Theorème 4.1.2. Il existe une correspondance bijective entre les mesures harmoniques surH et les me-
sures sur T1H invariantes par l’action jointe du flot géodésique et du flot horocyclique instable.
Plus précisément nous prouvons :
– que chaque feuille centre-instable porte canoniquement une mesure invariante par l’action jointe des flots géodésique et horocyclique instable, appelée mesure caractéristique de la feuille centre-instable, qui de plus est équivalente à la mesure d’aire hyperbolique, et dont la densité est donnée par le noyau de Poisson correspondant ;
– qu’en conséquence, toute mesures de Borel invariantes par l’action jointe des flots géodésique et horocyclique instable est obtenue par intégration des mesures caractéristiques contre une mesure de Borel finie sur le cercle à l’infini ;
– que la projection de toute mesure invariante par l’action jointe des flots géodésique et horocy- clique instable est harmonique ;
– que toute mesure harmonique s’obtient ainsi.
Noyau de Poisson. À chaque feuille centre-instableH×{ξ}, ξ ∈ S∞est associée une unique fonction harmonique (à une constante multiplicative près) k(.,ξ) telle que limz →ξ0k(z,ξ) = 0 lorsque ξ06= ξ
et ∞ sinon (la convergence z →ξ0 est non-tangentielle). Il s’agit du noyau de Poisson donné par la formule suivante pour z = x + iy :
k(z,ξ) = y
(x − ξ)2+ y2.
Remarque. Pour trouver cette formule, il suffit de savoir prouver cela lorsqueξ = ∞, et de prou- ver que l’unique fonction qui convient est donnée par k(z, ∞) = Im(z). L’unique fonction k(.,ξ) pour
ξ ∈ R, sera alors Im ◦ gξ→∞, où gξ→∞est une homographie qui envoieξ sur le point à l’infini. Cette
formule ne dépend bien entendu pas de la transformation gξ→∞: deux telles homographies ne dif- fèrent (à constante multiplicative près) que d’une translation parallèle à l’axe réel, opération qui à l’évidence ne change pas la partie imaginaire.
Nous pouvons donc considérer l’homographie envoyant un point z ∈ H sur g∞ → ξ(z) = −z−ξ1 . Un calcul immédiat donne alors que pour tout z = x + iy ∈ H,
k(z,ξ) = −Im µ 1 z − ξ ¶ = y (x − ξ)2+ y2.
Nous avons donc le théorème suivant, dû à Herglotz, dont on trouvera une preuve dans [Ru] : Theorème 4.1.3. Il y a une correspondance bijective entre les mesures de Borel finies sur S∞et les fonc-
tions harmoniques positives surH donnée parη 7→ K [η], où K [η], qu’on appelle l’intégrale de Poisson
deη, vérifie pour tout z ∈ H :
K [η](z) =
ˆ S∞
L’application réciproque se construit en remarquant que par la propriété de la moyenne, la me- sure sur le cercle CRcentré en i et de rayon R définie par h|CRLebCR est une famille de mesure finie de
masse totale h(i) : par compacité nous pouvons alors extraire une limite, montrer que c’est la seule possible, puis, prouver que h est l’intégrale de Poisson, ce qui requiert de savoir résoudre le problème de Dirichlet à l’infini (c’est-à-dire le cas où η a une densité continue par rapport à Lebesgue). Les détails se trouvent dans [Ru].
Mesures invariantes par le groupe affine. La proposition suivante, qui caractérise les mesures de Borel sur T1H qui sont invariantes par l’action jointe des flots géodésique et horocyclique instable. Chaque feuille centre-instableH×{ξ} porte une mesure caractéristique, qui, par définition, a une den- sité k(.,ξ) par rapport à l’aire hyperbolique. Nous pouvons alors prouver :
Proposition 4.1.4. Une mesure de Borel sur T1H est invariante par l’action jointes des flots géodésique
et horocyclique instable si et seulement si elle s’obtient par intégration contre une certaine mesure finie
η sur S∞des mesures caractéristiques des feuilles centre-instablesµξ.
Lemme 4.1.5. Il y a, à une constante multiplicative près, une unique mesure de Borel surH × {∞} qui
soit invariante par l’action jointe des flots géodésique et horocyclique instable : elle a une densité par rapport à la mesure d’aire hyperbolique donnée par la fonction “partie imaginaire”.
Preuve. L’action jointe des deux flots sur la feuille centre-instable correspondant à l’infini est exac- tement donnée par l’action du groupe affine Aff sur lui-même par translations à droite. Nous savons qu’il possède, à une constante multiplicative près, une unique mesure de Haar à droite. Ainsi s’en- suivent l’existence et l’unicité de la mesure désirée.
Nous affirmons que, si l’on écritH = {(x, y) ∈ R2; y > 0}, la mesure recherchée s’écrit en coordon- nées :
µ∞=
d x d y
y .
Pour le voir il suffit de prouver qu’elle est préservée par le flot géodésique et par le flot horocyclique instable. Pour ce faire, en utilisant le théorème de Fubini, il suffit de prouver que les deux flots, en restriction aux droites horizontales, préservent l’élément d x, et, en restriction aux demi-droites ver- ticales, préservent l’élément d y/y.
En restriction àH × {∞}, le flot horocyclique instable se réalise comme un sous-groupe à un pa- ramètre de translations le long des droites horizontales : il préserve donc les deux éléments d x et
d y/y.
Le flot géodésique se réalise comme le sous-groupe à un paramètre de translation le long des demi-droites verticales paramétrées par la longueur d’arc hyperbolique. Ainsi, il préserve l’élément
d x, et l’élément de longueur hyperbolique sur les demi-droites verticale d y/y.
Dans ces coordonneés, l’élément d’aire hyperbolique se lit d x d y/y2: ainsi, nous concluons que la densité deµ∞par rapport à l’aire hyperbolique est donnée par la fonction y. ä
Comme conséquence de ce lemme, nous obtenons le lemme suivant :
Lemme 4.1.6. Soitξ ∈ S∞. Il y a, à une constante multiplicative près, une unique mesure de Borel sur
la feuille centre-instable correspondant àξ qui soit invariante par l’action jointe des flots géodésique et
horocyclique instable a une densité par rapport à la mesure d’aire hyperbolique donnée par la fonction k(.,ξ).
Preuve. Soitξ ∈ R. Considérons l’homographie gξ→∞: z 7→ −z−ξ1 . C’est une isométrie du demi-plan hyperbolique, sa différentielle commute donc avec les flots géodésique et horocycliques, et l’applica- tion induite Wξcu→W∞cuest donnée par gξ→∞.
En particulier, en vertu du lemme précédent, la mesureµξ= (Dgξ→∞)−1∗ µ∞est une mesure sur la feuille centre-instable correspondant àξ invariante par l’action jointe des flots géodésique et horocyclique instable.
Encore parce que gξ→∞est une isométrie, elle préserve l’aire hyperbolique, de sorte queµξa une densité par rapport à l’aire hyperbolique obtenue en composant celle deµ∞par gξ→∞: on obtient donc Im ◦ gξ→∞= k(., ξ), comme nous l’avons remarqué précédemment.
Il ne reste donc plus qu’à prouver que cette mesure est la seule, à multiplication près par une constante, qui soit invariante par l’action jointe des deux flots. Pour ce faire, nous prenons une telle mesure et la poussons par la différentielle de gξ→∞. Par le même argument que ci-dessus, ainsi que par la partie “unicité” du lemme précédent, nous trouvons que la mesure que l’on obtient est néces- sairement un multiple deµ∞. C’est donc que la mesure initiale était un multiple deµξ. Nous pouvons
donc conclure la preuve du lemme. ä
Fin de la preuve de la proposition4.1.4. Cette proposition est une conséquence immédiate des deux lemmes précédents. Si l’on considère une mesureµ invariante par l’action jointe des deux flots, ou c’est équivalent, par l’action du groupe affine, nous pouvons désintégrer dans les feuilles centre- instables, qui sont aussi les orbites de l’actions du groupe affine.
Nous obtenons alors un système de mesures contitionnelles qui sont invariantes par cette action : par les deux lemmes précédents, nous obtenons, quitte à renormaliser par une fonction mesurable, exactement les mesures caractéristiquesµξ. Nous pouvons donc conclure la preuve. ä Relevé canonique d’une mesure harmonique. Une mesure harmonique m surH a une densité par rapport à Lebesgue qui est une fonction harmonique positive h :H→(0,∞). Par le théorème de Her- glotz4.1.3, h s’écrit comme l’intégrale de Poisson d’une mesure de Borel finieη sur S∞.
Proposition 4.1.7. Soit m une mesure harmonique surH, etη la mesure de Borel finie sur S∞qui lui
correspond. La mesureµ invariante par l’action jointe des flots géodésique et horocyclique instables
correspondant àη se projette sur m. Nous appelons µ le relevé canonique de la mesure harmonique m.
Preuve. La preuve de cette proposition est immédiate. En effet,µ est obtenue par intégration contre
η des µξ= k(z, ξ)LebH×{ξ}(z). La projection canonique étant une isométrie en restriction auxH×{ξ}, la
projection est une mesure équivalente à la mesure de Lebesgue, et la densité est obtenue en intégrant les densités des mesures conditionnelles contreη.
Nous reconnaissons la densité de m : c’est donc que c’est la projection canonique de m. ä Fin de la preuve du théorème4.1.2. La preuve de la proposition4.1.7s’adapte pour prouver que la projection de toute mesure sur T1H invariante par les flots géodésique et horocyclique instable est une mesure harmonique. Ainsi donc nous avons deux applications réciproques l’une de l’autre :
– la projection des mesures sur T1H invariantes par l’action jointe des flots géodésique et horo- cyclique instable ;
– le relevé canonique des mesures harmoniques surH.
Ceci nous permet donc d’achever la preuve du théorème4.1.2. ä