Nous allons à présent voir qu’il est possible de choisir des séquences de phases (dans le cas d’une modulation temporelle) ou des fréquences de rotations des déphaseurs (dans le cas d’une modulation fréquentielle) telles que la sommation cohérente des lignes de base équivalentes soit respectée, c’est à dire telles que les lignes de base équivalentes soient modulées de manière iden- tique.
5.4.1 Différences de phases (cas non polarisé)
Nous considérons d’abord par simplicité le cas d’un instrument non polarisé, et nous nous pla- cerons dans le cas où les cornets sont distribués sur une grille carré de coté Nside =√Nhcomme
représenté sur la figure 5.7. La position des cornets peut alors être paramétrisée en fonction du vecteur de distance minimale ~d0 = d0~ex+ d0~ey,
~ di = li mi ~ d0, (5.64)
où li et mi sont des entiers compris entre 0 et Nside − 1, tels que i = li+ Nsidemi. Rappelons
que pour cette distribution, le nombre de classes de lignes de base équivalentes (i.e. le nombre de lignes de base différentes) est donné par N6= = 2(Nh−√Nh). Nous introduisons h(t), v(t),
et c(t) qui désignerons soit des séquences de Ns phases aléatoires dans le cas d’une modulation
temporelle, soit des variations d’angles en rotation à des fréquences différentes dans le cas d’une modulation fréquentielle (voir section 5.1.4). Plus spécifiquement, dans le cas d’une modulation temporelle,
h(t) = {h0, h1, ..., hm, ..., hNs}, (5.65)
v(t) = {v0, v1, ..., vm, ..., vNs}, (5.66)
c(t) = {c0, c1, ..., cm, ..., cNs}, (5.67)
Dans le cas d’une modulation fréquentielle,
h(t) = 2πωht, (5.68)
v(t) = 2πωvt, (5.69)
c(t) = 2πωct, (5.70)
où ωh, ωv et ωcsont des fréquences de rotations.
Nous introduisons alors le schéma de phase suivant (chaque déphaseur contrôlé est associé à un cornet i), φi(t)≡ ~ di ~ d0 · ~s(t) + c(t) avec ~s(t) = h(t) v(t) . (5.71)
La différence de phase associée à la ligne de base définie par la paire de cornets {i, j} est donnée par φi(t)− φj(t) = ~ di− ~dj ~ d0 · ~s(t), (5.72)
Nous voyons que les différences de phases associées seront nécessairement les mêmes pour toutes les lignes de base appartenant à la classe d’équivalence β définie pour ~uβ = ~di− ~dj. Il s’en suit
également que deux lignes de base différentes β 6= β′seront modulées différemment.
Pour exprimer les choses de manière formelle, nous venons de créer une bijection entre l’espace vectoriel des positions de cornets et le groupe des séquences de phases (ou fréquences de rotation) ; ces deux ensembles étant des groupes munis de la loi d’addition, il s’en suit que nous avons par la même défini une bijection entre les deux nouveaux ensembles (obtenus par différenciation des précédents) que sont le groupe des différences de phases et l’espace vectoriel des lignes de base.
5.4.2 Séparation des polarisations
Dans le cadre de l’architecture basique étudiée ici, les déphaseurs contrôlés peuvent également être utilisés pour séparer les polarisations (dans le cas des architectures alternatives décrites au chapitre 7, cette séparation est assurée par un dispositif de modulation dédié). Deux cas se pré- sentent alors selon la nature des séparateurs de polarisation.
Séparateurs de polarisation linéaire
Dans ce cas, l’équation 5.38 indique qu’afin de séparer les visibilités de Stokes VI et VQ, il est
nécessaire d’utiliser des séquences de phases indépendantes pour les deux polarisations, ~s||(t)6= ~s⊥(t). Mais alors, la sommation cohérente des lignes de base équivalentes ne sera pas respectée pour la modulation de VU et VV puisque
φi ||(t)− φj ⊥(t) = ~s||(t)· d~i ~ d0 − ~s⊥(t)· ~ dj ~ d0 . (5.73)
Il est cependant possible de définir deux schémas alternants, l’un permettant de mesurer VI et VQ
1. Le premier schéma est tel que ~s||(t)6= ~s⊥(t), et les différences de phases s’écrivent φiη(t)− φjη(t) = ~sη(t)· ~ di− ~dj ~ d0 . (5.74)
VIet VQsont alors mesurées avec une sensibilité optimale (le bruit évolue selon ∝ 1/N2
eq),
VU et VV sont seulement mesurées avec une sensibilité médiocre (le bruit évolue selon ∝ 1/Neq).
2. Le second schéma est tel que ~s||(t) = ~s⊥(t) = ~s(t). Afin de séparer VU et VV, il est
nécessaire d’introduire deux séquences de phases supplémentaires, c||(t) 6= c⊥(t) (l’une
peut être nulle) telles que φiη(t) = ~s(t)·dd~~i
0 + cη(t). Les différences de phases sont alors
données par φi ||(t)− φj ⊥(t) = ~s(t)· ~ui− ~uj ~ d0 + c||(t)− c⊥(t) (5.75) et (5.76) φi ⊥(t)− φj ||(t) = ~s(t)·~ui− ~uj ~ d0 + c⊥(t)− c||(t) (5.77) mais (5.78) φi ||(t)− φj ||(t) = φi ⊥− φj ⊥= ~s(t)· ~ui− ~uj ~ d0 . (5.79)
Nous voyons ainsi que la sommation cohérente des lignes de base équivalentes est respectée pour VI, VU et VV mais que VQn’est pas mesurée du tout.
Séparateurs de polarisation circulaire
Les deux schémas de phases décrits dans le paragraphe précédent peuvent être repris à l’iden- tique dans le cas de séparateurs de polarisation circulaire. Le premier schéma permettra alors de moduler avec la sensibilité optimale VI, VQ et VU et le second VI et VV. Dans le cadre d’une
expérience CMB dédiée aux modes B, il est évidemment plus intéressant d’utiliser de tels sépa- rateurs de polarisation circulaire : on peut ainsi abandonner VV en n’effectuant que le premier
schéma, ce qui permet d’éviter une perte de facteur 2 sur la sensibilité (voir chapitre 8).
5.4.3 Modulations temporelle et fréquentielle
Dans le cas d’une modulation temporelle, les déphaseurs doivent être tous identiques et capables de prendre les mêmes nφvaleurs discrètes. Nous avons montré dans [Charlassier et al., 2009] que
ces nφvaleurs doivent être régulièrement espacées entre 0 et 2π,
φs= s
2π nφ
(s = 0, . . . , nφ− 1). (5.80)
Nous considérerons dans la section 5.5 des séquences de phases élémentaires aléatoires, hη(t),
vη(t) et cη(t).
Dans le cas d’une modulation fréquentielle, une propriété intéressante apparaît : les fréquences de rotations ωck et ωck peuvent être choisies de manière à bien isoler les fréquences auxquelles
sont modulées les visibilités polarisés des fréquences auxquelles sont modulées les visibilités d’in- tensité (cela pourrait permettre d’éviter certaines sources d’effets systématiques).
5.4.4 Déphasages géométriques
Les déphasages géométriques respectent naturellement la sommation cohérente des lignes de base équivalentes puisque ceux-ci sont proportionnels à la position des cornets. Cette constata- tion est importante quelle que soit l’architecture envisagée (que ces déphasages soient utilisés ou non dans la modulation, ils ne doivent pas "détruire" la sommation cohérente des lignes de base équivalentes).
FIG. 5.8:Evolution des écarts-type des résidus (entre les visibilités théo-
riques et reconstruites) divisés par la quantitéσ0×
q
Nh
Nt, en fonction
du nombre de visibilités équivalentes, pour VI (gauche) et VQ(droite).
Le comportement de VU et VV serait le même que celui de VQ. Les
données simulées (points) sont ajustées par régression linéaire. On ob-
serve, comme attendu, une pente en∝N1
eq dans le cas où la sommation
cohérente des lignes de base équivalentes est respectée, et une pente
∝√1
Neq
dans les deux autres cas.