2.2.1 Principe
On peut construire une ondelette dé nie comme la pieme dérivée d'une fonction. En particulier, si la fonction d'ondelette est la dérivée première de la fonction de lissage, les extrema locaux de la transformée en ondelettes correspondent aux discontinuités du signal à diérentes échelles. De même, si l'ondelette est dé nie comme la dérivée seconde de la fonction de lissage, ce sont les passage par 0 qui correspondent aux discontinuités.
Soit une fonction d'échelle (x) qui satisfait les propriétés indiquées dans le paragraphe 1.2.1 que nous rappelons
limx!1 (x) = 0 et Z +1
?1
(x)@x= 1:
En imposant que (x) soit diérentiable, on introduit la fonction d'ondelette 1(x) comme la dérivée première de (x)
1(x) = @ (x)
@x
Nous rappelons que la fonction 1 est considérée comme une ondelette si R +1 ?1
1(x)@x= 0. D'après l'équation (1.3) du chapitre 1, pour toutes fonctions f(x) 2 L2(R), la transformée en ondelettes, à l'échelle s, a comme composante
d1
s (x) =f(x) 1
s(x)
De la linéarité de la convolution et de la dérivation, on véri e que
d1
s (x) =s @@x( sf)(x) (2.1) L'équation (2.1) indique que la transformée en ondelettes du signal à l'échelle s est équivalente à la dérivée de la fonction f(x) lissée par s(x). Un maximum dans la transformée en ondelettes correspond à un point d'in exion de la courbe sf.
A n de réduire la redondance d'information, l'échelle svarie seulement dans une séquence dya-dique h
2li
l2Z.
On retrouve les techniques développées dans le cadre de la vision informatique. Par exemple, Canny [10] propose l'utilisation de la dérivée première d'une gaussienne, l'écart type de la gaussienne jouant le rôle de paramètre d'échelle.
Mallat et Zhong [70] montrent que les minima locaux, et donc certains des passages par zéro de la dérivée seconde, ne correspondent pas à d'importantes variations du signal, mais à un point d'in exion de la fonction. En revanche, les maxima locaux sont associés aux discontinuités du signal observées à diérentes échelles. Notre étude va donc se concentrer sur la dérivée première.
2.2.2 Dé nition des fonctions analysantes
Il est clair, d'après la section précédente, que pour avoir une représentation multiéchelles des dérivées à partir des maxima d'ondelettes, l'ondelette doit être la dérivée première de la fonction d'échelle. A n d'avoir une représentation invariante par translation, la transformée se calcule avec un banc de ltres non-décimé. Nous avons abordé dans le chapitre 1 la décomposition en ondelettes non-décimée, nous rappelons ici ses éléments principaux. Aux deux fonctions et sont associés deux ltres: un ltre passe-basH et un ltre passe-hautG. Lors d'une décomposition non-décimée les ltres associés doivent être dilatés entre chaque échelle. La transformée en ondelettes discrètes d'un signalf(x)2l2(Z) à l'échellelest calculée par la convolution avec les ltresh(l)etg(l)suivant l'équation (1.9) du chapitre 1. Pour obtenir une reconstruction parfaite, il est nécessaire et su sant de dé nir un groupe de ltres de synthèseQetP qui véri e la condition de reconstruction parfaite [101]. Nous avons introduit cette propriété de la transformée non-décimée dans l'équation (1.7) pour le cas particulier où les ltres de décomposition et reconstruction étaient identiques)
H(w)P(w) +G(w)Q(w) = 1: (2.2) Dans ce cas la transformée inverse se calcule de la façon suivante
el;k = 12 " p 2X n p(l+1) [k?2n]el+1;n+p 2X n q(l+1) [k?2n]wl+1;n # :
L'implémentation numérique de la décomposition et de la reconstruction se fait par un banc de ltres octave bande non-décimé [70].
Mallat et Zhong [101] ont fabriqué une famille d'ondelettes qui possède les propriétés désirées pour une représentation multiéchelles des bords. Ces fonctions d'ondelettes et d'échelles sont des éléments de la famille des splines:
b (w) = sin(w=2) w=2 n et b(w) =i(w=2) sin(w=2) w=2 n : (2.3)
A n d'évaluer la qualité d'une représentation générée par une fonction d'ondelettes, Daubechies a introduit la notion de frame ratio [35]. Suivant le choix de , une transformée en ondelettes peut être une représentation complète et numériquement stable, c'est-à-dire qu'il existe deux constantes,
A >0,B <0 telles que, pour toutf 2L2(R),
Akfk 2 X l2Z k lfk 2 Bkfk 2:
Si les fonctions l choisies véri ent cette condition, alors la famille d'ondelettes constitue une frame dans L2, avecB=A le frame ratio[35]. PlusB=A est proche de 1, et plus la représentation est stable. Quand B=A est égal à 1, nous avons une décomposition orthogonale.
Nous pouvons, à partir de ce paramètreB=A évaluer les fonctions dé nies par l'équation (2.3). Si n= 2, est une ondelette de Haar correspondant à un frame ratio égal à 1 (i.e. décomposition orthogonale), mais est discontinue. Plus l'ordrenest grand, plus les fonctions d'échelles et d'on-delettes sont régulières mais avec un support temporel qui s'élargit et un frame ratio qui s'écarte de 1. Dans la majorité des applications utilisant les maxima d'ondelettes ([66], [101], [23]) on préfère utiliser une spline quadratique (n= 4), qui correspond aux ltres suivants:
H(w) = cos(w=2)3exp(iw=2); G(w) = isin(w=2)exp(iw=2); P(w) = H
(w);
Q(w) = 1?P(w)H(w)
G(w) : (2.4)
Dans ce cas, le frame ratio est égal à 3. Ces fonctions sont présentées sur la gure 2.1. Elles correspondent à un compromis entre la régularité des fonctions analysantes et une représentation peu redondante.
Fig.2.1 Fonctions d'échelle et d'ondelette de la famille des splines (n= 4)
2.2.3 Maxima d'ondelettes
A partir des fonctions analysantes dé nies ci-dessus, une représentation en maxima d'ondelettes est construite. Pour une décomposition en ondelettes surLéchelles, Mallat et Zhong [70] dé nissent cette représentation par l'ensemble:
n eL;[Al]1lL o avecAl=n xj;w1 l;xj
pour8xj tel que w1
l;xj
soit un maximum localo
:
Concrètement, la représentation en maxima d'ondelettes contient les positions et les valeurs des coe cients w1
l à chaque échelle lorsque w1
l;k
atteint un maximum local, plus la dernière trame. La gure 2.2 ore un exemple de représentation d'un signal par maxima d'ondelettes. Le signal de test, que nous appellerons par la suite signal Mallat, est celui utilisé dans les articles de Mallat et al.
Fig. 2.2 Signal de test et sa représentation en maxima d'ondelettes
2.2.4 Reconstruction du signal à partir des maxima d'ondelettes
David Marr a proposé la conjecture suivante: un signal est complètement caractérisé par la re-présentation multiéchelles de ses bords. Un signal peut être reconstruit à partir de sa rere-présentation
en coe cients d'ondelettes par transformation inverse. La question est de savoir comment recons-truire le signal simplement à partir des maxima d'ondelettes, ou bords multiéchelles. Ce problème se caractérise par trois interrogations:
Existence de la solution? Unicité de la solution?
Stabilité de l'algorithme de reconstruction?
Pour des données expérimentales, Mallat et Zhong ont proposé une conjecture répondant par l'a rmatif à ces trois questions dans le cadre des maxima d'ondelettes. Par la suite, un certain nombre de contre-exemples ont été construits par Meyer ne véri ant pas l'unicité de la solution [74]. Mais, comme il l'indique lui-même, ces contre-exemples sont dé nis mathématiquement, et pour des données réelles numériques, la représentation par maxima d'ondelettes est stable.
Divers algorithmes de reconstruction à partir des maxima d'ondelettes sont proposés dans la littérature [12], [65]. Nous utiliserons l'algorithme de Mallat et Zhong [70] qui a la propriété d'être numériquement stable et de reconstruire un signal proche de l'original. Cet algorithme est celui généralement utilisé dans des applications utilisant les maxima d'ondelettes. Nous en présentons brièvement le principe.
Pour reconstruire le signal, deux sous-espaces sont dé nis:
1. L'espace ? est composé des fonctions ffl[x]gl2Z qui ont des maxima identiques à [Al]l2Z. 2. L'espace V est composé des fonctions ffl[x]gl2Z élément de l'espace des décompositions en
ondelettes, c'est-à-dire queffl[x]gl2Z =?!
W ?!
W?1
ffl[x]gl2Z.
La solution de la reconstruction va être l'intersection de ces deux espaces ?\V. A n de calculer cette intersection, Mallat et Zhong ont proposé un algorithme utilisant des projections alternées, développé à l'origine par Youla et Webb [99]. On noteP? l'opérateur de projection orthogonale sur ? etPV l'opérateur de projection orthogonale surV. La réalisation dePV est très simple, car elle est dé nie parPV =?!
W ?!
W?1
. C'est une reconstruction suivie d'une transformée en ondelettes.P? est dé nie avec plus de di culté car ? n'est pas convexe. Mallat et Zhong proposent une approximation de cet opérateur que nous ne développerons pas dans ce mémoire, nous renvoyons à l'article de référence [70].
La reconstruction du signal à partir des maxima d'ondelettes est alors obtenue par l'utilisation de PV et deP? alternativement:f :::::PV P?
PV P?[Al]l2Z.
2.2.5 Extension à l'image
Nous pouvons étendre au 2D la notion de gradient multiéchelles et de représentation en maxima d'ondelettes, présentée ci-dessus [70].
Ainsi, pour une image, on introduit deux fonctions d'ondelettes 1(x;y) et 2(x;y) comme les dérivées premières partielles de (x;y):
1
(x;y) = @ (x;y)
@x et 2
(x;y) = @ (x;y)
Pour toutes fonctions f(x;y) 2 L2 R2 , la transformée en ondelettes, à l'échelle s, a deux composantes: d1 s (x;y) =f 1 s(x;y) etd2 s (x;y) =f 2 s(x;y):
De la linéarité de la convolution et de la dérivation, on véri e que
" d1 s (x;y) d2 s (x;y) # =s " @ @x( sf)(x;y) @ @y( sf)(x;y) # : (2.5)
L'équation (2.5) indique que la transformée en ondelettes de l'image, à l'échelle s, est équivalente au gradient de la fonction f(x;y) lissée par la fonction s(x;y). Comme dans le cas du gradient monoéchelle, un maximum dans la transformée en ondelettes correspond à un point d'in exion de la courbe sf.
La transformée en ondelettes ainsi dé nie se calcule, comme en 1D, avec un banc de ltres non-décimé 2D. La transformée en ondelettes discrètes d'une image f[x;y]2 l2(Z2) à l'échelle 2l est calculée par la convolution avec les ltres hl etgl de la façon suivante:
8 > > > < > > > : el+1 = hl;hl el w1 l+1= gl;1 el w2 l+1= 1;gl el avecw1 l+1 dérivée selon x etw2 l+1 dérivée selon y;
et (h1;h2) ltrage parh1 selon x et parh2 selon y:
Pour obtenir une reconstruction parfaite, il est nécessaire et su sant qu'il existe un groupe de ltres de synthèse Q,P etZ qui véri e la condition de reconstruction parfaite [101]:
H(wx)H(wy)P(wx)P(wy) +G(wx)Z(wy)Q(wx) +G(wy)Z(wx)Q(wy) = 1:
Dans ce cas, la transformée inverse se calcule de la façon suivante:
el?1 = pl;pl el+ ql;zl w1 l + zl;ql w2 l:
A n de dé nir la notion de maximum local en dimension 2, nous eectuons un changement de repère par: l=krlgk=q ? w1 l 2 +? w2 l 2 et, l= arg(rlg) = arctan w2 l w1 l !
En reprenant le formalisme de Canny [10], les maxima, ou bords, à l'échelle l, vont être les points maxima locaux de la normel dans la direction l. L'ensemble ainsi dé ni est notéAj et va constituer la représentation en maxima d'ondelettes d'une image [101].
Suivant le même principe que pour un signal, Mallat et Zhong ont proposé un algorithme itératif de reconstruction d'une image à partir des maxima [70].
Les fonctions d'ondelettes et d'échelles utilisées pour la décomposition multiéchelles 2D sont aussi éléments de la famille des splines [101]. Les ltres associés à ces fonctions d'ondelettes et d'échelles sont donnés par:
H(w) = cos(w=2)3exp(iw=2); G(w) = isin(w=2)exp(iw=2); P(w) = H(w);
Q(w) = 1?P(w)H(w)
G(w) ; Z(w) = 1 +P(w)H(w)
2 : (2.6)
2.2.6 Propagation des maxima
Les maxima vont suivre une évolution à travers les échelles qui est régie par certaines règles et qui permet de mesurer localement la régularité d'une fonction. Nous rappelons les propriétés de propagation des maxima à travers les échelles. Au préalable, nous indiquons la dé nition de la régularité de Lipschitz.
Dé nition 1
Soit 2[0;1], une fonctiong(x) est uniformément Lipschitz sur un intervalle[a;b] si et seulement si il existe une constante K telle que pour toutx0;x12[a;b]
jf(x0)?f(x1)jKjx0 ?x1
j
La valeur de Lipschitz mesure la diérentiabilité et la régularité d'une fonction dans un voisinage proche. Plus est grand, plus la fonction est régulière. Mallat a montré comment la régularité de Lipschitz peut être mesurée par l'évolution de la valeur absolue des coe cients d'ondelettes à travers les échelles [69].
Théorème 1
Une fonction f(x)2L2(<) est uniformément Lipschitz sur [a;b] si et seulement si il existe une constante K >0 telle que pour toutx2[a;b], la transformée en ondelettes véri e:c1 s (x) Ks (2.7)
Dans un premier temps, nous remarquons que le théorème précédent indique que l'évolution des maxima va nous permettre de détecter des singularités. Mallat et Hwang l'ont exprimé à travers le théorème suivant qui prouve que si la transformée en ondelettes de f n'a pas de maxima aux nes échelles, alorsf est localement régulière.
Théorème 2
On suppose que 2Cnavec un support compact, et = (?1)n @n@xn(x) avecR +1
?1 (x)dx6= 0. Soit f 2L1[a;b]. Si il existes0 >0 tel que
c1
s (x)
n'a pas de maximum pour x2[a;b] et s < s0, alors f est uniformément Lipschitz nsur [a+";b?"], pour tout " >0:
Cela implique quef peut être singulière à un pointv si et seulement si il existe une séquence de maxima d'ondelettes (xn;sn)n2N qui converge vers v aux nes échelles:
lim
n!+1
xn=v et limn
!+1
sn= 0 Nous utiliserons cette propriété pour la segmentation de signaux.
D'autre part, on remarque que la connaissance des constantes K et , nous permet à partir de l'équation (2.7), d'estimer la régularité Lipschitz d'une singularité, et implicitement l'amplitude de la transformée en ondelettes à chaque échelle pour les diérentes singularités. En utilisant la transformée en ondelettes sur une grille dyadique et la représentation par maxima, l'équation (2.7) s'écrit, pour les diérentes singularités xn [23],
wl;xln =Kn(2l) n;l= 1:::L; (2.8) où fwl;kgk2Z est la transformée en ondelettes du signal f à l'échelle l, xln est la position du maximum local à l'échelle l correspondant à lanième singularité, n est la régularité de Lipschitz de la fonctionf en ce point singulier etKn est une constante non-nulle.
Ces résultats se généralisent à la dimension deux, en étudiant la norme des dérivées partielles. Sur une grille dyadique, la relation est la suivante pour les diérentes singularités de position (xn;yn):
l[xln;yln] =Kn(2l) n;l= 1:::L (2.9)