC massif. b) ∆T en fonction de la fréquence pour différentes largeurs de ligne 2b. Dans les deux cas on a pris une couche de conductivité thermique 1 W.m−1.K−1 et d’épaisseur 50 µm sur un substrat de SiC semi-infini.

Bien que le produit ρcp et la largeur de la ligne métallique n’affectent pas la pente de la zone linéaire, elles ont d’autres effets sur l’allure des courbes 3ω. La réduction de ρcp entraîne un décalage des courbes vers les hautes fréquences, sans affecter le ∆T observé dans le régime linéaire correspondant au substrat. La résistance thermique de la couche poreuse dépend uniquement de sa géométrie et sa conductivité thermique, donc celle-ci n’est pas affecté par ρc_p, d’où le ∆T constant dans le régime linéaire à basses fréquences. Par contre une réduction de ρcp implique une augmentation de la diffusivité thermique D et donc de la profondeur de pénétration λ. Donc à une fréquence donnée, on sonde plus loin dans le matériau lorsque ρcp

diminue (qualitativement « l’onde thermique » diffuse plus rapidement dans la couche poreuse puisqu’elle absorbe moins de chaleur). Sur la figure 5.18b on observe que la réduction de la largeur de la ligne métallique 2b entraîne un décalage des courbes 3ω vers des ∆T plus élevés, sans affecter le comportement en fonction de la fréquence. En effet, la puissance dissipée P reste constante, mais est dissipée dans une ligne métallique de plus petite largeur. Donc à puissance égale, l’augmentation de température est plus élevée pour une ligne plus fine. Donc ces simulations montrent que la pente du pseudo-régime linéaire que nous avons observé sur carbure de silicium poreux est représentative de sa conductivité thermique.

5.7.4 Discussion : comparaison du modèle et des courbes