Décomposition anisotropique en ondelettes de Malvar 2D

Nous pouvons trouver dans le livre de Wickerhauser l'illustration d'une décomposition en paquets d'ondelettes anisotropique 2D [96]. Lors de cette décomposition, les projections correspondent cha-cune à des directions diérentes (horizontale ou verticale). Dans ce cas, les coecients d'ondelettes ne peuvent plus être stockés dans un arbre binaire. Wickerhauser suggère d'organiser les coecients avec un arbre non-homogène qui inclut diérentes copies des mêmes coecients. Nous proposons dans ce paragraphe un algorithme de décomposition en ondelettes de Malvar anisotropique 2D ayant une complexité minimum (notamment en évitant le calcul multiple de coecients identiques). Nous indiquons ensuite comment les diérentes coupures peuvent être rangées dans un arbre où chaque noeud possède deux couples de deux ls.

3.4.4.1.1 Algorithme de décomposition

La décomposition anisotropique va consister à di-viser chaque bloc selon deux directions diérentes: l'horizontale et la verticale. Nous illustrons sur la gure 3.36 la division d'un bloc. Nous notonsdivision_H la division selon un axe horizontal et

division_V la division selon un axe vertical.

Fig.3.36  Division d'un bloc dans la décomposition en ondelettes de Malvar anisotropique 2D selon deux directions

L'algorithme de décomposition en ondelettes de Malvar anisotropique 2D va donc consister à appliquer ces deux divisions sur chacun des sous-blocs à chacune des échelles. La principale diérence avec la décomposition classique est qu'il existe plusieurs découpages pour une même échelle (dans la décomposition dyadique, l'échellelest caractérisée par un pavage de l'image avec des blocs de taille

h

N

2l;M

2l i

). Si l'on applique cette méthode de division sans aucune restriction, un certain nombre de partitions vont être calculées deux fois. Par exemple, en étudiant en détail les divisions permettant de passer de la première échelle à la seconde, nous constatons que deux des partitions obtenues sont identiques (comme nous pouvons le voir sur la gure 3.37).

Fig. 3.37  Décomposition de l'échelle 1 vers l'échelle 2

An de simplier nos propos, nous introduisons une notation pour les diérentes projections: nous notonsPl;s les diérentes partitions.lcorrespond à l'échelle étudiée,sl'indice de la projection avec la contrainte suivante: Pl;s correspond à une partition comprenant des rectangles de taille

h

N

2l?s;M

2s i

avec [N;M] taille de l'image de départ etsvariant de 0 àl.

Nous remarquons sur la gure 3.37 que les opérationsdivision_H(P1;0) etdivision_V (P1;1) ob-tiennent la même partition. D'une façon générale, nous pouvons dire que les opérationsdivision_H(Pl;s) etdivision_V (Pl;s+1) vont donner la même partition pour chaque échelle l et indice s.

A chaque échellel, nous avonsl+1 partitions diérentes. Puisquedivision_H(Pl;s) =division_V (Pl;s+1) nous allons uniquement calculer, pour chaque partition, la division selon la direction verticale. Une

seule exception pour la partition d'indice 0 qui ne possède pas de frère à sa gauche et qui doit donc être divisée selon une direction horizontale.

L'algorithme de décomposition en ondelettes de Malvar anisotropique 2D se décline alors suivant:

Pour l variant de 0 L?1, Pl+1;0 =division_H(P1;0),

Pour s variant de 0 L+ 1

par pas de 2

, Pl+1;2s+1=division_V (P1;s),

pour s variant de 0 L+ 2,

Appliquer une transforme trigonomtrique sur chaque rectangle lment de Pl+1;s.

Nous illustrons l'algorithme de décomposition en ondelettes de Malvar anisotropique 2D sur la gure 3.38.

3.4.4.1.2 Organisation des distances

Il nous faut maintenant préciser la généralisation à la dimension 2 de l'arbre des distances introduit dans le cas du signal. Entre deux rectangles éléments

Fig.3.38  Algorithme de partition anisotropique 2D

d'une même partition, nous pouvons calculer une distance spectrale mesurant leur similarité dans l'espace fréquentiel. Nous introduirons dans le paragraphe suivant cette mesure. Au préalable, nous devons proposer un formalisme pour chacun des sous-blocs an de pouvoir expliciter l'organisation de notre arbre des distances spectrales.

Nous avons présenté sur la gure 3.6 les notations couramment utilisées dans le cadre de la décomposition en ondelettes de Malvar. Nous rappelons que chaque sous-bloc est noté Blj avec l

indice d'échelle et j le numéro du bloc.

Dans le cas de la décomposition en ondelettes de Malvar anisotropique 2D, le problème est plus complexe car il existe plusieurs partitions par échelle, et chaque bloc n'est pas décomposé selon les mêmes directions. Nous devons donc introduire un indice supplémentaire s symbolisant le numéro de la partition dont fait partie le bloc, et deux indices i;j indiquant la position du bloc dans le pavage. Lorsque l'on découpe le pavage selon la direction verticale, le nombre de lignes dans le pavage reste constant, donc l'indice ides blocs ne change pas. Concrètement,

B_i;j^{l;s Division})^_V h B^l+1;s i;2j B^l+1;s i;2j+1 i . (3.23)

A l'inverse, lors d'une division selon l'horizontale c'est le nombre de colonne du pavage qui ne se modie pas, donc

B_i;j^{l;s Division})^_H " Bl+1;s+1 2i;j B^l+1;s+1 2i+1;j # : (3.24)

Nous indiquons sur la gure 3.39 l'illustration de ces notations. Si nous reprenons le principe exposé dans le cas 1D, nous dénissons un spectre 2D F_i;j^l;s sur chacun des blocs B^l;s_i;j. Puisque nous avons des coupures horizontales et verticales, nous introduisons deux symboles:DH pour les distances correspondant à des coupures horizontales, et DV pour des coupures verticales. Dans ce cas, si nous avons une fonctionD(:) mesurant l'écart entre deux spectres 2D, nous notons

DH_i;j^l;s=D F^l+1;s 2i;j ;F^l+1;s 2i+1;j  etDV_i;j^l;s=D F^l+1;s i;2j ;F^l+1;s i;2j+1  (3.25) La gure 3.39 présente des exemples de notations de distances spectrales.

Fig. 3.39  Notations des sous-blocs et des distances spectrales utilisées dans le cadre de la décom-position en ondelettes de Malvar anisotropique

A partir des relations (3.23), (3.24) et (3.25), nous en déduisons que chaque distance spectrale possède deux ls correspondant à deux couples de distances. Dans chacun de ces couples, les deux distances sont en concurrence. La gure 3.40 présente une illustration des relations existant entre les distances spectrales de deux échelles successives. Sur cette gure nous avons pris comme exemple un noeud père associé à une division verticale entre deux blocs h

B_i;j^l;s B_i;j^l;s+1 i

. La distance as-sociée à cette coupure se note DV^l?1;s

i;j=2 . Lors de l'itération suivante, les deux blocs B_i;j^l;s et B_i;j^l;s+1

se décomposent suivant des directions horizontales et verticales. Pour le bloc B_i;j^l;s, nous avons les coupures suivantes B_i;jl;s 8 > > < > > : Division_V ) h B_i;l+1;s 2j Bl_i;+1;s 2j+1 i

à laquelle correspond la distance DV_i;j^l;s

Division_H )

Dans le document Méthodes numériques temps-échelle et temps-fréquence pour le traitement du signal et des images (Page 136-139)