Images d'angiographie

L'angiographie est une technique radiographique qui permet de visualiser les vaisseaux (sténose, dilatation, aspect irrégulier) mais aussi les tumeurs qui sont souvent hyper vascularisées.

L'information prépondérante dans une image d'angiographie correspond donc aux contours des vaisseaux. C'est pourquoi une approche par maxima d'ondelettes nous semble tout à fait adaptée tant pour des applications de débruitage que de segmentation.

Nous présentons sur la gure 2.36 une image d'angiographie, ainsi que le résultat du débruitage eectué par l'algorithme Angle_ITE avec une décomposition en 4 échelles et des paramètres",N

et Dxés aux valeurs dénies par l'équation (2.21). Nous ne pouvons pas mesurer la qualité du débruitage. En revanche, nous constatons sur l'image résultat que le bruit présent sous forme de points parasites a été supprimé, alors que la structure des vaisseaux n'a pas été modiée, et même renforcée.

(a) (b)

Fig. 2.36  Image d'angiographie: (a) Image originale (b) Image débruitée par l'information angle multiéchelles

Puisque l'information recherchée dans ce type d'image est le contour des vaisseaux, nous achons sur les gures 2.37 et 2.38 les contours de l'image bruitée, ainsi que ceux sélectionnés par notre algorithme, respectivement aux échelles 2 et 3.

On constate que les contours des vaisseaux sont dicilement détectables sur l'image originale. De nombreuses lignes parasites sont présentes un peu partout dans l'image rendant une approche immédiate d'extraction des vaisseaux quasiment impossible. Après sélection des maxima à angle stable, un grand nombre de maxima parasites a été supprimé. Il est certain que quelques contours de vaisseaux ont été interrompus,mais globalement, on peut estimer que l'image de contours débruitée constitue une base très intéressante pour un algorithme de segmentation des vaisseaux qui utiliserait une approche contour multiéchelles.

(a) (b)

Fig. 2.37  Image d'angiographie (échelle 2): (a) Image originale (b) Image débruitée par l'infor-mation angle multiéchelles

2.5 Conclusion

Nous avons étudié durant ce second chapitre les décompositions en maxima d'ondelettes qui permettent d'analyser localement la régularité d'une fonction. En utilisant la décomposition en ondelettes non-décimée introduite dans le premier chapitre, Mallat a proposé une représentation discrète riche en applications.

Dans un premier temps, nous avons proposé un algorithme de segmentation 1D qui s'appuie sur les propriétés de propagation de ces maxima d'ondelettes. La méthode décrite repose sur deux procé-dures de chaînage, ce qui permet d'introduire une certaine robustesse. Cet algorithme a été appliqué avec succès sur des signaux de radiocommunication permettant ainsi de séparer diérentes zones selon le trajet que le signal a eectué. Dans ce cas, notre algorithme constitue un pré-traitement qui permet ensuite de faire des modélisations sur des zones homogènes. Ensuite, la segmentation par maxima a été utilisée sur les signaux annexes de l'EEG. Nous avons dû introduire des a priori propres à ces signaux an de dénir une méthodologie qui permette d'extraire les coordonnées tem-porelles des questions et des réponses. Les données extraites par notre méthode vont être utilisées pour analyser les représentations TF associées au signal EEG que nous calculerons à partir des algorithmes introduits dans les chapitres suivants.

Dans un second temps, en s'appuyant sur le postulat que l'information, même bruitée, conserve un angle de gradient stable, alors que l'angle du bruit uctue, nous avons déni une technique de discrimination dans l'image gradient plus robuste que l'utilisation de la norme. L'extension au gradient multiéchelles nous a permis de concevoir un algorithme de débruitage qui étudie plusieurs bandes de fréquence à travers l'information contour. L'application de cet algorithme sur des images très bruitées a montré l'ecacité de notre méthode (par exemple sur les images d'angiographie).

Ce chapitre ne constitue qu'une inme partie des méthodes que l'on peut créer à partir de la représentation en maxima d'ondelettes. Par exemple, nous pensons étendre diérents algorithmes

(a) (b)

Fig. 2.38  Image d'angiographie (échelle 3): (a) Image originale (b) Image débruitée par l'infor-mation angle multiéchelles

de segmentation basés sur le gradient monoéchelle, que l'on trouve dans la littérature, à la décom-position multiéchelles et les généraliser pour des images couleurs.

Toutefois, comme nous l'avons déjà précisé, un algorithme de segmentation 1D basé sur les maxima d'ondelettes ne va étudier que les ruptures basses fréquences. Nous allons donc quitter le domaine de l'analyse des courbes par représentation temps-échelles pour utiliser les décompositions en ondelettes de Malvar qui correspondent à une transformée de Fourier à fenêtres adaptatives. Cette nouvelle représentation va nous permettre de dénir des méthodes de partition qui étudient les uctuations d'un signal sur toute sa bande de fréquence, comme nous allons le voir dans le chapitre suivant.

Chapitre 3

Quelques algorithmes sur les ondelettes

de Malvar

3.1 Introduction

Nous allons étudier dans ce chapitre une famille particulière d'ondelettes appelée ondelettes de Malvarou transformée trigonométrique locale. Cette transformée, introduite par Coifman et Meyer [31] à partir des textes de Malvar [71], consiste à appliquer une partition temporelle adaptée du signal, grâce à des fenêtres régulières, puis à eectuer une analyse de Fourier sur chacun des segments. On remarque que ce processus est inverse de celui utilisé lors d'une décomposition classique en ondelettes qui eectue tout d'abord un ltrage adapté du signal, puis une analyse temporelle.

Les ondelettes de Malvar s'inscrivent dans le cadre général de l'analyse de Fourier à court terme, donc des techniques temps-fréquence, et non temps-échelle. Grâce aux ondelettes de Malvar, une collection de décompositions trigonométriques locales est construite et la meilleure d'entre elles, au sens d'un critère, peut être sélectionnée à l'aide de l'algorithme Best-Basis proposé par Coif-man et Wickerhauser [32]. Nous obtenons ainsi une analyse de Fourier à court terme orthogonale, reconstructible, avec des fenêtres de tailles et de régularités variables.

Durant ces dernières années, les principaux champs d'applications de cette décomposition ont été la compression1 [97] [89] [55], la segmentation [95], [2], [3] [97] et plus récemment l'estimation de la covariance de processus localement stationnaires [41],[40].

Nous proposons dans ce chapitre plusieurs évolutions tant sur le plan de l'algorithme de décom-position que sur le choix de la meilleure base. Le but recherché est de dénir, pour la classe des signaux stationnaires par partie, une analyse trigonométrique locale pour laquelle les fenêtres ont une taille et une position adaptées au signal.

Dans un premier temps, nous faisons un rappel sur la décomposition en ondelettes de Malvar telle qu'elle est dénie dans [31], [5] et [96]. Puis nous proposons une variante de l'algorithme de décomposition monodimensionnel, qui a la propriété d'être non uniforme et optimale relativement à une fonction de coût. Cette décomposition s'appuie sur un algorithme de partition d'un axe qui permet d'obtenir une segmentation non-uniforme avec une complexité minimale. Nous la proposons 1. On notera que le principe de segmentation temporelle puis d'analyse par base trigonométrique locale est présent dans la méthode de compression JPEG.

dans un cadre général an de l'appliquer pour construire diérentes bases non uniformes (ceci fera l'objet du chapitre 5). Nous apportons quelques précisions sur son extension à la dimension 2. Enn, nous proposons une nouvelle méthode de sélection de la meilleure partition temporelle du signal. Cette approche, similaire dans le principe à celle de Adak [1], adapte la partition du signal en fonction des changements locaux du spectre. Une version 2D anisotropique est étudiée.

Dans ce chapitre et les suivants, nous proposons diérentes méthodes tentant de représenter au mieux l'information contenue dans un signal. Or ces diérentes décompositions s'inscrivent dans le cadre des représentations temps-fréquence, c'est-à-dire qu'elles permettent une représentation de l'évolution de l'information à la fois en fonction du temps mais aussi des fréquences. Donc, pour valider ou illustrer les méthodes appliquées sur des exemples, nous devons présenter l'image TF associée à notre décomposition discrète. Pour construire cette image TF, nous allons utiliser les boîtes d'Heisenberg. Nous rappelons en annexe le principe des boîtes d'Heisenberg.

Pour chaque nouvelle décomposition introduite dans notre mémoire, nous indiquerons les boîtes d'Heisenberg associées aux éléments de base, ce qui nous permettra de calculer les diérentes repré-sentations TF, comme nous l'expliquons en annexe, et ainsi d'analyser et de comparer les résultats obtenus.