Paramétrage des feuilles. Considérons une variété Riemannienne close B , une variété compacte V , ainsi qu’un fibré feuilleté (Π,M,B,V,F ) obtenu en suspendant une représentation ρ : π1(B ) →Diff(V ). Nous ne paramétrons pas les feuilles deF par la métrique de la base, mais considérons une mé- trique feuilletée L 7→ gLqui varie continûment avec le paramètre transverse.
De manière équivalente, nous avons la construction suivante. Rappelons que la variété suspen- sion M est obtenue en prenant le quotient deB × V par l’action diagonale de πe 1(B ), agissant sur le premier facteur par applications de revêtement, et sur le second par transformations d’holonomie
ρ(γ).
Nous fixerons dans toute la suite un point p0∈ B, ainsi qu’un relevé o ∈ eB . Puisque toutes les feuilles deF sont des revêtements de B est alors possible de paramétrer le produitB × V par la fibree
Vp0 de la façon suivante : e B × V = G t ∈Vp0 e Lt,
puis de mettre une métrique Riemannienne sur chaqueLet, variant continûment avec t , de telle sorte que :
– projt: (eLt, o) →(Lt, t ) soit un revêtement Riemannien ;
– pour tousγ ∈ π1(B ) et t ∈ Vp0, l’application induiteγ :Let→ eLρ(γ)t soit une isométrie.
Mesures harmoniques. Soit m une mesure harmonique. Nous fixerons dans la suite un atlas fini (Ui)i ∈I (nous noterons n le cardinal de I ) formé de petits disques inclus dans B qui trivialisent le fibré, ainsi que le revêtement universel Riemannien de toutes les feuilles et tels que l’intersection de deux cartes Uiet Ujest soit vide, soit connexe. Nous avons vu qu’il est possible d’écrire la restriction de m à Ui× V de la façon suivante :
m|Ui×V = hi(p, t )LebPi(t )νi(t ),
où hi est une fonction mesurable qui est harmonique en la première variable, etνi est une mesure de probabilité sur V . Nous rappelons enfin qu’il y a alors un ensemble A ⊂V qui est invariant par toutes les transformations d’holonomie, et qui est de mesure pleine pour chaqueνi sur lequel sont
définies les densités hi(., t ), et telles que l’on ait les relations de cocycles, déjà vues plus haut, et que nous rappelons, pour la commodité du lecteur :
hi(p, t )
hj(p,τi j(t ))=
d [(τ−1i j) ∗ νj]
dνi
(t ), (3.5.7)
pour p ∈ Uiet t ∈ A. Pour tout t ∈ A, Nous pouvons, comme nous l’avons fait précédemment, étendre harmoniquement la densité hi0(., t ) au revêtement universel (qui envoie le point o sur (p0, t ) ∈ Ui0× A)
de la feuille L par l’équation suivante :
Ht(z) =
d [τ−1c ∗ νi]
dνi0
(t ) hi(p,τc(t )), (3.5.8)
où z ∈ eLt, c est la projection du segment géodésique [o, z], et p celle de z.
Il y a une difficulté venant du fait que les feuilles ne sont pas paramétrées par la base : les volumes dans les feuilles n’ont donc plus de raison d’être tous les mêmes, et la projection sur B d’une fonction harmonique n’a plus de raison d’être encore harmonique. Il n’est plus possible de conclure que les mesures conditionnelles dans les feuilles sont exactement déterminées par les mesures hi(p, t )νi(t ). Néanmoins, comme nous allons le voir, elles leurs sont équivalentes, et ces dernières mesures sont canoniquement associées à la mesure harmonique. La première étape pour voir ceci est de prouver que les densités locales sont à dérivée logarithmique bornée dans toutes les plaques.
Lemme 3.5.1. Il existe une constante C > 1 telle que pour tout i ∈ I , tout t ∈ A et tout couple p, q ∈ Ui
on, ait :
C−1≤hi(q, t )
hi(p, t )≤ C .
Preuve. C’est une conséquence directe de l’inégalité de Harnack locale de Cheng-Yau, [CY]. Celle-ci entraîne en particulier, pour le revêtement universel d’une feuilleeLt, qu’il existe, pour tout R > 0, une constante Ct ,Rne dépendant que de R et de la borne inférieure de la courbure sectionnelle deLet, telle que pour toute fonction harmonique h :eLt→ R, et toute boule B(R) de rayon R, on ait :
Sup
B (R)|D(logh)| ≤ C t ,R.
Comme la métrique feuilletée varie continûment avec le paramètre transverse, et comme la base
B est compacte, il y a un majorant uniforme pour le diamètre des plaques, et un minorant uniforme
pour la courbure sectionnelle des feuilles. Puisque toutes les densités peuvent être étendues harmo- niquement au revêtement universel, il existe une constante C > 1 telle que :
Sup©|Dp(log hi(., t ))|; i ∈ I , t ∈ V, p ∈ Uiª ≤ logC.
Le lemme suit donc. ä
Lemme 3.5.2. Il existe une fonction continue M : B →(0,∞) telle que pour tout i ∈ I et tout p ∈ Ui, on
ait :
M (p) =
ˆ V
Preuve. Fixons i ∈ I et p0∈ Ui. Pour tout p ∈ Ui, la fonction hi(p, .) est intégrable contreνi, donc la formule écrite a bien un sens. Pour voir que la fonction est bien définie, il faut voir que si p ∈ Ui∩Uj, on a ´Vhi(p, t )dνi(t ) =
´
Vhj(p, t )dνj(t ) : mais ceci vient de façon claire de la relation de cocycle (3.5.7).
Pour voir qu’elle varie continûment, il suffit donc de montrer que c’est le cas en restriction à chaque carte Ui. Pour cela nous utilisons le fait que les densités locales sont à dérivée logarith- mique uniformément bornée (voir le lemme3.5.1), pour montrer que pour tout p et t ∈ A, hi(p, t ) ≤
C hi(p0, t ). Ainsi, puisque hi(p0, .) est intégrable, le théorème de continuité sous l’intégrale implique que M varie de façon continue dans Ui, ce qui nous permet de conclure. ä Proposition 3.5.3. Soit i ∈ I , p ∈ Ui. Pourε > 0 suffisamment petit, appelons Kp,εl’union sur t ∈ V des
disques dans les plaques de rayonε centrés en (p,t), et prp,ε: Kp,ε→Vp, la projection naturelle le long
des plaques deF . Alors la mesure suivante existe :
¯
mp= lim ε→0
prp,ε∗ (m|Kp,ε)
m(Kp,ε) ,
où par définition, Bt(p,ε) représente la boule de rayon ε pour la métrique de la plaque Pi(t ).
Nous avons de plus ¯mp= mp/M (p), où on a défini :
mp= hi(p, t )νi(t ).
Preuve. Lorsqueε est suffisamment petit, nous pouvons écrire, lorsque X ⊂Vp:
m(pr−1 p,ε(X )) m(Kp,ε) = ´ X ³´ Bt(p,ε)hi(q, t )d LebPi(t )(q) ´ dνi(t ) ´ V ³´ Bt(p,ε)hi(q, t )d LebPi(t )(q) ´ dνi(t ) .
Nous savons d’une part que lorsque le rayonε tend vers zéro, la mesure de Lebesgue d’une boule de rayonε est équivalente à une constante universelle (le volume de la boule euclidienne unité de la dimension de la base), que multiplieεn. Nous pouvons d’autre part utiliser l’estimée de Cheng-Yau pour voir que lorsqueε→0, et q ∈ Bt(p,ε), le quotient hi(q, t )/hi(p, t ) tend vers 1 uniformément. On a donc, à la limite : lim ε→0 m(prp,ε−1(X )) m(Kp,ε) = ´ Xhi(t , p) dνi(t ) ´ Vhi(t , p) dνi(t ) .
Nous pouvons donc conclure. ä
Remarque. En utilisant une fois de plus le fait que la dérivée logarithmique des densités locales est uniformément bornée, et que la métrique varie continûment avec le paramètre transverse, nous pouvons voir que la mesure ¯mp, est équivalente à la mesure conditionnelle de m dans la fibre Vp avec une dérivée de Radon-Nikodym uniformément log-bornée. Pour voir cela, il faut utiliser le fait que ces mesures conditionnelles s’obtiennent de la même façon que mp, à la différence qu’au lieu de considérer les ensembles Kp,ε, il nous faut utiliser les images réciproques de petites boules dans B centrées en p. Il est alors facile de voir que ces images réciproques sont emboîtées dans des Kp,εde taille comparable, et donc à la limite, on voit que les deux mesures sont équivalentes et que la dérivée de Radon-Nikodym est uniformément log bornée.
En utilisant le fait que la fonction M est continue, donc bornée, nous pouvons récapituler la dis- cussion précédente en une phrase :
les mesures mp= hi(p, t )νi(t ) sont bien définies intrinsèquement à partir de m et sont équivalentes à