Arbre binaire des distances spectrales

3.4.1.1 Estimation du spectre

An de détecter les changements dans le spectre du processus, nous devons estimer, au préalable, le spectre sur chacun des intervalles Ilj. Notons que les distances spectrales sont toujours évaluées entre les deux moitiés d'un bloc dyadique, c'est-à-dire, que pour chaque échelle l, nous calculons les diérences spectrales entre les intervallesIl

2j etIl

2j+1. En conséquence, les deux intervalles comparés ont le même nombre de points. L'estimation du spectre peut donc s'eectuer sans concaténation de zéros, qui introduit des oscillations parasites dans le spectre estimé.

De plus, an de limiter les eets de bords, dus à la fenêtre carrée de partition, nous divisons le signal à l'aide de fenêtres dont la transformée de Fourier a de faibles lobes secondaires. De nombreuses fenêtres régulières sont introduites dans la décomposition en ondelettes de Malvar (ces fenêtres permettent, de plus, d'obtenir une décomposition orthogonale). Le fenêtrage du signal avec des fenêtres régulières est calculé grâce à l'opérateur T_Ilj déni par l'équation (3.7).

Le spectre local F_Ilj peut être estimé sur chaque intervalle Ilj par le module au carré de la transformée de Fourier F_Ilj[] =        1 N=2l X t2IljT_Iljfe? i2(t?aj) N=2l        2

Toutefois, cette estimation n'est pas robuste car le spectre est dégradé par des oscillations pa-rasites dues à la variance du périodogramme. Nous proposons alors d'appliquer le post-traitement proposé par Moulin pour l'estimation d'un spectre de puissance de processus aléatoire stationnaire [75]. Moulin utilise le principe du seuillage de la transformée en ondelettes (étudié par Donoho [36]) pour lisser le log-périodogramme. En eet, les oscillations parasites présentes dans le périodo-gramme peuvent être approximées par un processus gaussien lorsque l'on applique une transformée logarithmique. Nous retrouvons le cas classique de mesures corrompues par un bruit blanc gaussien additif tel que nous l'avons étudié dans le premier chapitre. La décomposition en ondelettes avec, par exemple, des ondelettes de Daubechies, constitue une méthode très ecace pour réduire ces oscillations [36]. Après un calcul des coecients d'ondelettes du log-périodogramme, un seuillage est appliqué puis le spectre lissé est obtenu par transformée inverse en ondelettes. Formellement, le lissage du spectre de puissance proposé par Moulin est déni par:

logF_Ilj[] =?! W?1 K ?! W 0 B @log 0 B @       1 N=2lP t2IljT_Iljfe? i2(t?aj) N=2l       2 1 C A 1 C A avec?!

W la transformée en ondelettes discrète,?!

W?1

la transformée inverse etKune fonction de seuillage La diculté est de dénir la fonction de seuillage K, ou plus précisément le seuil . On trouve

diérentes propositions de seuils dans la littérature. Par exemple, Moulin [75] considère que l'ap-proximation bruit blanc gaussien sut et donc utilise l'estimation du seuil proposé par Donoho que nous avons présenté au premier chapitre (équation 1.15). En revanche, Gao [46] propose un seuil dépendant de l'échelle. Après des expérimentations numériques, l'approche consistant à utiliser une simple estimation du seuil, telle que l'a dénie Donoho, nous a semblé plus robuste.

Nous proposons d'étendre cette méthode de lissage du log-périodogramme en utilisant une trans-formée en ondelettes non-décimée. Comme nous l'avons vu dans le premier chapitre, cette transfor-mée redondante possède de meilleures qualités de reconstruction pour des problèmes de débruitage. Le seuillage d'une décomposition orthogonale décimée fait apparaître de nombreuses oscillations parasites appelées par Coifman et al. phénomène pseudo-gibbs. La redondance d'information pré-sente dans une décomposition non décimée fait disparaître ce phénomène. Finalement, l'estimation du log-périodogramme local, que nous proposons, est telle que:

logF_Ilj[] =?! W?1 u K ?! Wu 0 B @log 0 B @       1 N=2lP t2IljT_Iljfe? i2(t?aj) N=2l       2 1 C A 1 C A avec?!

Wu la transformée en ondelettes discrète non décimée

(3.20) Notons que nous pouvons utiliser une transformée trigonométrique à la place de la transformée de Fourier, plus adaptée aux signaux fenêtrés [73].

Bien que nous utilisons une décomposition non-décimée, nous avons choisi d'utiliser un seuillage soft [36] dont nous rappelons la dénition

K(x) =sgn(x)(jxj?)+ avec+= sup(;0):

En eet, le log-périodogramme présente des pics très importants, et le seuillage hard fait ap-paraître des discontinuités malgré la redondance d'information. Le niveau de bruit et le seuil sont

estimés tels que nous l'avons proposé dans notre algorithme uwt_mean dans le premier chapitre:

l=q

2log2(N=2l) avec =MAD(w1)=0:6745

Nous illustrons sur la gure 3.17 le lissage d'un log-périodogramme d'un signal autorégressif (AR) déni par:

 1?0:8ei0:6z?1  1?0:9ei0:3z?1  Yt=btavecbt?!^i:i:dN(0;1) (a) (b) (c)

Fig.3.17  Log-périodogramme d'un AR: (a) théorique (b) Estimé par la méthode du périodogramme (c) Estimé par la méthode du périodogramme et débruité par la méthode en ondelettes non-décimée Nous pouvons voir sur la gure 3.17 que le débruitage par décomposition en ondelettes non-décimée permet de lisser le log-périodogramme tout en conservant les informations principales. Nous avons aussi conçu une estimation du spectre à partir de la théorie des paquets d'ondelettes. Mais n'étant pas encore complètement nalisée, cette méthode n'a pas permis d'obtenir des résultats satisfaisants en terme de qualité de spectre estimé, nous ne développerons donc pas cette approche dans ce mémoire.

3.4.1.2 Calcul de l'arbre des distances

Le calcul de l'arbre binaire des distances spectrales requiert une mesure de la distance entre les spectres estimés des intervalles adjacents. On peut trouver dans la littérature de nombreuses mesures de distance spectrale, notamment dans [7]. Après plusieurs expérimentations, nous avons choisi deux distances spectrales qui nous ont semblé robustes et simples. La distance en norme Lq

dénie par: D F_Il 2j;F_Il 2j+1  = logF_Il 2j?logF_Il 2j+1 q

et la distance symétrisée de Kullback (modiée pour n'avoir que des valeurs positives) dénie par: D F_Il 2j;F_Il 2j+1  = 1₂?l 2 ?l?1 X =0 0 @ F_Il 2j() F_Il 2j+1 () + F_Il 2j+1 () F_Il 2j() 1 A

De plus, nous pouvons utiliser les versions optimisées pour le gain dénies par:

D  F_Il 2j;F_Il 2j+1  = min_> 0 D F_Il 2j;F_Il 2j+1 

Les versions optimisées pour le gain permettent d'avoir une mesure qui n'est pas sensible à une légère modication d'enveloppe mais uniquement à une modication des fréquences présentes dans le signal.

Pour construire l'arbre des distances spectrales, nous calculons la diérence spectrale entre les deux moitiés d'un bloc dyadique. Puis chacune des mesures de distances va être stockée dans les noeuds d'un arbre binaire. L'arbre de distance est binaire car nous utilisons la décomposition dya-dique, chaque distance aura donc deux distances ls.

Si Dlj correspond au coût du noeud d'indice (j;l);il est alors déni par:

Dlj =D

F_Il+1 2j ;F_Il+1

2j+1 

Nous représentons sur la gure 3.18 l'arbre binaire des distances spectrales construit à partir d'une partition récursive sur 3 échelles.

Fig. 3.18  Arbre des distances spectrales pour 3 échelles de décomposition