Désintégration dans les variétés stables. Dans la suite, (M ,F ) est une variété close feuilletée mu- nie d’une métrique feuilletée, telle que toutes les feuilles deF soient courbées négativement. Nous commençons par réduire la preuve de la proposition5.4.4à celle d’une propriété des états de u-Gibbs qui ne sont pas totalement invariants. Plus précisément, nous prouvons que la proposition5.4.4est une conséquence de la proposition suivante, que nous énonçons dans le cadre du flot géodésique feuilleté, mais qui reste vraie pour tout flot hyperbolique feuilleté :
Proposition 5.4.5. Soitµ un état de u-Gibbs ergodique sur T1F pour le flot géodésique feuilleté Gt.
Alors nous avons l’alternative suivante :
– soitµ est un état de su-Gibbs ;
– soit la désintégration deµ dans les variétés stables est singulière par rapport à la mesure de Le-
besgue.
Cela entraîne la proposition5.4.4. Pour prouver la proposition5.4.4à partir de la proposition pré- cédente, nous avons besoin de deux applications plus ou moins immédiates de l’absolue continuité des feuilletages stable et instable. Pour l’énoncé le premier lemme, nous avons besoin de rappeler que pour toute mesure m,φu-harmonique pourF , nous pouvons, pour m-presque toute feuille, projeter la classe caractéristique sur les fibres unitaires tangentes à L. Nous appellerons encore abusivement classe caractéristique de L la classe ainsi définie qui est invariante par holonomie centre-instable. Lemme 5.4.6. Soit m une mesureφu-harmonique, etµ son relevé canonique. Alors la désintégration
deµ dans les fibres unitaires tangentes est absolument continue par rapport à la classe caractéristique
de L.
Preuve. Soit U une carte feuilletée pourF , et T une section transverse, telle queU =b S
x∈TT1P (x) soit une carte feuilletée pour cF . Alors, par définition, la mesure conditionnelle du relevé canonique
µ de m dans une plaque typique T1P (x) s’obtient en intégrant des mesures qui ont une densité par
rapport à la mesure de Lebesgue (cette densité est donnée en termes du noyau ku: voir par exemple la proposition5.3.9) dans les variétés centre-instables locales contre une mesure à l’infini qui est dans la classe caractéristique de la feuille correspondante.
Alors, en utilisant l’absolue continuité du feuilletage par les fibres unitaires tangentes, nous pou- vons désintégrer cette même mesure dans les fibres unitaires tangentes par rapport à la mesure de Lebesgue dans une variété centre-instable locale. Puis, par invariance de la classe caractéristique par holonomie centre-instable, nous voyons que les mesures conditionnelles dans les fibres unitaires tan- gentes sont dans la classe caractéristique, et nous pouvons conclure. ä Le lemme suivant est une conséquence immédiate de l’absolue continuité du feuilletage centre- instable.
Lemme 5.4.7. La désintégration d’un état de u-Gibbs est singulière par rapport à Lebesgue dans les
Preuve. Soitµ un état de u-Gibbs pour le flot géodésique feuilleté. Nous considérons une carte feuille- tée pour cF dont les plaques sont des petits ouverts Rx0possédant la structure de produit local. Consi-
dérons la mesure conditionnelleµx0 sur cette plaque. Par absolue continuité du feuilletage centre
instable, et parce queµx0 a une désintégration continue par rapport à Lebesgue dans les variétés
centre-instables, les mesures conditionnelles deµ dans les feuilles stables locales de Rx0sont simul-
tanément singulières par rapport à Lebesgue : si l’une des mesures conditionnelles l’est, alors elle le sont toutes. Ainsi, la désintégration deµx0 dans les feuilles stables locale est singulière par rapport
à Lebesgue si et seulement si sa projection sur une feuille stable faible le long des plaques centre- instable est singulière par rapport à Lebesgue.
De même, la désintégration deµx0 dans les fibres unitaires tangentes est singulière par rapport à
Lebesgue si et seulement si sa projection sur une fibre l’est.
Par définition, nous passons de la projection le long du feuilletage centre-instable sur une variété stable locale à celle sur une fibre unitaire tangente par une transformation d’holonomie absolument
continue : par ce qui précède, le lemme suit donc. ä
Fin de la preuve de la proposition5.4.4. Supposons que la proposition5.4.5soit vraie, et supposons qu’il existe une mesureφu-harmonique ergodique telle que la classe caractéristique de m-presque toute feuille ne soit pas singulière par rapport à la classe de visibilité. C’est donc, en appliquant le lemme5.4.6, que lorsque l’on projette cette classe caractéristique dans les fibres unitaires tangentes, les mesures que nous obtenons ne sont pas singulières par rapport à la mesure de Lebesgue.
Nous en déduisons donc, par le lemme5.4.7, que la désintégration deµ dans les variétés stables n’est pas singulière par rapport à Lebesgue. Mais par la proposition, ce n’est possible que siµ est un su-Gibbs.
Ainsi, pour prouver la proposition5.4.4, et donc le théorème5.4.2, il suffit de montrer la proposi-
tion5.4.5. ä
Preuve de la proposition5.4.5. Il suffit de prouver qu’un état de u-Gibbs ergodique dont la désin- tégration dans les feuilles stables n’est pas singulière par rapport à Lebesgue est un état de su-Gibbs. La stratégie est la même que celle qui nous servira plus tard à prouver des résultats d’unicité.
Soit doncµ un état de u-Gibbs ergodique pour le flot géodésique feuilleté dont la désintégration dans les feuilles stables n’est pas singulière par rapport à Lebesgue.
Il existe un ensemble de mesure pleine pourµ noté Y tel que pour tout v ∈ Y et toute fonction
f : T1F →R continue, l’on ait :
lim T →∞ ˆ T 0 f ◦G t(v)d t = lim T →∞ ˆ T 0 f ◦G−t (v)d t = ˆ T1F f dµ.
Par hypothèse, on peut en désintégrantµ dans des plaques stables, trouver un point v0∈ Y , ainsi qu’un ensemble de Borel D ⊂Wl ocs (v0) qui contient v et tel que :
– Lebs(D) > 0 ; – D ⊂Y .
Puisque D ⊂Y , on prouve que pour tout y ∈ D la famille de mesures 1/T´0TδG−t(v) converge versµ : par le théorème de Fubini, la famille de mesures suivante converge donc versµ :
µT = 1 T ˆ T 0 G−t∗ (Leb|Ds ) Lebs(D) d t .
D’autre part, par le théorème5.2.2, nous savons que tout point d’accumulation deµT (cette fa- mille n’en a qu’un seul : c’estµ) est un état de s-Gibbs. En conclusion, µ est donc à la fois un état de s-Gibbs et de u-Gibbs : c’est un état de su-Gibbs.
Nous avions donc bien prouvé la dichotomie recherchée. La preuve de la proposition5.4.5, et
donc celle du théorème5.4.2, est donc complète. ä
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Appendice : absolue continuité des feuilletages inva-
riants des flots hyperboliques feuilletés
Nous allons voir que les résultats classiques de régularité Hölder d’objets associés classiquement aux flots d’Anosov peuvent être généralisés au cadre hyperbolique feuilleté sans mal : nous allons voir que les lemmes de distorsions usuels nécessaires pour prouver ces théorèmes sont encore valides dans ce contexte.
Dans la suite (M ,F ) est une variété close feuilletée, munie d’une métrique feuilletée variant continûment avec le paramètre transverse. Nous avons également pris un flot hyperbolique feuilleté Φt: M → M. Nous noterons X le champ de vecteurs engendré par Φt.