Nous supposons ici toutes les hypothèses du paragraphe précédent. Le but de cette partie est de prouver le théorème suivant.
Theorème 6.1.10. Soit (Π,M,B,V,F ) un fibré feuilleté où B est une variété Riemannienne close et
courbée négativement, et V est une variété compacte. Supposons que les feuilles deF soient localement
isométriques à B . Soit F : T1B →R un potentiel Hölder, et F : T1F →R un relevé. Alors il existe une
correspondance bijective entre mesures de Gibbs associé au potentiel F et les mesures F -harmoniques.
Désintégration dans les plaques centre-instables. Rappelons que nous avons défini une famille ( ¯λcuH ,v)v∈T1Fde mesures dans les feuilles deW
cu
par intégration des mesures ¯λuH ,G
t(v)contre l’élément
d t du flot.
Lemme 6.1.11. Soitµ une mesure de Gibbs pour Gtassocié au potentiel F . Alorsµ a une désintégration
absolument continue par rapport à (Wcu, ¯λcuF,v). De plus, les densités locales, que l’on noteψcuF,v sont
uniformément log-bornées dans les plaques et vérifient :
ψcu F,v(w2) ψcu F,v(w1) = kF(w1, w2;ξ), (6.1.8) où w1, w2∈ W cu
l oc(v),ξ ∈ N(∞) est la limite commune des itérations dans le passé d’éléments de W
cu l oc(v). Bien entendu, la notation est quelque peu abusive : nous devons évaluer kF sur les relevés des points bases de w1et w2appartenant à un même domaine fondamental.
Preuve. La mesureµ est invariante par le flot et a une désintégration absolument continue par rap- port à (Wu, ¯λuF,x), donc la première partie du lemme est vraie.
Nous trouvons des bornes uniformes pour les logarithmes des densités locales en utilisant celles données par le théorème6.1.2, ainsi que les bornes sur le diamètre des plaques centre-instables.
Que les densités vérifient les relations de cocycles (6.1.8) n’est pas très dur à vérifier à partir du théorème 6.1.2, et par l’invariance par le flot. En effet, si w1, w2 appartiennent à la même variété instable locale, on aβξ(w1, w2) = 0, et (6.1.8) est exactement la relation (6.1.4). Si w2= GT(w1), nous avonsβξ(w1, w2) = −T et la relation (6.1.8) vient de l’invariance par le flot (on utilise ici que ( ¯λcuF,v)v∈M satisfait les mêmes relations (6.1.3) que ( ¯λuF,v)v∈M). ä Reparamétrage des mesures de Gibbs. Comme nous l’avons déjà fait lors de notre étude des me- sures de H -Gibbs, nous allons définir les mesures ∞-F-harmoniques pour Wcu et prouver qu’elles peuvent être obtenues par reparamétrage des mesures de Gibbs dans les variétés centre-instables. Souvenons-nous que l’identification T1N ' N ×N (∞) trivialise le feuilletage instable. Fixons un point
base o ∈ N . À une variété centre-instable N × {ξ0}, nous associons la mesureξ0-F -harmonique :
mξF
0= k
F(o, z;ξ
0)LebN ×{ξ0}.
Définition 6.1.12. Soit B une variété Riemannienne close et courbée négativement, et soit N son re-
vêtement universel Riemannien. Soit F : T1B →R un potentiel Hölder, et o ∈ N un point base fixé.
Une mesure de Borelme
+
F sur N est dite ∞-F -harmonique pour fWcusa désintégration dans les variétés
centre-instables, identifiées avec les N × {ξ}, dont les mesures conditionnelles sont données par les mFξ.
Les passages au quotient de mesures ∞-F -harmoniques sur les quotients de N seront encore appe- lées mesures ∞-F -harmoniques.
Définition 6.1.13. Soit (Π,M,B,V,F ) un fibré feuilleté où B est une variété Riemannienne close et
courbée négativement, et V est une variété différentiable compacte. Supposons que les feuilles deF sont
localement isométriques à la base B . Soit F : T1B →R un potentiel Hölder. Une mesure de probabilité
m+F sur T1F est dite ∞-F -harmonique pour Wcusi les mesures conditionnelles dans les plaques de cF
sont ∞-F -harmoniques pour Wcu.
Proposition 6.1.14. Soit (Π,M,B,V,F ) un fibré feuilleté où B est une variété Riemannienne close et
courbée négativement, et V est une variété différentiable compacte. Supposons que les feuilles deF sont
localement isométriques à la base B . Soit F : T1B →R un potentiel Hölder, et F : T1F →R son relevé.
Alors pour toute mesureµ pour Gtassociée au potentiel F , il y a une unique mesure ∞-F -harmonique
pourWcum+F qui induit sur la fibre V la même mesure queµ.
Réciproquement, pour toute mesure ∞-F -harmonique pour Wcu, mF+, il existe une unique mesure
de Gibbsµ pour Gt associée au potentiel F qui induit sur la fibre V la même mesure que m+F.
Preuve. La preuve de cette proposition suit les mêmes lignes que celle de la proposition4.3.8. Il faut voir alors que, par le lemme6.1.11, les densités locales satisfont les relations (6.1.8). Ainsi, toute me- sure de Gibbs peut être désintégrée dans les plaques centre-instables de telles sortes que les densités
locales soient données par kF(o, v;ξ) ¯λcuF,v. ä
La proposition suivante et une conséquence immédiate :
Proposition 6.1.15. Sous les hypothèses de la proposition6.1.14, nous avons :
1. toute mesure ∞-F -harmonique pourWcuinduit sur la fibre V une mesure laissée quasi-invariante
par l’action du groupe d’holonomie deF ;
2. deux mesures ∞-F -harmoniques pour Wcu différentes induisent des mesures differentes sur la
fibre V .
Preuve. C’est une conséquence immédiate des propositions6.1.4et6.1.14 ä
Relevés canoniques des mesures F -harmoniques. La preuve du lemme suivant suit exactement les lignes de celle du lemme4.3.3.
Lemme 6.1.16. Soit B une variété Riemannienne close courbée négativement, et N son revêtement
universel Riemannien. Soit F : T1B →R un potentiel Hölder. Alors la projection sur N de toute mesure
∞-F -harmonique sur T1N est une mesure F -harmonique : elle a une densité F -harmonique par rap- port à Lebesgue.
Ainsi, nous avons la conséquence suivante :
Lemme 6.1.17. Soit (Π,M,B,V,F ) un fibré feuilleté où B est une variété Riemannienne close et courbée
négativement, et V est une variété différentiable compacte. Supposons que les feuilles deF soient loca-
lement isométriques à la base B . Soit F : T1B →R un potentiel Hölder. Alors la projection sur M le long
des sphères tangentes àF d’une mesure ∞-F -harmonique pour Wcu est une mesure F -harmonique
pourF .
Puisque nous savons, par le théorème6.1.2, que les mesures de Gibbs pour Gt existent pour tout potentiel Hölder F : T1B →R, et puisque nous savons, par la proposition6.1.14, que ces mesures sont en correspondance bijective avec les mesures ∞-F -harmoniques, nous déduisons du lemme précédent le théorème d’existence suivant :
Theorème 6.1.18. Soit (Π,M,B,V,F ) un fibré feuilleté où B est une variété Riemannienne close et
courbée négativement, et V est une variété différentiable compacte. Supposons que les feuilles deF
soient localement isométriques à la base B . Alors, les mesures F -harmoniques pourF existent pour
tout potentiel Hölder F : T1B →R.
À présent, donnons quelques notations analogues à celles données au chapitreIV. Nous note- rons :
– pr : T1F →M la projection canonique le long des sphères tangentes ; – H arF(F ) l’ensemble des mesures F -harmoniques pour F ;
– H ar∞F(Wcu) l’ensemble des mesures ∞-F -harmoniques pour Wcu.
Proposition 6.1.19. Soit (Π,M,B,V,F ) un fibré feuilleté où B est une variété Riemannienne close et
courbée négativement, et V est une variété différentiable compacte. Supposons que les feuilles deF
soient localement isométriques à la base B . Soit F : T1B →R un potentiel Hölder. Alors, la fonction
pr∗:H ar∞F(Wcu) →H arF(F ) associant à toute mesure F -∞-harmonique m+sa projection sur M ,
pr ∗ m+, est une bijection.
Lorsque m+F∈ H ar∞, et mF= pr ∗ mF+, nous appellerons m+F le relevé canonique de mFà T1F .
Preuve. La preuve est complètement identique à celle de la proposition4.3.5. Nous devons utiliser le lemme de Ghys1.3.3pour prouver que les densités locales d’une mesure F -harmonique peuvent être étendues, et que les extensions sont encore des fonctions F -harmoniques. À présent, nous pouvons dérouler les mesures exactement comme dans la proposition4.3.5: cela prouve que l’application pr∗ est surjective.
Puisque, de plus, nous savons par la proposition6.1.15que deux mesures ∞-F -harmoniques dif- férentes induisent des mesures différentes sur la fibre, cela entraîne que l’application pr∗est injective.
Nous pouvons donc conclure ä
Fin de la preuve du théorème6.1.10. Par la proposition6.1.14, il existe, pour toute mesure ∞-F - harmonique pourWcu, une unique mesure de Gibbs pour Gt associée au potentiel F qui induit la même mesure sur la fibre.
Par la proposition6.1.19, la projection canonique pr : T1F →M induit une bijection entre les mesures ∞-F -harmoniques pour Wcu, et les mesures F -harmoniques pourF .
Nous pouvons alors conclure la preuve du théorème : il y a une correspondance bijective entre les mesures F -harmoniques et les mesures de Gibbs pour Gtassociées au potentiel F . ä. Fonctions F -harmoniques sur une variété compacte. Nous savons que les seules fonctions har- moniques sur une variété compacte sont les fonctions constantes : nous avons donné un argument au chapitreIII.
Nous rappelons que nous avons défini sur toute variété close et courbée négativement l’existence d’une fonction F -harmonique, et ce pour tout potentiel Hölder : nous les avons définies en prenant les masses des mesures de Ledrappier (νFz)z∈N (voir le théorème 2.1.10) ). Nous avions noté cette fonction h0F. De manière analogue au cas des fonctions harmoniques, nous pouvons prouver : Theorème 6.1.20. Soit B une variété close et courbée négativement. Soit F : T1B →R un potentiel Höl-
der. Alors toute fonction F -harmonique function sur B est un multiple positif de h0.
Preuve. Le théorème6.1.10est même vrai lorsque V est singleton : cela revient à dire qu’il y a une bijection entre les mesures F -harmoniques sur B et les états de Gibbs pour le flot géodésique gtas- sociés à F . Mais un tel état de Gibbs est unique (voir le théorème2.1.7).
Ainsi, la densité de l’unique mesure F -harmonique sur B est déterminée, à multiplication près par une constante positive. En d’autre termes, il y a une unique fonction F -harmonique, à constante
mltiplicative près : c’est hF0. ä