Exemples et discussion

An d'illustrer les avantages de l'algorithme de décomposition en ondelettes de Malvar non uniforme, nous prenons comme premier exemple un signal qui met en échec l'algorithme classique de décomposition. Ce signal est constitué de 3 atomes gaussiens temps-fréquence (TF) tel que

S(t) = 8 > > > < > > > : A[t] si t2 h 0;N 3 ?1i B[t] si t2 h N 3;2N 3 ?1i C[t] sit2 h 2N 3 ;N?1i

avecA;B;C 3 atomes gaussiens TF.

Si l'on décompose ce signal avec l'algorithme dyadique, puis que l'on recherche la meilleure base avec un coût entropique, la partition sélectionnée est le signal dans sa totalité car les points de rupture délimitant les intervalles ne sont jamais étudiés avec l'algorithme dyadique. La décomposi-tion non-uniforme proposée étudie des intervalles approchant mieux la structure du signal, et une partition plus adaptée est sélectionnée lors de la recherche de la meilleure base. Nous indiquons sur la gure 3.14a le signal original ainsi que sa représentation temps-fréquence théorique. La seg-mentation sélectionnée par l'algorithme non-uniforme est présentée sur la gure 3.14b. On constate que les 3 atomes sont détectés et mis en évidence. Nous pouvons alors, par exemple, calculer une représentation temps-fréquence qui est presque optimale (gure 3.14b).

Nous construisons un second exemple à partir de six atomes TF d'enveloppe et de fréquence variables. Ce signal se rapproche des données que l'on peut trouver en traitement de la parole. Nous appellerons ce signal de test coif2. La position des points de coupure est aléatoire. Nous indiquons sur la gure 3.15a le signal original ainsi que sa représentation TF théorique (nous avions déjà introduit ce signal dans le premier chapitre). Nous appliquons l'algorithme dyadique et l'algorithme non-uniforme avec une fonction de coût entropique. La base sélectionnée par l'algorithme dyadique correspond à une segmentation peu précise sur certains atomes (gure 3.15b). Ceci est dû à la position des deux derniers points de coupure (600 et 890) qui sont éloignés de positions dyadiques et s'illustre parfaitement sur la représentation TF associée. Par exemple, une fenêtre est à la fois sur les 4eme et 5eme éléments ce qui entraîne dans la représentation TF la présence de fréquences

(a) (b)

Fig.3.14  3 atomes gaussien : (a) Le signal original et sa représentation temps-fréquence théorique (b) Au dessus, le signal segmenté par notre algorithme au dessous, la représentation temps-fréquence calculée à partir du signal segmenté

aux mêmes instants temporels, ce qui n'est pas le cas dans le signal. De plus, les découpages en de nombreuses fenêtres des 4eme et 5emeéléments (400-800) dégradent la résolution fréquentielle.

La base sélectionnée par l'algorithme non-uniforme présente une segmentation plus proche de la composition du signal (gure 3.15c). Il en résulte une représentation TF presque optimale pour la résolution en temps et en fréquence. On remarque une segmentation intempestive du premier composant, due à la faible énergie de l'atome. Ceci dégrade quelque peu, pour cette zone, la résolu-tion fréquentielle de la représentarésolu-tion TF. De plus, la fenêtre correspondant à l'intervalle [400;600] empiète sur le composant précédent ce qui fait apparaître une ligne de faible énergie à la fréquence 0.3 sur l'intervalle [400;600]. Toutefois, les composants principaux sont beaucoup mieux séparés et donc analysés: la résolution fréquentielle est nettement supérieure à la décomposition dyadique. On peut conclure alors sur la supériorité de l'algorithme non-uniforme.

Cet algorithme est conçu pour minimiser une fonction de coût. Nous présentons dans le tableau 3.1 le coût entropique de la meilleure base sélectionnée par l'algorithme non-uniforme ainsi que le coût de la décomposition classique de diérents signaux audio (ces signaux sont fournis avec la toolbox wavelab [90]). On constate que dans chaque cas la décomposition non-uniforme obtient un coût inférieur à la décomposition classique. Ceci peut être important dans un cadre de compression.

signal cout dyadique cout non uniforme "greasy" -14892540693 -15032644050 "Nation wide" -8494175 -8525861

"caruso" -11830980 -11889826 chant d'oiseau -1466397729838 -1466497485390

Tab. 3.1  Coût des meilleures bases de réprésentation sélectionnées par la décomposition dyadique et non uniforme pour des signaux audios

Nous avons proposé un algorithme de décomposition en ondelettes de Malvar non uniforme, qui permet d'étudier toutes les partitions possibles d'un signal avec des tailles de fenêtres minimales

(a) (b) (c)

Fig. 3.15  Signal de test coif2 formé à partir de diérents atomes temps-fréquence: (a) le signal original et la représentation théorique TF, (b) le signal segmenté par l'algorithme dyadique et la représentation TF associée, (c) le signal segmenté par l'algorithme non uniforme et la représentation TF associée

xées. Plus généralement, la méthode proposée permet de dénir une procédure calculant les par-titions non uniformes d'un axe. Nous utiliserons les principes exposés ci-dessus dans le cadre de la décomposition en ondelettes de Meyer.

Fig. 3.16  Le signal greasy segmenté par l'algorithme non-uniforme et la représentation TF associée

Néanmoins, nous ne nous sommes intéressés qu'à un seul aspect du problème: l'algorithme de décomposition. Mais lorsque l'on calcule cette décomposition non-uniforme avec un coût entropique sur des signaux réels, nous sommes en général confrontés à des phénomènes de sur-segmentation. En eet, la mesure entropique va être très sensible aux faibles variations du signal et si le signal est bruité (même légèrement) le phénomène est amplié. La décomposition du signal audio greasy prononcé par une femme (ce signal est fourni avec la Toolbox Wavelab de Standford) (gure 3.16) illustre ce phénomène: la meilleure base sélectionnée correspond à un découpage très et trop n du signal, alors que nous voudrions obtenir une partition mettant en évidence les zones principales de

stationnarité.

Il faut donc nous pencher maintenant sur le second aspect qui est la recherche de la meilleure base, ou plus précisément la dénition de la fonction de coût". Nous avons utilisé dans les exemples précédents le critère entropique. D'autresmesures sont proposées dans la littérature,mais avec toutes un point commun: elles étudient individuellement chaque intervalle en mesurant la concentration de l'énergie ou la dispersion des coecients. Il nous a semblé intéressant, pour un algorithme de recherche de partition optimale, d'essayer de mesurer plutôt le degré de ressemblance entre deux intervalles adjacents pour décider si l'on conserve ou non la coupure entre ces deux intervalles. Ceci fait l'objet de la section suivante.

3.4 Recherche de partitions stationnaires par une mesure de