Algorithme de séparation 2D

Comme dans le cas monodimensionnel, nous introduisons une fonction ET2(:) qui symbolise la distribution spatiale 2D de l'énergie des coecients d'ondelettes. La sélection de la meilleure représentation va donc s'eectuer grâce à une mesure notée 2 dénie par:

n 2  dl 2j+a1;2j0 +a0 1;dl 2j+a2;2j0 +a0 2  =ET2 (dl 2j+a1;2j0 +a0 1)\ 2 ETET2 (dl 2j+a2;2j0 +a0 2)o avec a1;2 = 0;1;a0 1;2= 0;1 &((a1;a0 1)6= (a2;a0 2)) et \ 2

ET une mesure de ressemblance entre 2 dis-tributions spatiales 2D.

Notons que pour chaque échelle, un bloc fréquentiel se divise en quatre sous-fenêtres ce qui explique les notations

a1;2 = 0;1;a0

1;2= 0;1

&((a1;a0

1)6= (a2;a0

2)). La sélection va être plus com-plexe que dans le cas 1D, car nous avons, pour chaque ensemble de noeuds ls, six mesures d'inter-section (toutes les combinaisons possibles entre 4 éléments). Nous reviendrons ultérieurement sur la procédure de sélection prenant en compte la multiplicité des mesures d'intersection.

4.5.4.1 Evaluation de la distribution de l'énergie dans le domaine spatial 2D: fonction

ET2

Il faut dénir une fonction 2D qui permet de modéliser l'évolution spatiale de l'énergie du signal pour une certaine bande de fréquences. L'enveloppe nous semble à nouveau un choix judicieux et nous reprenons la méthode proposée par Laine d'estimation de l'enveloppe basée sur les passage par 0 du signal [59]. Toutefois, son extension à la dimension deux nécessite certains choix. En eet, l'estimation des passages par 0 s'eectue sur un vecteur, et sa généralisation à une matrice doit être précisée. Laine et al. proposent d'appliquer cette méthode, soit selon les lignes, soit selon les colonnes de la matrice, la direction étant xée par la bande de fréquence étudiée. Mais cette généralisation ne nous a pas satisfait durant nos expérimentations, car l'enveloppe a tendance à s'étendre dans la direction utilisée pour l'estimation. De plus, aucune suggestion n'est faite par Laine quant à l'approximation de l'enveloppe de la composante passe-bas. Nous proposons une nouvelle technique d'estimation de l'enveloppe 2D qui ne privilégie aucune direction. Nous calculons tout d'abord une enveloppe à partir de l'algorithme 1D appliqué sur chaque ligne de la matrice , puis nous calculons une seconde enveloppe selon les colonnes. Enn l'enveloppe nale est dénie comme la courbe passant par les minima de ces deux enveloppes.

Si nous notons

ligz(l;j;j0 )

i



i2Z l'ensemble des points correspondant à un passage par 0 du signal 2Ddlj;j0 étudié selon les lignes, et

colz(l;j;j0 )

i



i2Z l'ensemble des points correspondant à un passage par 0 du signal 2Ddlj;j0 étudié selon les colonnes notre fonctionET2(dlj;j0) est alors dénie par

ET2

(dlj;j0)[x;y] = min _t max

x2[ligzi?1;ligzi]   dlj;j0[tx;y]  ;_t max y2[colzi?1;colzi]   dlj;j0[x;ty]   ! ; avec [x;y] 2 h ligzi?1;ligzi i  h colzi?1;colzi i :

Nous présentons sur la gure 4.39 un exemple d'estimation d'enveloppe 2D sur l'une des pro-jections en ondelettes de Meyer de l'image Test2d. Nous sommes dans un plan correspondant à l'application d'un ltre passe-haut selon les colonnes et d'un ltre passe-bas selon les lignes. Sui-vant Laine, l'estimation de l'enveloppe s'eectue alors par l'utilisation de l'algorithme 1D selon les colonnes. Le résultat est indiqué sur la gure 4.39b. On constate un étirement des formes selon les colonnes qui rend imprécis la localisation des atomes. La gure 4.39c présente l'enveloppe estimée selon notre méthode. Elle respecte plus précisément les formes et a tendance à être plus restrictive, ce qui est tout à fait adapté au but recherché, à savoir une mesure d'intersection d'enveloppes.

Il nous faut maintenant introduire la fonction de coût 2D qui va évaluer le degré de ressemblance entre deux enveloppes calculées sur deux projections diérentes.

(a) (b) (c)

Fig. 4.39  Estimation d'une enveloppe 2D (a) Distribution de l'énergie de la décomposition (b) Estimation selon Laines (c) Estimation sans direction privilégiée

4.5.4.2 Fonction de coût 2D:

An de mesurer le degré de ressemblance entre deux enveloppes, nous calculons la courbe cor-respondant à la quantité d'énergie commune à chaque instant aux deux espaces fréquentiels. Pour cela, nous reprenons les mêmes dénitions que pour le signal, simplement étendues à la dimension 2: 2  dlj1;j0 1;dlj2;j0 2  =dlj1;j0 1 \ 2 Edlj2;j0 2 dlj1;j0 1 [ 2 Edlj2;j0 2 ; avec dlj1;j0 1 \ 2 Edlj2;j0 2 =^N=2l?1 X x=0 M=2l?1 X y=0 min(dlj1;j0 1[x;y];dlj2;j0 2[x;y]); et, dlj1;j0 1 [ 2 E dlj2;j0 2 =^N=2l?1 X x=0 M=2l?1 X y=0 max(dlj1;j0 1[x;y];dlj2;j0 2[x;y]):

4.5.4.3 Choix de la meilleure représentation 2D

Nous avons déni une mesure 2D qui permet d'évaluer la qualité de séparation des composants d'une image par division de l'espace fréquentiel. Nous allons utiliser cette fonction de coût avec la décomposition en paquets d'ondelettes de Meyer an de dénir un algorithme d'extraction des diérentes textures d'une image.

Au préalable, nous étudions la répartition de l'énergie entre les quatre sous-fenêtres résultant d'une division. Si l'énergie du père se diuse très faiblement dans l'une des fenêtres, on considère que cette fenêtre ne contient pas d'information signicative et elle ne sera pas étudiée, ainsi que toutes les sous fenêtres associées. Ce seuillage est symbolisé par le paramètre2

E:

Ensuite nous sélectionnons les partitions fréquentielles signicatives. On débute à l'échelle la plus ne (correspondant aux fenêtres fréquentielles les plus petites), et pour chacun des groupes de 4 fenêtres ls, nous mesurons, à l'aide de la fonction 2, l'indice de séparation des diérentes com-posantes du signal. Puis nous comparons ces diérentes mesures à une valeur seuil2

les divisions signicatives. Puisque la comparaison n'est pas binaire, c'est-à-dire qu'elle n'est pas unique mais, pour une division, nous avons six comparaisons, il faut xer un critère décidant si la divisions en quatre sous-fenêtres est signicative. Nous proposons pour cela la condition suivante qui nous semble la plus adaptée: une coupure est considérée comme signicative si elle permet de séparer deux textures sur au minimum deux sous-fenêtres ls.

L'algorithme de recherche de la meilleure base 2D va donc se dénir de la façon suivante:

{ Soit Alj;j0 un boolen indiquant si la coupure correspondant au noeud d'indice(j;j0;l) est slectionne;soit Elj;j0 le cot associ; soitla condition

a1;2= 0;1;a0 1;2= 0;1 ((a1;a0 1)6= (a2;a0 2)) { Pour l variant de L?2 0;

Pour j variant de 0 2l?1;Pour j0 variant de 0 2l?1

Simin  2  dl 2j+a1;2j0 +a0 1 ;dl 2j+a2;2j0 +a0 2  < 2 ET alors la partition de Blj;j0 en " Bl+1 2j;2j0 Bl+1 2j;2j0 +1 Bl+1 2j+1;2j0 Bl+1 2j+1;2j0 +1 # est slectionne: Alj;j0 = 1et El?1 j=2 = min  2  dl 2j+a1;2j0 +a0 1 ;dl 2j+a2;2j0 +a0 2  ; sinon la partition est rejete: Alj;j0 = 0

Notre algorithme nécessite la dénition de deux seuils: 2

ET et2

E. Les intervalles de dénition de ces deux paramètres sont identiques au cas monodimensionnel. Toutefois, le paramètre2

ET peut être plus strict car la distinction spatiale des textures est plus marquée que dans le cas 1D.

4.5.4.4 Illustration

Fig. 4.40  Décomposition en paquet d'ondelettes de Meyer de l'image test2d. Meilleure base sélec-tionnée par le recouvrement des enveloppes (les zones hachurées correspondent à des blocs fréquentiels rejetés)

Nous avons appliqué notre algorithme sur l'image de test dénie au début de ce paragraphe. Nous constatons sur la gure 4.40 que notre algorithme sélectionne correctement les blocs fréquentiels qui permettent de séparer les diérentes textures de l'image. Chacun des composants est présent dans

une fenêtre et une seule et chaque fenêtre n'a qu'un seul composant. Si l'on compare cette partition avec celle obtenue pour le coût entropique, nous constatons que cette partition est plus adaptée à l'analyse de l'image: elle est minimale et optimale. De plus les bandes de fréquences ne contenant pas d'information signicative sont rejetées.

Toutefois, dans le domaine 2D, la sélection d'une représentation TF optimale n'est pas l'applica-tion la plus recherchée. En revanche elle s'inscrit parfaitement dans un algorithme de segmental'applica-tion. Nous présentons dans le paragraphe suivant une méthode de classication utilisant notre algorithme de séparation.