3.2 Structure de l’espace-temps newtonien
3.2.2 Du caract`ere intrins`equement covariant ou contravariant des tenseurs
La formulation de la m´ecanique classique repose traditionellement sur une d´ecompo- sition (( 3 + 1 )) entre espace et temps, c’est-`a-dire sur le choix d’une structure aristo- t´elicienne particuli`ere. Nous allons montrer qu’il est possible de construire une formula- tion quadridimensionellle enti`erement covariante de la m´ecanique classique et notamment de l’hydrodynamique. La premi`ere difficult´e vient du fait que contrairement `a l’espace- temps d’Einstein en relativit´e g´en´erale (ou mˆeme `a l’espace-temps plat de Minkowski en relativit´e restreinte), il n’existe pas a priori de m´etrique quadridimensionnelle γµν, o`u
µ, ν = 0, 1, 2, 3 puisqu’il n’existe pas de notion de distance spatio-temporelle. En relati- vit´e g´en´erale, l’espace-temps est une vari´et´e pseudo riemannienne, le champ de gravita- tion gµν d´eterminant une connexion dont les composantes sont les symboles de Christoffel
Γ ν
µ ρ = gνσ gσ(µ,ρ)− 12gµρ,σ
.
Cela implique en particulier que les tenseurs d´efinis dans l’espace-temps newtonien ont une nature intrins`equement covariante ou contravariante (il n’est pas possible de (( monter )) ou (( descendre )) les indices d’un tenseur). Cependant pour n’importe quelle section spatialeS{t}, nous pouvons induire une (( m´etrique )) γµν = f
?{γij} dans l’espace-
temps par l’image directe (en anglais pushfoward) de la m´etrique purement spatiale par 1Ces forces sont souvent d´enomm´ees “pseudoforces” parce qu’elles sont uniquement li´ees au caract`ere
non intertiel de l’observateur, par opposition aux int´eractions (( fondamentales )) que sont la gravitation, l’´electromagn´etisme, les int´eractions nucl´eaires faible et forte.
3.2 Structure de l’espace-temps newtonien 47
l’application f :S{t} 7→ N , caract´eris´ee en coordonn´ees locales par xµ{t, Xi} avec x0 = t
et xi = Xi : γµν = γijxµ,ixν,j (3.12) en notant xµ,i ≡ ∂x µ ∂Xi (3.13)
La m´etrique spatiale γij est bien d´efinie et poss`ede un inverse γ
ij d´efini par γikγkj = δji.
En revanche le tenseur γµν n’est pas math´ematiquement une m´etrique `a proprement parler
puisque son rang est ´egal `a trois et non quatre. Nous continuerons cependant d’employer ce terme pour d´esigner ce tenseur.
Comme ce tenseur (( m´etrique )) est d´eg´en´er´e, il admet un covecteur propre tµv´erifiant
γµνtν = 0 (3.14)
Pusique par d´efinition le temps t est constant sur la section spatialeS{t} ∂t
∂Xi = 0 , (3.15)
il est facile de voir que le covecteur tµ peut s’´ecrire sous la forme 1
tµ=
∂t
∂xµ ≡ t, µ (3.16)
Autrement dit ce covecteur est simplement le gradient (1-forme) du temps universel t et caract´erise les sections spatialesS{t} de l’espace-temps newtonien (covecteur orthogonal `a l’hypersurface, c’est-`a-dire au 3-espace ici).
Le tenseur γµν et par suite t
µne d´epend pas du choix d’une structure galil´eenne ou de
Milne. Pour le montrer, il suffit d’´ecrire le nouveau tenseur ˘γµν apr`es un changement de
r´ef´erentiel inertiel, dans des coordonn´ees quelconques xµ :
˘ γµν = ˘γij∂x µ ∂ ˘Xi ∂xν ˘ Xj . (3.17)
Or ˘γij = γij = δij et en injectant les expressions des nouvelles coordonn´ees ˘Xi = Λi
jXj−ci,
les seules composantes non nulles de la nouvelle (( m´etrique )) dans les coordonn´ees{t, Xi}
sont ˘ γij = ∂X i ∂ ˘Xk ∂Xj ∂ ˘Xlδ kl = Λi kΛ j lδ kl = δij = γij, (3.18)
par d´efinition des matrices de rotation Λi
j donc finalement
˘
γµν = γµν. (3.19)
1Puisque t est un champ scalaire il n’est pas n´ecessaire de sp´ecifier une d´eriv´ee covariante : t
,µ s’´ecrit
48 Formulation covariante de l’espace-temps newtonien
D’un autre cˆot´e, la m´etrique spatiale γij (qui se r´eduit `a δij dans les coordonn´ees
cart´esiennes) induit une version covariante de la m´etrique dans l’espace-temps γµν par
l’image inverse (en anglais pullback) γµν = g?{γij} par l’application g : N 7→ S, qui `a
chaque point de l’espace-temps associe un point d’une section spatiale, les coordonn´ees Xi{xµ} sont alors vues comme des champs scalaires dans la vari´et´e `a quatre dimensions :
γµν =
∂Xi
∂xµ
∂Xj
∂xν δij. (3.20)
Cette m´etrique covariante γµν, tout comme γµν est d´eg´en´er´ee donc il existe un vecteur
propre eµ tel que
γµνeν = 0. (3.21)
Puisque dans les coordonn´ees aristot´eliciennes {t, Xi} les seules composantes non
nulles de γνµ sont les composantes spatiales γij, nous pouvons choisir comme vecteur
propre le vecteur dont les composantes sont e0 = 1, ei = 0 c’est-`a-dire normalis´e tel que
eµtµ= 1. (3.22)
Contrairement `a son homologue contravariant (3.12), ce tenseur m´etrique covariant de rang 3 n’est pas ind´ependant du choix d’un r´ef´erentiel inertiel. Dans une transformation Xi 7→ ˘Xi{t, Xi} de Galil´ee ou de Milne, le nouveau tenseur s’´ecrit dans des coordonn´ees
quelconques xµ ˘ γµν = ∂ ˘Xi ∂xµ ∂ ˘Xj ∂xν δij. (3.23)
Ses composantes dans les anciennes coordonn´ees aristot´eliciennes{t, Xi} sont donc d’apr`es
(3.11) :
˘
γij = δij, ˘γ00= b2, ˘γ0i =−Λjibj (3.24)
avec b2 = γ
ijbibj et bi = γijbj. L’expression covariante de la transformation du tenseur
γµν 7→ ˘γµν s’´ecrit
˘
γµν = γµν − 2t(µγν)ρbρ+ b2tµtν, (3.25)
o`u bµ est simplement l’image directe de bi par la carte f :S 7→ N , Xi 7→ xµ :
bµ= ∂xµ
∂Xib
i. (3.26)
Ce quadrivecteur est donc purement spatial
bµtµ = 0. (3.27)
Comme le tenseur γµν d´epend du choix d’un r´ef´erentiel inertiel, il en est de mˆeme
pour son vecteur propre nul eµ 7→ ˘eµ. La transformation du vecteur propre s’obtient en
imposant que
˘
3.2 Structure de l’espace-temps newtonien 49
Les nouvelles composantes dans les coordonn´ees aristot´eliciennes {t, Xi} sont donc ˘e0 =
1, ˘ei = Λk
ibk. Dans la suite, nous ne consid´ererons que des transformations de r´ef´erentiel
sans rotation des axes, c’est-`a-dire Λi
j = δij, pour all´eger les notations. Dans ce cas, la
transformation du vecteur propre devient simplement sous forme covariante ˘
eµ= eµ+ bµ. (3.29)
En se pla¸cant dans les coordonn´ees aristot´eliciennes{t, Xi}, il est facile de voir que la
contraction des (( m´etriques )) covariantes et contravariantes s’exprime comme
γµνγνρ = γµρ (3.30)
o`u le tenseur mixte γν
µ est le projecteur spatial d´efini par
γµν = δµν − eνtµ. (3.31)
Lors d’un changement de r´ef´erentiel de type (3.11), ce tenseur se transforme comme ˘
γµν = δνµ− bνtµ. (3.32)
3.2.3
Formulation covariante du principe de relativit´e
Le vecteur eµ s’interpr`ete comme la 4-vitesse d’un observateur inertiel par rapport `a
l’espace (( absolu )) ou (( ´ether ))1. Nous pouvons ainsi reformuler sous forme covariante le
principe de relativit´e sans faire appel aux changements de coordonn´ees dans la d´ecomposi- tion aristot´elicienne. En effet, le choix d’un vecteur de vitesse eµpar rapport `a l’´ether, que
nous d´esignerons plus simplement par vecteur d’´ether, d´etermine le choix d’un r´ef´erentiel inertiel. Nous pouvons alors d´efinir un syst`eme de coordonn´ees privil´egi´ees{t, Xi}, telles
que dans ces coordonn´ees e0 = 1 et ei = 0 (syst`eme au repos par rapport au r´ef´erentiel
inertiel). Dans un changement de r´ef´erentiel inertiel, le vecteur d’´ether se transforme par d´efinition comme
˘
eµ≡ eµ+ bµ (3.33)
o`u bµ est un vecteur purement spatial, c’est-`a-dire dont la composante temporelle est nulle b0 = 0 dans les coordonn´ees {t, Xi}. De plus bi ne d´epends que du temps t. Dans
les coordonn´ees{t, Xi}, le nouveau vecteur d’´ether a pour composantes ˘e0 = 1 et ˘ei = bi.
Soient x0 µ les nouvelles coordonn´ees privil´egi´ees telles que ˘e0 0= 1 et ˘e0 i= 0. Or dans un changement de coordonn´ees xµ ={t, Xi} 7→ x0 µ, le vecteur d’´ether se transforme comme
˘ e0 µ = ∂x 0 µ ∂xµ˘e µ , (3.34) d’o`u 1 = ∂x 0 0 ∂t + b j∂x0 0 ∂Xj , 0 = ∂x0 i ∂t + b j∂x0 i ∂Xj . (3.35)
1Dans la pens´ee aristot´elicienne, l’´ether d´esigne la substance (quintessence ou cinqui`eme ´el´ement apr`es
50 Formulation covariante de l’espace-temps newtonien
Le choix d’un vecteur d’´ether est associ´e `a une d´ecomposition 3+1 de l’espace-temps. En identifiant la composante temporelle avec le temps universel x0 0 ≡ ˘t = t et en posant
x0 i ≡ ˘Xi les nouvelles coordonn´ees privil´egi´ees sont reli´ees aux anciennes coordonn´ees
{t, Xi} par les transformations de Galil´ee (ou de Milne) :
˘ t = t , X˘i = ΛijXj − ci, ci = Λi j Z dt bj{t} (3.36) o`u Λi
j est une matrice constante (ind´ependante de t et de Xi). En imposant par ailleurs
que les nouvelles coordonn´ees ˘Xi pr´eservent la m´etrique euclidienne, la matrice Λi j doit
ˆetre orthogonale.