Mesures ∞-harmoniques. Soit L une feuille de F , dont le revêtement universel Riemannien est
notéL. Nous fixons un point base o ∈ ee L. Le feuilletage centre-instable fWcu de T1L est paramétrée
pareL(∞) : nous avons déjà vu qu’il s’identifie au feuilletage trivial (eL × {ξ})ξ∈
e
L(∞). Il est ainsi possible d’associer à chaque feuille centre-instableL × {ξe 0} la mesureξ0-harmonique pour fWcudéfinie par :
mξ0= k(o, z; ξ0)LebL×{ξe 0}(z).
Définition 4.3.2. Une mesure m+sur T1L est appelée ∞-harmonique pour fe Wcusi ses mesures condi-
tionnelles dans les feuilles centre-instables sont données par les mξ,ξ ∈ N(∞).
Si L0 est un quotient deeL par un sous-groupe d’isométries directes, la mesure quotient d’une me-
sure ∞-harmonique pour fWcusur T1L0sera encore appelée ∞-harmonique pour le feuilletage centre-
instable quotient.
Lemme 4.3.3. La projection surL d’une mesure ∞-harmonique sur Te 1L a une densité harmoniquee
Preuve. Considérons une mesure ∞-harmoniqueme
+, obtenue en intégrant les mesures m
ξcontre une mesure de Borel finieηo sureL(∞). Puisque toutes les feuilles centre-instables sont isométriques
àeL, et puisque chaque mξa une densité par rapport à Lebesgue, nous déduisons que la projection
e
m+a encore une densité par rapport à Lebesgue.
De plus, cette densité est obtenue par intégration des k(o, .;ξ) contre ηo: c’est une fonction har-
monique, et le lemme est prouvé. ä
Nous rappelons que le fibré unitaire tangent T1F est feuilleté par les fibrés unitaires tangents aux feuilles deF , et ce feuilletage, notéF , est lui-même sous-feuilleté par le feuilletage centre-instablec Wcudu flot géodésique feuilleté.
Définition 4.3.4. Soit (M ,F ) une variété close feuilletée avec une métrique feuilletée. Supposons que
toutes les feuilles deF soient courbées négativement. Une mesure de probabilité m+sur T1F est dite
∞-harmonique pour Wcu si ses mesure conditionnelles dans les plaques de cF sont ∞-harmonique
pourWcu.
Avant d’énoncer la proposition suivante, nous introduisons trois notations :
– la projection canonique le long des sphères tangentes au feuilletage pr : T1F →M ; – H ar (F ) désigne l’ensemble des mesures harmoniques pour F ;
– H ar∞(Wcu) désigne celui des mesures ∞-harmoniques pour Wcu.
Le fait que l’ensembleH ar∞(Wcu) n’est pas vide n’est pas évident à priori. Il découle en fait de la proposition suivante qui donne une sectionH ar (F )→H ar∞(Wcu) (ainsi que du fait que les mesures harmoniques existent par Garnett).
Proposition 4.3.5. Soit (M ,F ) une variété close feuilletée dont les feuilles sont courbées négativement.
SoitA = (Ui,φi)i ∈I un bon atlas feuilleté pourF , et T une transversale complète associée. Alors :
1. si m+est une mesure ∞-harmonique pour Wcu, sa projection pr ∗ m+est une mesure harmo-
nique ;
2. si m est une mesure harmonique, il y a une mesure m+qui est ∞-harmonique et se projette sur
m (en particulier, elle induit la même mesure que m surT ) : nous appelons cette mesure le relevé
canonique de m.
En d’autre termes, l’application pr∗:H ar∞(Wcu) →H ar (F ) qui associe à une mesure ∞-harmonique
m+sa projection sur M , pr ∗ m+est bien définie et a une section donnée par le relevé canonique.
Preuve. Nous choisissons un bon atlas feuilletéA = (Ui,φi)i ∈I pourF , tel que lorsque nous le tirons en arrière par la fibration, nous obtenons encore un bon atlas feuilleté pour cF , dont les cartesUbisont trivialement feuilletées par les sphères tangentes au feuilletages, et trivialisent le feuilletage centre instable du flot géodésique feuilleté.
Le fait que l’application pr∗ soit bien définie, ou si l’on préfère que la projection sur M d’une mesure ∞-harmonique pour Wcu soit harmonique, vient du lemme4.3.3appliqué aux plaques de F .
À présent, montrons comment relever une mesure harmonique au fibré unitaire tangent. Parce que les mesures harmoniques peuvent être décomposées en composantes ergodiques, nous n’avons qu’à montrer comment relever les mesures harmoniques ergodiques. Soit alors m une mesure har- monique ergodique, etm, la mesure qu’elle induit sur la transversale complèteb T . Il existe alors un
indice i0∈ I tel que la saturation de Ti0parF soit de mesure pleine. En d’autres termes, presque toute
feuille rencontre la transversale Ti0.
Ainsi, par le lemme4.3.1, il y a un ensemble Borélien saturéX ⊂M qui est de mesure pleine pour
m, telles que toutes les feuilles passant par un point deX intersecte Ti0, et telle que pour tout y ∈ X ,
Soit x0∈ Ti0∩X : la formule (4.3.5) définit une fonction harmonique Hx0: Lx0→(0, ∞). Nous pou-
vons la relever au revêtement universel RiemannienLfx0 (nous fixons une préimage o de x0) en une
fonction harmoniqueHex0. Les plaques Pitrivialisent le revêtement universel : tout hipeut être relevé en une fonction harmonique fhid’une sectionPfi⊂ eLx0. Par le lemme4.3.1, si c est un chemin reliant
x0et la plaque Pi, sifPi(c) est le relevé correspondant, alors la formuleHex0= fhid [τ−1c ∗ νi]/dνi0(x0), a
lieu en restriction àPfi(c).
Le théorème4.2.5fournit une mesureηosurLex0(∞) telle que eHx0(z) = ´
Lx0(∞)k(o, z;ξ)dηo(ξ). Il est alors possible de relever la mesureHex0Leb à T
1 e
Lx0en considérant la mesure obtenue par intégration
contreηodes mesures mξ, définies sur les feuilles instables, identifiées avecLex0× {ξ}. Par projection sur T1Lx0, nous obtenons une mesure définie sur tout le fibré unitaire tangent à Lx0, que l’on note
m+x0, et qui lorsqu’on la pousse par pr , se projette sur Hx0Leb.
Nous pouvons à présent choisir y ∈ Lx0∩ T : il y a un indice i ∈ I tel que y ∈ Ti. Nous pouvons
définir la mesure m+i ,ysur la plaque T1Pi(y) en divisant la restriction de m+x0à T 1P
i(y) par la dérivée
d [τ−1c νi]/dνi0(x0), où c est un chemin joignant x0et y.
Une autre application du lemme4.3.1montre que cette mesure ne dépend pas du choix de point base x0, dans le sens que si x1∈ Ti0∩ Lx0, nous avons :
µd [τ−1 c ∗ νi] dνi (x0) ¶−1 (m+x0)|T1P i(y)= µd [τ−1 c ∗ νi] dνi (x1) ¶−1 (mx+1)|T1P i(y),
où c et c0sont n’importe quels chemins joignant respectivement x
0et x1à y. De plus, la mesure mi ,y+ se projette sur hi(., y) LebPi(y)quand nous la poussons sur la plaque Pi(y).
Supposons que m(Ui∩ Uj) 6= ;, et que y ∈ dom(τi j). Nous avons alors pour tout v ∈ T1Pi(y) ∩
T1Pj(τi j(y)), d m+i ,y d m+j ,τ i j(y) (v) = d [τ−1i j ∗ νj] dνi (y), (4.3.6)
de sorte que nous serons capables de recoller ensemble ces mesures de façon cohérente avec l’holo- nomie.
Finalement, presque toute feuille rencontre Ti0 : ainsi la construction ci-dessus donne pourm-b presque tout y ∈ T une mesure sur T1Pi(y) (si y ∈ Ti), qui ne dépend que de i et de y. Ainsi, pour tout
i ∈ I tel que m(Ui) > 0, nous obtenons, par intégration contre νi des mesures m+i ,y, une mesure mi
surUbi. À cause de la relation (4.3.6), nous voyons que ces mesures peuvent être recollées ensemble, définissant ainsi une mesure m+.
Par définition, la mesure induite par m+surT est exactement b
m. De plus, puisque chacune des
mesures conditionnelles de m+dans les plaques deF sont ∞-harmoniques et se projettent sur celles de m, nous concluons que m+est ∞-harmonique pour Wcuet qu’elle se projette sur m. ä Remarque. Afin de prouver que l’application pr∗ :H ar∞(Wcu) →H ar (F ) est une bijection, il reste à prouver qu’elle est injective. Comme nous l’avons indiqué plus haut, une preuve de ce fait peut être adaptée à partir de la preuve de [BMar] dans le cas des laminations par surfaces hyperbo- liques, et reposerait sur un argument analytique basé sur l’unicité de la représentation intégrale4.2.5. Nous proposons une autre preuve qui est plus dans l’esprit de ce travail de thèse. Nous prouverons ce fait, qui n’est pas si évident a priori, que deux différentes mesures ∞-harmoniques pour Wcu in- duisent des mesures différentes sur les transversales de cF : et ainsi se projettent sur des mesures harmoniques différentes. C’est un argument basé sur une variation de l’argument de Hopf et sur la propriété d’absolue continuité4.2.7: mais nous avons tout d’abord besoin de la notion de mesure de