Propriétés de la décomposition discrète en ondelettes de Meyer

+i " T e I_LTeI_Lf2+X^L l=1 PIlf2 # :

Pour conclure sur le développement numérique des ondelettes de Meyer, nous présentons sur la gure 4.6 les diérentes fenêtres associées aux fonctions d'ondelettes et d'échelle pour une décom-position en 3 échelles. Sur cette gure, nous faisons apparaître les diérents intervalles fIlgl=1;2;3

et Ie3, ainsi que la polarité des restrictions associées. Nous constatons que les polarités sont bien alternées.

La gure 4.6 met en évidence une limitation qui n'a pas été formulée dans ce paragraphe. Le support fréquentiel de la fonction d'ondelettes 1, qui correspond à la première échelle d'ondelettes, et donc des fenêtres wI1 etw?I1, dépasse le domaine fréquentiel des données [?N=2 + 1;N=2?1]. An de pouvoir utiliser cette fenêtre sur des signaux à durée limitée, nous la tronquons dans le plan fréquentiel, en faisant une coupure brutale en -1/2 et 1/2 sans recouvrement.

Fig. 4.6  Fonctions d'ondelettes et d'échelle: fenêtres associées (nous indiquons entre parenthèse les polarités pour les projections de la partie réelle). Notons que les fonctions présentées ne sont pas normées.

4.2.3 Propriétés de la décomposition discrète en ondelettes de Meyer

Nous étudions les diérentes propriétés de la transformée en ondelettes de Meyer discrète. Le cal-cul dans le domaine fréquentiel, et non temporel, est la principale diérence de cette décomposition par rapport aux ondelettes numériques classiques, ce qui implique des ltres à support temporel inni. Nous étudions dans ce paragraphe la décroissance des fonctions d'ondelettes ainsi que ses conséquences sur la localisation temporelle dans une décomposition discrète. A l'inverse, nous avons une meilleure séparation fréquentielle, et nous illustrons ceci sur un signal synthétique composé de diérents atomes temps-fréquence.

(a) (b) (c) (d)

Fig.4.7  Achage de log(j (t)j) pourt >1=2 en utilisant une fonction ramper2Cp(<) de degré variable: (a) p= 0 (b) p= 1 (c) p= 2 (d) p= 3

4.2.3.1 Décroissance de la fonction d'ondelette

La décroissance de la fonction d'ondelette de Meyer va dépendre de la fonction de coupure r. Si

rest de degrépalors b

2Cp(<): l'indice de décroissance de augmente avecp. Dans la gure 4.7, nous reprenons les courbes présentées par Kolaczyk dans son mémoire de thèse. Sur ces courbes, la fonction log(j (t)j);avect >1=2, est tracée pour diérentes valeurs de p. A titre de comparaison, la droite log(e?t) (correspondant donc à une décroissance exponentielle) est elle aussi représentée.

Logiquement, on remarque que la décroissance de la fonction s'accélère lorsquepaugmente. En eet, la courbe log(j (t)j) quitte le modèle exponentiel pour untsupérieur lorsquep augmente.

4.2.3.2 Localisation temporelle

L'utilisation de ltres à support temporel inni va avoir pour conséquence une localisation tempo-relle plus faible que les décompositions basées sur des ltres à support compact comme les ltres de Daubechies. An d'évaluer cette localisation à diérentes échelles, nous décomposons une fonction Dirac avec des ondelettes Symmlet-8, et des ondelettes de Meyer (dénies pourp= 3).

Nous présentons sur la gure 4.8, l'énergie des coecients pour trois échelles de décompositions (échelle 1,3 et 5). Le résultat optimal serait de n'avoir des coecients d'ondelette non nuls qu'à la position correspondant à la discontinuité. En pratique, les coecients sont nuls lorsque le support de l'ondelette ne comprend pas de discontinuités. On constate sur la gure 4.8 que les diérences entre les deux représentations sont à peine visibles. Seules les échelles les plus grossières, lorsque l'ondelette est très dilatée, présentent un nombre de coecients non nuls autour de la discontinuité plus important pour les ondelettes de Meyer. Toutefois, les amplitudes de ces coecients de Meyer parasites sont très faibles par rapport au coecient correspondant à la discontinuité (sur la gure qui correspond à la distribution d'énergie ils n'apparaissent presque pas). De plus, la taille de l'intervalle des coecients signicatifs, encadrant une discontinuité, reste minime pour les ondelettes de Meyer.

An de quantier l'eet de dispersion, dû aux ondelettes de Meyer, Kolaczyk a mesuré l'énergie des coecients autour des positions des discontinuités. Il a montré que cette énergie est très proche de celle d'une décomposition classique (diérence de 4 % par rapport à des ondelettes de Daubechies-6) [57]. Ceci conrme que la localisation temporelle des ondelettes de Meyer est très proche des ondelettes classiques à support temporel borné.

(a) (b) (c)

Fig. 4.8  Décomposition du dirac avec l'ondelette de Meyer (trait plein) et l'ondelette Symmlet-8: (a) Echelle 1 (b) Echelle 3 (c) Echelle 5

(a) (b) (c)

Fig. 4.9  Décomposition du signal Atomes sur 2 échelles: (a) representation theorique (b) décom-position avec des ondelettes Symmlet-8 (c) décomdécom-position avec des ondelettes de Meyer avec p= 3

4.2.3.3 Séparation fréquentielle

Comme nous l'avons dit, le calcul des coecients d'ondelettes directement dans le plan fréquen-tiel nous permet d'utiliser des ltres à support fréquenfréquen-tiel ni. Ceci se traduit par une meilleure localisation fréquentielle, et donc une meilleure séparation des diérentes bandes. An d'illustrer cette propriété, nous décomposons un signal composé de trois atomes TF. Ce signal va présenter trois pics distincts dans le plan fréquentiel à des positions diérentes. Dans ce cas, le résultat opti-mal serait de n'avoir sur chacune des échelles qu'un atome (la coordonnée fréquentielle de chacun des atomes étant xée à une valeur adéquate). Nous présentons sur la gure 4.9a le signal original ainsi que la représentation TF associée. Le premier atome ne doit apparaître que sur la première échelle (fréquence: 

N2?2;N2?1 

); le second sur la deuxième échelle (fréquence: 

N2?3;N2?2 

), enn le troisième sur la trame (fréquence:

0;N2?3 

). On constate, sur la décomposition avec les ondelettes Symmlet-8, que la séparation entre les bandes de fréquences n'est pas excellente (gure 4.9b). Par exemple, le troisième atome présent sur la trame débute autour de la position 2500, alors qu'il ne devrait apparaître qu'à partir de la position 5500. En fait, un certain nombre de coecients de la zone 2500-5500 proviennent du deuxième atome. On en déduit que le support fréquentiel inni du ltre a des conséquences non négligeables. On constate que la décomposition en ondelettes de Meyer sépare d'une façon presque optimale les diérents atomes (gure 4.9c). Le seul défaut visible se trouve sur la première échelle dans la zone 3000-5000. Ceci est dû au large recouvrement de la fenêtre associée. Mais d'une façon générale, nous concluons que la décomposition en ondelettes de Meyer apporte une amélioration très sensible par rapport aux décompositions classiques.

une partition de l'espace fréquentiel en intervalles N2?l?1;N2?l . Nous allons généraliser cette représentation en utilisant la théorie des paquets d'ondelettes mais en conservant le principe de la partition dans l'espace fréquentiel.