Dans ce qui suit, (Π,M,B,CP1,F ) est un fibré feuilleté, dont la base B est une variété Rieman- nienne close courbée négativement, et dont les feuilles sont localement isométriques à B . Nous no- terons N le revêtement universel Riemannien de B , et nous fixerons un point base o ∈ N . Pour x ∈ M,
projx: (N , o) →(Lx, x) désignera le revêtement universel Riemannien de la feuille correspondante qui envoie o sur x.
Limites de grandes boules. Une conséquence typique du résultat principal de la section est la gé- néralisation suivante d’un résultat de Bonatti et Gómez-Mont (voir [BG]). Nous nous intéressons à la famille suivante de mesures, définie sur M par :
µx,R= projx∗ µ Leb |B(o,R) Leb(B (o, R)) ¶ .
Notons que ces mesures sont des analogues multidimensionnelles des moyennes de Birkhoff (dans ce cas, le revêtement Riemannien est donné parR, et la projection est donnée par le paramétrage des lignes de flots). Le résultat suivant est conséquence directe du théorème principal de cette partie. Theorème 7.2.1. Soit (Π,M,B,CP1) un fibré projectif feuilleté, dont la base est une variété Rieman-
nienne close courbée négativement, et dont les feuilles sont localement isométriques à B . Supposons qu’il n’y ait pas de mesure sur la fibre invariante par le groupe d’holonomie. Alors, il existe une unique
mesure m sur M telle que pour toutes suites (xn)n∈N∈ MN, et (Rn)n∈N tendant à l’infini, les suites de
mesuresµxn,Rn convergent vers m. De plus, cette mesure est l’unique mesure 0-harmonique (où 0 est la
fonction identiquement nulle).
Un poids sur les grandes sphères. Soit F : T1B →R un potentiel Hölder, et eF : T1N →R son relevé.
Lorsqu’il n’y a pas de mesure surCP1invariante par le groupe d’holonomie, nous voulons approcher l’unique mesure F -harmonique par des moyennes pondérées sur les grandes boules. Les mesures
F -harmoniques sont associées au noyau kF que nous avons construit par exponentiation de la dif-
férence des intégrales du potentiel entre un pointξ à l’infini et deux points de N. Le meilleur moyen d’approcher ce cocycle par des fonctions définies sur des boules dans les feuilles est, étant donnés deux points de la boule, d’intégrer le potentiel le long des géodésiques dirigées du centre vers les points, de les exponentier, de les quotienter, puis d’envoyer le centre à l’infini en suivant une géodé- sique. Nous considèrerons donc la fonction définie sur N × N par la formule suivante :
κF(z 0, z) = exp ·ˆ z z0 e F ¸ . (7.2.5)
Nous aurons besoin d’estimées de distorsion, et de prouver que le quotientκF(z0, y)/κF(z0, z) converge uniformément vers le cocycleδF(z, y;ξ) lorsque z0 converge non-tangentiellement versξ dans la topologie conique. Nous donnons sans preuve un théorème, qui est une généralisation d’un théorème de Margulis, et est dû à Ledrappier [L4], sous une forme légèrement plus générale.
Theorème 7.2.2. Pour tout z0∈ N , il y a un nombre c(z0), tel que : ˆ
S(z0,R)
κF(z
0, z)d Leb(z) ∼ c(z0)eRP (F ),
lorsque R croît indéfiniment.
Considérons alors sur M les moyennes pondérées de grandes boules :
µF x,R= projx∗ Ã κF(o, y)Leb |B(o,R)(y) ´
B (o,R)κF(o, y)d Leb(y) !
. (7.2.6)
Theorème 7.2.3. Soit (Π,M,B,CP1,F ) un fibré feuilleté projectif au dessus d’une variété Rieman-
nienne close et courbée négativement, qui paramètre les feuilles. Supposons de plus qu’il n’y ait pas
de mesure surCP1invariante par le groupe d’holonomie. Soit F : T1B →R un potentiel Hölder dont la
pression est positive. Alors, pour toutes suites (xn)n∈N∈ MNet (Rn)n∈Ntendant vers l’infini, la suite de
mesuresµFx
n,Rnconverge vers l’unique mesure F -harmonique pourF .
Convergence des moyennes sphériques pondérées. Nous regarderons dans un premier temps les
moyennes sphériques pondérées, qui sont des mesures de probabilités définies sur M par : mFx,R= projx∗
Ã
κF(o, y)Leb
|S(o,R)(y) ´
S(o,R)κF(o, y)d Leb(y) !
. (7.2.7)
Le but est ici de prouver le théorème suivant :
Theorème 7.2.4. Soit (Π,M,B,CP1,F ) un fibré feuilleté projectif au dessus d’une variété Rieman-
nienne close et courbée négativement, qui paramètre les feuilles. Supposons de plus qu’il n’y a pas de
mesure surCP1invariante par le groupe d’holonomie. Soit F : T1B →R un potentiel Hölder. Alors pour
toutes suites (xn)n∈N∈ MNet (Rn)n∈Ntendant vers l’infini, la suite de mesures mFxn,Rn définie ci-dessus
converge vers l’unique mesure F -harmonique.
Preuve du théorème7.2.3à partir de7.2.4. Tout d’abord, par le théorème de Ledrappier,7.2.2, l’intégrale´S(o,R)κF(o, y)d Leb(y) se comporte comme eRP (F ) : en particulier, elle croît à l’infini uni- quement lorsque P (F ) > 0 (c’était le cas de l’exemple particulier7.2.1, où le potentiel est la fonction nulle, dont la pression est égale à l’entropie topologique du flot géodésique gt).
Nous empruntons l’argument suivant à Bonatti et Gómez-Mont [BG]. Supposons qu’il n’existe aucune mesure sur CP1 qui soit invariante par le groupe d’holonomie. Par le théorème 7.2.4, les moyennes sphériques pondérées convergent vers l’unique mesure F -harmonique pour F . Consi- dérons alors la couronne CR= B(o, R) \ B(o, R/2). Puisque la pression de F est positive, l’intégrale du poids sur CRse rapproche de plus en plus de celle sur B (o, R). Ainsi, il est suffisant de prouver que la restriction normalisée deµFx,Rsur la projection de CR approche l’unique mesure F -harmonique.
Mais cette mesure s’écrit comme barycentre de moyennes sphériques pondérées, chacune d’elle tendant vers l’unique mesure F -harmonique (par le théorème7.2.4). Nous concluons que le bary-
centre converge vers la même mesure : CQFD. ä.
Nous allons maintenant montrer comment prouver le théorème7.2.4. L’idée est simple et repose sur le fait que les grandes sphères ressemblent à des horosphères. Il est possible de remonter les moyennes sphériques au fibré unitaire tangent, car les sphères de même rayons peuvent y être plon- gées en ajoutant le champ de vecteurs radial sortant. Ces sphères plongées forment un feuilletage qui converge uniformément vers le feuilletage instable du flot géodésique. De plus, les mesures rele- vées induisent sur les transversales de ces feuilletages des familles de mesures telles que les cocycles de Radon-Nikodym qui leur sont associés convergent vers le noyau kF. Finalement, en utilisant le théorème d’unique ergodicité7.1.25, nous déduisons que l’unique point limite de cette famille est le relevé canonique de l’unique mesure F -harmonique. Ainsi cette mesure se projette sur l’unique mesure F -harmonique, concluant ainsi la preuve du théorème.