Méthodologie commune

tel que  xj;w1 l;xj  2Al. Nous notons 8 > > > < > > > : pos Mlj =xj, ampl Mlj =w1 l;xj; sign Mlj = sign w1 l;xj  ;

et nous dénissons les opérations père

Mlj

et ls

Mlj

qui permettent, respectivement, de sym-boliser les maxima père et ls de Mlj.

2.3.2.1 Méthodologie commune

Nous utilisons une stratégie coarse to ne : l'algorithme de chaînage débute à l'échelle la plus grossière, et pour chacun des maxima, nous recherchons sur l'échelle inférieure le maximum ls qui correspond à la même discontinuité. Cette procédure est répétée sur les diérentes échelles, permettant ainsi, de proche en proche, de construire les lignes de maxima.

Toutefois, le nombre de candidats, présents sur l'échelle inférieure, et pouvant être associés, peut être important. D'autant plus que le nombre de maxima diminue lorsque l'échelle augmente. Il faut donc dénir un critère mesurant le degré de similarité entre deux maxima pour deux échelles successives. Nous noterons  cette mesure de correspondance entre deux maxima à deux échelles successives. Le maximum étiqueté comme ls est celui qui maximise la mesure . Formellement,

ls(Mlj) = max_j0 =1::card(Al?1 ) Mlj;Ml?1 j0  ;

Quelques restrictions sont à apporter sur la relation précédente. Tout d'abord, la recherche du meilleur ls ne va pas s'eectuer sur la totalité des maxima de l'échelle l?1, car la modication de la position entre deux échelles successives est bornée. Un support temporel d'étude est donc déni, de taille proportionnelle à l'échelle étudiée, et positionné selon la coordonnée du père. Cet intervalle est notéB_Mlj.

Ensuite, comme le suggère Mallat [69], deux maxima ne sont liés que s'ils présentent un signe identique (ils doivent correspondre à un sens de pente identique).

A partir de ces deux précisions, nous dénissons un ensemble de maxima, appartenant à l'échelle inférieure, qui sont susceptibles d'être associés au maximum étudié. Cet ensemble est noté candidat_Mlj:

candidat_Mlj =

8 < :

Ml?1

j0 pourj0= 1::card(Al?1) tel que sign(Ml?1 j0 ) = sign(Mlj) et pos(Ml?1 j0 )2B_Mlj 9 = ; :

Nous cherchons à construire à travers les échelles, les lignes de maxima qui correspondent aux mêmes discontinuités, donc, à un maximum, ne doit être associé au plus qu'un seul autre maximum. Il en résulte qu'à chaque fois qu'un maximum est retenu comme ls, il est retiré de la liste des maxima susceptibles d'être élément d'une ligne. L'ordre d'étude des pères de l'échelle lva alors être prépondérant sur les lignes ainsi construites. C'est pourquoi, les maxima sont étudiés selon un ordre décroissant xé par leur norme.

En résumé, l'algorithme de chaînage va se décliner de la façon suivante:

Pour l variant de L 2,

Tri par ordre dcroissant de Al

Pour j variant de 1 card(Al)

ls(Mlj) = max

candidat_Mlj

Mlj;Ml?1

j0 

Marquer ls(Mlj) an qu'il ne puisse plus tre slectionn

Nous allons maintenant étudier les deux mesures  que nous proposons.

2.3.2.2

1

: Choix par l'amplitude

Dans cette méthode, nous sélectionnons parmi les candidats, le maximum qui possède la norme la plus grande. La mesure 1 est dénie par

1  Mlj;Ml?1 j0  =  ampl(Ml?1 j0 )  :

Le succès de cette mesure nécessite tout d'abord une étude des maxima à l'échellelselon un ordre décroissant xé par leur norme. Ceci an que les plus grands maxima de l'échellelsoient chaînés avec les plus grands de l'échelle inférieure. C'est ce que nous proposons dans la méthodologie commune. Ensuite, il faut que le support B_Mlj soit correctement déni. Nous pouvons calculer la zone d'inuence des ltres an de déterminerB_Mlj. La zone d'inuence des ltres est le support temporel de l'opérateur permettant de passer de l'échelle l?1 à l'échelle l. Cette zone est dénie par le support temporel de (ghq) (g; hetqétant les ltres dénis pour l'analyse et la reconstruction du

gradient multiéchelles). Notons que Lu [64] utilise l'opérateur (ghq) an de chaîner les maxima. Toutefois, étant donné que la mesure de similarité ne prend pas en compte la position des diérents ls, le support B_Mlj doit être ané selon certaines contraintes. Pour cela, nous posons l'hypothèse suivante:

Proposition 3

Soit ls^T(Mlj) le maximum de l'échellel?1 correspondant à la même discontinuité que le maximum étudié Mlj (nous notons lsT avec T pour théorique car nous ne connaissons pas par avance ce maximum). Autour de chaque maximum, il existe une zone où @@x(l?1

f) est de signe constant. Nous notonsgradMsjj ^{cette zone correspondant au maximum}Msjj. Alors nous posons l'hypothèse que

pos

Mlj

2grad_lsT (Mlj):

Bien évidemment, cette hypothèse suppose l'utilisation de ltres qui ne provoquent pas de trans-lation. Ensuite, étant donné qu'un changement de signe de la dérivée correspond à la modication du sens de la pente de la courbe, il semble raisonnable de supposer que la position d'un maximum de la fonction ^@f_l

@x est incluse dans la zone de même signe entourant le maximum de la fonction ^@f_l?1

@x

correspondant au même point d'inexion (la translation n'est due qu'à la forme de la courbe). Puisque nous utilisons une représentation en maxima d'ondelettes, nous allons délimiter la zone

B_Mlj selon les changements de signe des maxima à l'échellel?1. Formellement B_Mlj est déni par

B_Mlj = ]xdeb;xfin[;

avecxdeb = max_j00 0 @pos Ml?1 j00  = 8 < : sign(Ml?1 j00 )6= sign(Mlj) pos Ml?1 j00  <pos Mlj 1 A; etxfin = min_j00 0 @pos Ml?1 j00  = 8 < : sign(Ml?1 j00 )6= sign(Mlj) pos Ml?1 j00  >pos Mlj 1 A:

2.3.2.3

2

: Choix amplitude/position

Nous proposons dans cette méthode une mesure de similarité qui prenne en compte à la fois l'am-plitude et la position du maximum candidat. Nous estimons que la translation entre deux échelles successives est minime. Nous dénissons donc une fonction de pondération
l qui désavantage les maxima qui sont les plus éloignés de la position du père. La fonction
l est indicée par une variable

l car la dénition de cette fonction dépend de l'échelle étudiée. En eet, la translation entre deux échelles successives va augmenter lorsque l'on tend vers les échelles grossières. Il faut donc que la pondération diminue lorsque l'indice d'échelle augmente.

La mesure de similarité va être dénie par: 2  Mlj;Ml?1 j0  =  ampl(Ml?1 j0 )  
l  pos Ml?1 j0  ?pos Mlj :

La fonction
l doit vérier les conditions suivantes:

8 > > < > > :
l(x)0 pour8x;

l(:) est paire et maximum pourx= 0;

Une telle fonction permet de privilégier les maxima qui sont proches de la position du père. Dans l'algorithme de décomposition discret, le passage de la fonctionf2l?1versf2ls'eectue à travers l'application d'un ltre passe-bas (associé à une fonction spline) [70]. Ainsi, deux maxima, à deux échelles successives, correspondent aux points d'inexion de deux courbes, dont l'une est la version lissée par une spline de l'autre. Nous proposons alors que la fonction
l soit une fonction gaussienne (spline d'ordre inni) centrée en 0, et avec une variance2

l qui augmente lorsque l'on tend vers les échelles grossières, puisque la fonction d'échelle est dilatée. Ceci permet aussi de prendre en compte la translation plus importante dans les échelles grossières. Concrètement, la variance 2 1

à la première échelle est dénie en fonction du support des ltres, et ensuite elle croît d'un facteur multiplicatif égal à 2 (dilatation dyadique).

Dans le document Méthodes numériques temps-échelle et temps-fréquence pour le traitement du signal et des images (Page 53-56)