Repr´esentations irr´eductibles d’un groupe

La d´etermination des repr´esentations irr´eductibles d’un groupe est un probl`eme ma- th´ematique dont l’un des piliers sont les lemmes de Schur :

Lemme 1

Etant donn´ees deux repr´esentations irr´eductibles D(α) _{et D}(β) _{de dimension respecti-}

vement dα et dβ, du groupe G, s’il existe une matrice M telle que

∀ ˆG∈ G , D(α)_{{ ˆG}M = MD}(β)_{{ ˆG} . (7.16)}

1_{En m´ecanique classique, Bertrand (1873) a montr´e que les trajectoires d’une particule dans un champ}

central de type K´epl´erien (potentiel en 1/r) ou harmonique (potentiel en r2_{), sont ferm´ees. Il en r´esulte}

162 Th´eorie des bandes

? Si dα6= dβ alors M est une matrice nulle

? Si dα= dβ alors soit M = 0, soit D(α) et D(β) sont ´equivalentes.

Lemme 2

Si D est une repr´esentation irr´eductible du groupe G, et s’il existe une matrice M telle que

∀ ˆG_{∈ G , D{ ˆ}G_{}M = MD{ ˆ}G_{} ,} (7.17)

alors la matrice M est diagonale, de la forme M = λ1, o`u λ est une constante et 1 est la matrice identit´e.

Nous allons appliquer ces deux lemmes pour d´emontrer un th´eor`eme fondamental. Soient deux repr´esentations irr´eductibles in´equivalentes D(α) _{et D}(β)_{. Consid´erons la ma-}

trice d´efinie par

M ≡X

ˆ G

D(β){ ˆG}XD(α)_{{ ˆG}−1_{} , (7.18)}

o`u X est une matrice arbitraire. Nous avons alors∀ ˆG∈ G D(β){ ˆG}M = X ˆ G0 D(β){ ˆG}D(β)_{{ ˆG}0_}XD(α)_{{ ˆG}0 −1_} =X ˆ G0 D(β){ ˆG ˆG0}XD(α)_{{ ˆG}0 −1_}D(α)_{{ ˆG}−1_}D(α)_{{ ˆG}} = M D(α)_{{ ˆG} .} (7.19)

Dans la deuxi`eme ligne, nous avons utilis´e la propri´et´e d’homorphisme et dans la troisi`eme ligne, nous avons appliquer le th´eor`eme de r´earrangement. D’apr`es le lemme 1, nous pouvons en conclure que M = 0. En particulier, en choisissant la matrice X telle que le seul ´el´ement non nul est Xkl nous avons la relation

X

ˆ G

D(β)_{{ ˆ}G_}ikD(α){ ˆG−1}lj = 0 . (7.20)

Consid´erons maintenant la matrice

M _≡X

ˆ G

D(α)_{{ ˆ}G_}XD(α)_{{ ˆ}G−1_{} .} (7.21)

Cette matrice commute avec la matrice de la repr´esentation D(α) _:

D(α)_{{ ˆ}G_{}M = MD}(α)_{{ ˆ}G_{} .} (7.22)

Ceci implique d’apr`es le lemme 2, que la matrice M est une constante fois la matrice identit´e. En choisissant la matrice X comme pr´ec´edemment, en posant M = λkl1, nous

avons _X

ˆ G

7.3 Sym´etries en m´ecanique quantique 163

Nous pouvons d´eterminer la constante λkl en calculant la trace de M

Tr{M} = λkldα = X i X ˆ G D(α){ ˆG}ikD(α){ ˆG−1}li =X ˆ G D(α){ ˆG−1Gˆ}lk =X ˆ G D(α)_{ˆ1}lk =X ˆ G δkl =|G|δkl. (7.24)

Nous pouvons rassembler ces r´esultats dans le th´eor`eme suivant. Th´eor`eme d’orthogonalit´e

Etant donn´ees deux repr´esentations irr´eductibles D(α) _{et D}(β) _{de dimension respecti-}

vement dα et dβ, du groupe G d’ordre |G| nous avons la propri´et´e d’ orthogonalit´e

X ˆ G∈G D(α){ ˆG}ijD(β){ ˆG−1}kl = |G| dα δαβδilδjk. (7.25)

Pour un groupe fini, n’importe quelle repr´esentation est ´equivalente `a une repr´esenta- tion unitaire. Dans ce cas, la condition pr´ec´edente devient

X ˆ G∈G D(α)_{{ ˆ}G_}ijD(β){ ˆG}∗lk = |G| dα δαβδilδjk. (7.26)

Nous pouvons exprimer ces conditions comme des relations d’orthonormalit´e

~Γαij~Γ†βkl = δαij,βlk, (7.27)

entre des vecteurs ~Γαij d’un espace `a|G| dimensions, dont les composantes sont donn´ees

par ~Γαij = p dα/|G|  D(α){ ˆG1}ij, ..., D(α){ ˆG|G|}ij  . (7.28)

Pour chaque repr´esentation irr´eductible D(α)_{, nous pouvons donc construire autant de}

vecteurs orthonorm´es que d’´el´ements de matrice, c’est-`a-dire d2

α. Or comme le nombre de

vecteurs orthonorm´es ne peut exc´eder la dimension de l’espace, nous pouvons en d´eduire

que _X

α

d2_{α≤ |G| .} (7.29)

Par cons´equent le nombre de repr´esentations irr´eductibles d’un groupe fini est fini. Par ailleurs, en prenant la trace des matrices dans l’expression (7.26), nous obtenons des relations d’orthogonalit´es pour les caract`eres

X

ˆ G∈G

χ(α){ ˆG}χ(β)_{{ ˆG}}∗ _=|G|δ

164 Th´eorie des bandes

En particulier, nous avons comme crit`ere pour identifier une repr´esentation irr´eductible unitaire D(α) _que

X

ˆ G∈G

|χ(α){ ˆG_}|2 =_{|G| .} (7.31)

En particulier, la repr´esentation triviale de dimension 1 (aussi appel´ee la repr´esentation identit´e) qui `a chaque ´el´ement ˆG_{∈ G associe comme matrice le mˆeme nombre, par exemple} 1, est irr´eductible. Nous pouvons d’ailleurs remarquer que quelle que soit la repr´esentation (irr´eductible ou non), nous avons

χ(α)_{{ˆ1} = d}α. (7.32)

Les ´el´ements d’une mˆeme classeCh poss`edent le mˆeme caract`ere, not´e χ(α)h . Nous avons

donc, avec _|Ch| le nombre d’´el´ements de la classe Ch

X

h

|Ch|χ(α)_h χ(β)_h ∗ =|G|δαβ. (7.33)

Cette relation traduit l’orthogonalit´e de vecteurs ~χ(α) _{de composantes}p_|C

h|χ(α)h dans un

espace vectoriel de dimensions le nombre de classes. Par le mˆeme argument que pr´ec´e- demment, nous pouvons donc en conclure que le nombre de repr´esentations irr´eductibles est au plus ´egal au nombre de classes du groupe_{G. Il est ´egalement possible de d´emontrer} les relations (voir par exemple Hammermesh (1989))

X

α

|Ch|χ(α)h χ (α)∗

k =|G|δhk. (7.34)

Ceci implique que le nombre de repr´esentations irr´educibles est ´egal au nombre de classes de conjugaison du groupe. Pour le montrer, il suffit de choisir h = k dans la seconde relation d’orthogonalit´e (7.34), de sommer sur h et d’utiliser la premi`ere relation d’ortho- gonalit´e (7.33).

Les caract`eres des repr´esentations irr´eductibles d’un groupe sont en g´en´eral donn´es dans des tableaux du type de la table 7.1. Le nombre de lignes et le nombre de colonnes sont tous les deux ´egaux au nombre de classes de conjugaison du groupe. Les relations d’orthogonalit´e se traduisent par l’orthogonalit´e des lignes et des colonnes de la table de caract`eres (avec pour poids le nombre d’´el´ements dans la classe). Traditionnellement, la premi`ere ligne est d´edi´ee `a la repr´esentation triviale, de dimension 1, qui attribue `a chaque ´el´ement le nombre 1. La premi`ere colonne est l’ensemble des caract`eres pour l’´el´ement neutre du groupe (qui forme une classe `a part enti`ere) qui sont ´egaux aux dimensions des repr´esentations.

Th´eor`eme de Burnside

Supposons qu’une repr´esentation unitaire D soit r´eductible et s’exprime par une somme directe de pα repr´esentations irr´eductibles D(α) du type

7.3 Sym´etries en m´ecanique quantique 165

Tableau 7.1 – Table de caract`eres d’un groupe poss´edant h classes de conjugaisons. Les lignes du tableau fournissent les caract`eres d’une mˆeme repr´esentation irr´eductible pour les diff´erentes classes.

1 _C2 ... Ch D(1) _{1 1 ... 1} D(2) _d 2 χ(2)2 ... χ (2) h ... ... ... ... D(h) _d h χ(h)1 ... χ (h) h

Autrement dit, la repr´esentation D s’exprime comme une matrice qui contient le long de la diagonale, pα fois la repr´esentation D(α). Par les relations d’orthogonalit´e (7.33), les

entiers pα sont d´efinis de fa¸con unique

pα = 1 |G| X ˆ G∈G χ_{{ ˆ}G_}χ(α)_{{ ˆ}G_}∗, (7.36)

o`u χ et χ(α) <sub>d´esignent les caract`eres des repr´esentations D et D</sub>(α) _{respectivement.}

Ceci est particuli`erement important puisque en g´en´eral les caract`eres des repr´esenta- tions irr´eductibles des principaux groupes rencontr´es en physique, sont tabul´es dans la litt´erature. Nous pouvons maintenant d´emontrer le th´eor`eme de Burnside selon lequel la somme des carr´es des dimensions des repr´esentations irr´eductibles est ´egale `a l’ordre du groupe

X

α

n2_α =_{|G| .} (7.37)

Avant de d´emontrer ce th´eor`eme, nous devons tout d’abord d´efinir une repr´esentation particuli`erement importante, la repr´esentation r´eguli`ere. D’apr`es le th´eor`eme de r´earran- gement, la multiplication de tous les ´el´ements d’un groupe fini par un ´el´ement donn´e, est simplement une permutation de ces ´el´ements. Etant donn´e un ´el´ement quelconque ˆG d’un groupe G, et en supposant que ˆG ˆGi correspond `a l’´el´ement ˆGj alors le th´eor`eme de

r´earrangement se traduit par un ensemble de relations du type ˆ G ˆGi = |G| X j=1 δ_Gˆ_{j, ˆG ˆGi}Gˆj. (7.38)

En particulier, pour n’importe quelle fonction Ψ, nous avons ˆ GΨi = |G| X j=1 δ_Gˆ_{j, ˆG ˆGi}Ψj, (7.39)

166 Th´eorie des bandes

en notant Ψi ≡ ˆGiΨ. Autrement dit, les ´el´ements du groupes engendrent une repr´e-

sentation de dimension l’ordre du groupe _{|G| et dont les matrices sont donn´ees par} D_{{ ˆ}G_}ji = δ_Gˆ_{j, ˆG ˆGi}. Cette repr´esentation est appel´ee la repr´esentation r´eguli`ere. Les ´el´e-

ments des matrices de cette repr´esentation sont simplement 0 ou 1. La matrice associ´ee `a l’´el´ement neutre est simplement la matrice identit´e.

La repr´esentation r´eguli`ere est r´eductible en g´en´eral. En appliquant le r´esultat `a la repr´esentation r´eguli`ere, et en remarquant que le seul caract`ere non nul est χ{ˆ1} = |G| nous trouvons qu’elle contient exactement dα fois la repr´esentation D(α). En corollaire,

nous avons le th´eor`eme de Burnside (7.37).

En particulier, nous pouvons en d´eduire qu’un groupe ab´elien poss`ede autant de re- pr´esentations irr´eductibles que d’´el´ements et chaque repr´esentation est unidimensionnelle. D’apr`es le principe de Wigner, nous pouvons en conclure que si le groupe de Schr¨odinger est ab´elien, les niveaux d’´energie du Hamiltonien ne sont pas d´eg´en´er´es. De ce point de vue, tout se passe donc comme si le syst`eme n’avait aucune sym´etrie.