3.2 Structure de l’espace-temps newtonien
3.2.1 Principe de relativit´e
La structure de l’espace n’est pas modifi´ee si l’observateur se d´eplace avec son r´ef´e- rentiel sans le d´eformer (sinon une contraction ou une dilatation des axes alt`ereraient la mesure des distances)2. Ces coordonn´ees aristot´eliciennes ne sont donc pas uniques. Consi- d´erons un tel autre observateur aristot´elicien en mouvement par rapport au pr´ec´edent, qui dispose d’une horloge mesurant le temps ˘t et qui rep`ere la position d’un point dans l’espace par des coordonn´ees cart´esiennes ˘Xi. Puisque le temps est universel, n’importe
quelle horloge mesure les mˆemes dur´ees (simultan´eit´e) donc ˘
t = t (3.8)
modulo un choix d’unit´es de temps3 et d’origine (et en supposant que le temps mesur´e par
les deux horloges varie dans le mˆeme sens). Cet observateur est ´equivalent au pr´ec´edent s’il mesure les mˆemes longueurs. Les nouvelles coordonn´ees ˘Xi doivent donc pr´eserver la
m´etrique euclidienne de l’espace, autrement dit ∂ ˘Xk
∂Xi
∂ ˘Xl
∂Xjδkl= δij. (3.9)
Les transformations spatiales dans S{t} qui pr´eservent la m´etrique cart´esienne sont l’ensemble des rotations de matrice Λi
j{t} et translations par un vecteur ci{t} (groupe des
d´eplacements `a trois dimensions) : ˘
Xi = Λij{t}Xj− ci{t}. (3.10)
A priori les transformations spatiales ne sont pas identiques d’une section spatialeS{t} `a une autre S{t0}, c’est `a dire que celles-ci peuvent d´ependre du temps. L’ensemble de
ces observateurs aristot´eliciens, en mouvement (rotation, translation) les uns par rapport aux autres, forme la structure aristot´elicienne de l’espace-temps newtonien.
Galil´ee a ´et´e un des premiers `a reconnaˆıtre que les lois physiques ´etaient identiques pour une certaine classe d’observateurs. Ses travaux ont ´et´e les pr´emices du principe de relativit´e formul´e par Newton un si`ecle plutard.
1La structure en produit direct traduit le fait que temps et espace sont ind´ependants.
2Cela suppose l’existence de solides ind´eformables, ce qui n’est possible que si des actions se propagent
instantann´ement.
3En relativit´e l’unit´e de temps est compl`etement fix´ee par le choix de l’unit´e de longueur divis´e par la
3.2 Structure de l’espace-temps newtonien 45
(( Enfermez-vous avec un ami dans la plus vaste cabine d’un grand navire, et faites en sorte que s’y trouvent ´egalement des mouches, des papillons et d’autres petits animaux volants, qu’y soit dispos´e un grand r´ecipient empli d’eau dans lequel on aura mis des petits poissons ; suspendez ´egalement `a bonne hauteur un petit seau et disposez-le de mani`ere `a ce que l’eau se d´e- verse goutte `a goutte dans un autre r´ecipient `a col ´etroit que vous aurez dispos´e en dessous ; puis alors que le navire est `a l’arrˆet, observez attentivement com- ment ces petits animaux volent avec des vitesses ´egales quel que soit l’endroit de la cabine vers lequel ils se dirigent ; vous pourrez voir les poissons nager indiff´eremment dans toutes les directions ; les gouttes d’eau tomberont toutes dans le r´ecipient pos´e par terre ; si vous lancez quelque objet `a votre ami, vous ne devrez pas fournir un effort plus important selon que vous le lancerez dans telle ou telle direction, `a condition que les distances soient ´egales ; et si vous sautez `a pieds joints, comme on dit, vous franchirez des espaces semblables dans toutes les directions. Une fois que vous aurez observ´e attentivement tout cela - il ne fait acun doute que si le navire est `a l’arrˆet les choses doivent se passer ainsi - faites se d´eplacer le navire `a une vitesse aussi grande que vous voudrez ; pourvu que le mouvement soit uniforme et ne fluctue pas de-ci de-l`a, vous n’apercevrez aucun changement dans les effets nomm´es, et aucun d’entre eux ne vous permettra de savoir si le navire avance ou bien s’il est arrˆet´e. ))
Galil´ee, Dialogue concernant les deux plus grands Syst`emes du Monde, 1632 (traduction is- sue de Galil´ee, Newton lus par Einstein, Fran¸coise Balibar, Presse universitaire de France, 1990, p22-23).
La th´eorie de Newton suppose l’existence d’un espace (( absolu )). Pourtant, les lois fondamentales de la dynamique permettent seulement de d´eterminer l’acc´el´eration (( ab- solue )) d’un corps mais pas sa vitesse (( absolue ))1. Il est possible de contourner cette
difficult´e en abandonnant le postulat de l’espace (( absolu )) et en recherchant quels sont les r´ef´erentiels dans lesquels s’appliquent les lois de la dynamique. S’il n’existait qu’un seul r´ef´erentiel, nous pourrions identifier l’espace associ´e avec l’espace (( absolu )) de Newton. Or si un r´ef´erentiel est tel que les lois de Newton sont v´erifi´ees alors il en sera de mˆeme pour tout autre r´ef´erentiel en translation rectiligne uniforme par rapport au pr´ec´edent. La r´eponse est donc qu’il existe non pas un r´ef´erentiel mais une infinit´e de familles de r´ef´erentiels, que nous appelerons inertiels. Autrement dit tous les r´ef´erentiels inertiels sont ´equivalents : c’est le principe de relativit´e galil´eenne (qui sera g´en´eralis´e par Einstein). Ludwig Lange et ind´ependamment James Thomson ont ainsi reformul´e la th´eorie de New- ton `a la fin du XIX`eme si`ecle en termes de r´ef´erentiels inertiels. Ces r´ef´erentiels sont d´efinis de telle sorte que le mouvement d’une particule libre est une ligne droite, qui balaye des distances ´egales en des temps ´egaux.
1En supposant que ce corps soit un solide d´eformable. En effet il est impossible de d´eterminer le
mouvement d’un solide rigide isol´e dans l’espace (( absolu )) parce qu’il n’existe aucun point de r´ef´erence : l’espace de Newton, qui n’est rien d’autre qu’un mod`ele de la g´eom´etrie euclidienne, est invariant par rotation et translation.
46 Formulation covariante de l’espace-temps newtonien
Les lois de la dynamique restent donc invariantes pour un sous ensemble d’observa- teurs aristot´eliciens, les observateurs inertiels en translation rectiligne uniforme les uns par rapport aux autres (la ligne d’univers d’un observateur inertiel est une droite dans l’espace-temps). Donc parmis toutes les transformations (3.10), seules les transformations de Galil´ee suivantes pr´eservent les lois de la dynamique :
˘
Xi = ΛijXj− ci, (3.11)
o`u Λi
j est une matrice orthogonale constante et ci d´epend lin´eairement du temps. Les
transformations dans lesquelles la rotation spatiale d´epend du temps sont exclues parce qu’elles donnent lieu `a des forces d’inertie (de Coriolis, de d’Alembert et d’entraˆınement)1.
La m´ecanique newtonienne en pr´esence d’un champ de gravitation admet une classe plus g´en´erale d’observateurs inertiels qui sont acc´el´er´es, ainsi bi ≡ dci/dt n’est pas n´eces-
sairement constant mais peut d´ependre du temps. Cette invariance a ´et´e mise en ´evidence par Edward Arthur Milne en 1934 suite aux travaux d’Einstein et en particulier `a son principe d’´equivalence. Consid´erons en effet un observateur enferm´e dans la cabine d’une fus´ee, sans aucun hublot. Rien ne lui permet de distinguer la situation dans laquelle la fus´ee est encore dans son pas de tir sur Terre donc au voisinage d’un champ de gravita- tion, de la situation o`u la fus´ee est d´ej`a dans l’espace loin de tout champ de gravitation et acc´el`ere (sans rotation).