3.4 Recherche de partitions stationnaires par une mesure de distance spectrale
3.4.2 Choix de la meilleure partition
Nous représentons sur la gure 3.18 l'arbre binaire des distances spectrales construit à partir d'une partition récursive sur 3 échelles.
Fig. 3.18 Arbre des distances spectrales pour 3 échelles de décomposition
3.4.2 Choix de la meilleure partition
3.4.2.1 Algorithme d'élagage
Après le calcul de l'arbre des distances spectrales, nous utilisons un algorithme d'élagage a n de fusionner les segments dyadiques pour lesquels le spectre est similaire. A n de dé nir la partition qui est optimale, nous recherchons, comme Adak [1], la base qui minimise la somme des distances spectrales dé nie par:
C =P
D(Fg;Fd)
avecFg le spectre local gauche d'un intervalle dyadique divisé et Fd le spectre local droit (3.21) A partir de la dé nition précédente, nous recherchons les intervalles qui ont une distance intra-intervalle5 minimale. Si cette distance intra-intervalle est minimale, on peut considérer que le signal est stationnaire sur l'intervalle. La minimisation du coût dé ni par l'équation (3.21) permet de sélectionner la partition qui correspond aux zones de stationnarité du signal.
On peut constater que cette fonction de coût n'est pas additive car elle ne véri e pas la condition
"(fxkg) =P
k"(xk). Toutefois, si nous utilisons un algorithme similaire à celui proposé par Coifman et Wickerhauser pour extraire la base optimale, dé ni de la façon suivante:
5. Nous appelons distance intra-intervalle la distance mesurée entre la partie droite et la partie gauche de l'in-tervalle étudié
Soit Alj un booleen indiquant si la coupure correspondant au noeud d'indice(j;l) est slec-tionne; soit Elj le cot associ, alors on applique rcursivement le processus suivant:
Pour l variant de L?2 0; Pour j variant de 0 2l?1; Si Dlj> El+1 2j +El+1 2j+1 alors la partitionentre Il+1 2j et Il+1
2j+1est accepte donc
8 < : Alj = 1 Elj = El+1 2j +El+1 2j+1
sinon nous rejetons la partition donc
(
Alj = 0
Elj =Dlj
Nous pouvons facilement montrer que cet algorithme permet d'obtenir la partition minimale au sens du coût dé ni dans l'équation (3.21) bien qu'il ne soit pas additif [1] [32]. Après application de cet algorithme d'élagage, nous obtenons la segmentation la mieux adaptée au signal (sous l'hypothèse que le signal est quasiment stationnaire sur chaque intervalle de l'échelle la plus ne). Nous devons ensuite appliquer un algorithme éliminant les points de coupure n'ayant pas de père sélectionné:
Pour l variant de 0 L?1
Pour j variant de 0 2l?1
Si Alj = 0alors Al+1
2j = 0et Al+1 2j+1 = 0
Cependant, il faut s'interroger sur les problèmes de sur-segmentation, c'est-à-dire une sélection de fenêtres trop petites par rapport aux zones de stationnarité du signal. En eet, si le signal est stationnaire sur l'intervalle [0;N?1], nous ne savons pas quelle peut être l'évolution du coût entre la distance spectrale estimée sur h
0;N 2 ?1i , h N 2;N?1i
et ses deux distances ls estimées surh 0;N 4 ?1i , h N 4;N 2 ?1i eth N 2;3N 4 ?1i , h 3N 4 ;N?1i
. Ces trois distances devraient être théoriquement nulles, mais nous sommes dans le cadre d'une estimation numérique, donc les dis-tances vont être proches de 0 sans l'égaliser du fait des erreurs d'estimation.
Nous avons constaté concrètement que notre algorithme ne sélectionne pas des segments trop petits, car le biais du spectre estimé augmente quand la taille de l'intervalle décroît. Si, à l'échelle
l; l'intervalle Ilj correspond à une zone stationnaire, alors les distances, du fait de l'accroissement du biais, véri ent: Dlj<h Dl+1 2j +Dl+1 2j+1 i <h Dl+2 4j +Dl+2 4j+1+Dl+2 4j+2+Dl+2 4j+3 i :::
Le point de coupure divisant l'intervalle Ilj est donc rejeté. Nous illustrons sur la gure 3.19 l'accroissement de la distance spectrale pour un signal stationnaire lorsque la taille des intervalles décroît.
3.4.2.2 Cas symétrique
Un cas particulier va mettre en échec l'algorithme de recherche de meilleure partition proposé: le cas symétrique. Lorsque le signal a un comportement symétrique par rapport à un point de coupure, alors la division en ce point n'est jamais sélectionnée par l'algorithme de recherche de meilleure base, même si le signal n'est pas stationnaire sur les parties droite et gauche de l'intervalle.
Fig.3.19 In uence de la taille des intervalles sur la distance spectrale
En eet, dans ce cas, les deux spectres estimés autour de ce point de symétrie sont identiques et la distance est presque nulle. Nous illustrons notre propos par un exemple simple.
Nous considérons le modèle AR dé ni par:
A[z]Yt=bt, pourt2 h 0;N 4 ?1i [ h 3N 4 ;N?1i B[z]Yt=bt, pourt2 h N 4;3N 4 ?1i
Ce signal est représenté sur la gure 3.20, ainsi que l'arbre des distances associé pour 3 échelles de décompositions.
Fig. 3.20 Exemple de signal AR symétrique par rapport à N2 et arbre des distances associé (Dis-tance RMS). Nous indiquons en grisé les noeuds sélectionnés
Si nous analysons cet arbre des distances, nous notons que: La distanceD0
0 est faible alors que le signal n'est pas stationnaire surI0
0, mais il est symétrique par rapport au point N2.
Les distances
D1
j
j=0;1
sont grandes car le signal n'est pas stationnaire sur
I1 j j=0;1 . Les distances D2 j j=0;1;2;3
sont faibles car le signal est stationnaire sur
I2 j j=0;1;2;3 , mais la sommeP 3 j=0D2 j est supérieure àD0
0 à cause de l'accroissement du biais. Les distances
D3
j
j=0::8
sont faibles car le signal est stationnaire sur
I3
j
j=0::8
, mais leurs sommes deux à deux sont supérieures à
D2
j
j=0;1;2;3
Donc si l'on applique l'algorithme de recherche de meilleure base: 1. D2 j < D3 2j+D3 2j+1
pour toutj, donc tous les points de partition à l'échelle 2 sont rejetés etE2 j =D2 j, 2. D1 j > E2 2j +E2 2j+1
pour toutj, donc tous les points de partition à l'échelle 1 sont sélection-nés etE1 j = E2 2j+E2 2j+1 ,
3. Comme le nombre de points de I1
0 est supérieur à I3 j j=1;2;3;4 alors D0 0 < ? E1 0+E1 1 = P 3 j=0D2
j et donc l'algorithme rejette la partition au point N2.
Après élimination des points de coupure qui n'ont pas de père, l'algorithme de recherche de meilleure base va donc sélectionner l'intervalle [0;N?1] comme meilleure partition, pourtant le signal n'est pas stationnaire sur cet intervalle.
A n de pouvoir tenir compte de ce cas particulier, nous devons étudier précisément l'évolution des mesures de distances selon trois cas de gures: le signal est stationnaire, non stationnaire ou symétrique.
Si l'on étudie l'arbre présenté sur la gure 3.20, on remarque que l'augmentation des distances spectrales est faible quand elle est due au biais (augmentation d'environ 10%), alors qu'elle est très importante dans le cas symétrique (augmentation d'environ 1000%). Ceci se généralise à toutes les expérimentations numériques que nous avons menées. Donc, pour traiter le cas symétrique, nous allons étudier l'accroissement des distances spectrales entre deux échelles successives.
Si Dlj >
Dl+1
2j +Dl+1 2j+1
alors nous déduisons que le signal n'est pas stationnaire sur Ilj, sinon il existe deux possibilités:
L'accroissementDlj ) Dl+1 2j +Dl+1 2j+1
n'est pas très important. Dans ce cas, on en déduit que cet accroissement est dû au biais et donc que le signal est stationnaire sur Ilj.
L'accroissementDlj ) Dl+1 2j +Dl+1 2j+1
est très important. Dans ce cas, on en déduit que la distance spectrale Dlj est très inférieure à
Dl+1
2j +Dl+1 2j+1
parce que le signal est symétrique par rapport au point de coupure, mais il n'est pas stationnaire surIlj. Il faut donc sélectionner la coupure au point associé àDlj.
A partir de ces constatations empiriques, nous en déduisons une nouvelle condition pour la sélection des noeuds:
Si Dlj< Dl+1 2j +Dl+1 2j+1 , avec >2 alors le point de coupure entreIl+1
2j etIl+1
2j+1 est accepté etAlj = 1 (3.22) Cette condition est appliquée à tout l'arbre et permet la sélection des points de coupure quand les deux intervalles sont symétriques mais non stationnaires. Pourtant, cette nouvelle condition ne va pas entraîner la division d'intervalle stationnaire car est choisi su samment grand (>2).
Si nous reprenons l'exemple de la gure 3.20 avec = 2:5,nous avons 2:50:152<[1:076 + 1:048];
le point de coupure N
2 est donc sélectionné. La partition choisie, à savoirh
0;N 4 ?1i [ h N 4;N 2 ?1i [ h N 2;3N 4 ?1i [ h 3N 4 ;N?1i
n'est pas entièrement satisfaisante car l'utilisation d'un arbre dyadique nous oblige à sélectionner le point de coupure N
2 pour retenir les noeuds correspondant à N
4 et 3N
4 : les partitions sélec-tionnées sont obligatoirement dyadiques. Pour supprimer cette contrainte, nous devons dé nir un post-traitement recombinant certains intervalles.
3.4.2.3 Post-traitement
Avec la méthodologie présentée ci-dessus, le choix d'une segmentation correspondant aux zones les plus stationnaires peut être accompli avec une complexité(LNlog2N), grâce à l'utilisation d'un arbre binaire. Toutefois le principe de l'arbre binaire et l'algorithme de recherche de la meilleure partition, nous obligent, pour accepter un point de coupure à sélectionner tous ses noeuds pères. Or ces derniers ne correspondent pas forcément à un changement local du spectre (nous l'avons vu avec l'exemple du paragraphe précédent pour le point N
2) et ils doivent être réétudiés a n de déterminer s'ils correspondent à un changement local du spectre. Pour cela, nous proposons la procédure suivante:
Nous collectons tout d'abord l'ensemble des points de coupure détectés par l'algorithme de re-cherche de meilleure base. Ces points sont enregistrés dans un ensemble P = (pn)n2Z tel que:
pn< pn+1 etpn est la coordonnée d'un point de coupure sélectionné avecp0 = 0 etpfinal =N
Nous appelons noeud non terminal sélectionné (NTS), un noeud d'indice (l;j) tel que:
Alj = 1 etAl+1
2j +Al+1 2j+1 >0
Sipncorrespond à un noeud NTS , nous devons décider si le signal est stationnaire sur le support [pn?1;pn+1
?1], qui constitue la réunion des deux sous intervalles encadrant le point de coupure
pn. Toutefois, il faut construire un ensemble qui ait le même nombre de points à droite et à gauche de pn (pour que l'estimation des deux spectres se fasse sur un nombre de points identique). Pour cela, un intervalleIpn est dé ni par:
Ipn = [pn?min(jpn?pn?1
j;jpn?pn+1
j);pn+ min(jpn?pn?1
j;jpn?pn+1 j)[
De sa dé nition, Ipn a une taille qui correspond à une puissance de 2, et l'algorithme d'extraction de zones stationnaires, que nous venons de proposer, peut donc être appliqué sur le signal restreint à Ipn. Ensuite, si le noeud père de l'arbre ainsi calculé est sélectionné, nous acceptons le point de coupure pn, sinon nous le rejetons.
A n d'illustrer ce post-traitement, nous reprenons l'exemple introduit dans le paragraphe précé-dent ( gure 3.20). Après l'application de l'algorithme de recherche de partition, prenant en compte les cas symétriques, nous obtenions un ensembleP tel que:
P =
0; N4; N2;34N;N
La coupure de coordonnées N
2 correspond à un noeud NTS. Nous appliquons alors l'algorithme de recherche de partition sur le signal restreint àh
N
4;3N
4 ?1i
. Nous illustrons sur la gure 3.21 le post-traitement appliqué à cet exemple, ainsi que l'arbre des distances spectrales calculé. Nous constatons
que le noeud père correspondant au point de coordonnées N2 n'est pas sélectionné. La coupure en ce point est alors rejetée, et la partition nale est dé nie parh
0;N 4 ?1i [ h N 4;3N 4 ?1i [ h 3N 4 ;N?1i , correspondant ainsi à la structure du signal.
Fig. 3.21 Illustration du post-traitement sur un exemple AR
Le post-traitement va être appliqué à tous les points de coupure associés à un noeud NTS. Cela permet de construire une partition non uniforme adaptée au signal, mais toujours avec une décomposition rattachée à un arbre binaire, a n de limiter la complexité de l'algorithme.