Unicité des mesures de Gibbs. Nous pouvons énoncer notre résultat principal, qui implique en particulier le théorème8:
Theorème 7.1.24. Soit (Π,M,B,CP1,F ) un fibré feuilleté projectif dont la base B est une variété close
portant un flot d’Anosov topologiquement mélangeantϕtde classe C2. Supposons que les feuilles soient
localement isométriques à la base, et notonsΦt: M → M le flot hyperbolique feuileté relevé. Supposons
de plus qu’il n’y ait aucune mesure surCP1invariante par l’action du groupe d’holonomie. Alors pour
tout potentiel Hölder F : B →R, il existe une unique mesure de Gibbs pour Φtassocié au relevé F : M →R.
De plus, cette mesure est donnée parµ+F.
Preuve. Nous savons par le corollaire7.1.7queµ+F est une mesure de Gibbs associé àF .
Nous savons également que toute mesure de Gibbsµ pour Φt associé à F se projette sur µF. Puisque toute composante ergodique d’une mesure de Gibbs est encore une mesure de Gibbs (voir le théorème6.1.2), le théorème7.1.5entraîne donc l’alternative suivante. Soitµ−F est une mesure de Gibbs associée à F , ou alorsµ+Fest la seule.
Par la proposition7.1.11, le premier choix est exclu puisque la désintégration deµ−Fest singulière par rapport à (Wu, ¯λuF,x). Ceci nous permet de conclure la preuve du théorème. ä
Uniques ergodicités des feuilletages invariants. Nous voulons obtenir l’unicité à constante mul- tiplicative près des familles de mesures (ν+T)T ∈T+, et (νT−)T ∈T−, oùT+,T−sont respectivement les
ensembles des sections locales des feuilletages instable et stable, pour lesquelles les relations (7.1.1) et (7.1.2) ont lieu. Par souci de commodité pour le lecteur, nous rappelons ces relations :
dhholuT 1→T2∗ ν + F,T1 i dν+F,T 2 (x) = exp ·ˆ ∞ 0 (F ◦ Φ−t(holuT2→T1(x)) − F ◦ Φ−t(x)) ¸ = ¯kFu(x, holuT 1→T2(x)). (7.1.3)
pour T1, T2∈ T+, et x dans le domaine d’une application d’holonomie holuT2→T1.
dhholsT 1→T2∗ ν − F,T1 i dν− F,T2 (x) = exp ·ˆ ∞ 0 (F ◦ Φt(holTs2→T1(x)) − F ◦ Φt(x)) ¸ = ¯kFs(x, holsT 1→T2(x)). (7.1.4)
pour T1, T2∈ T−, et x dans le domaine d’une application d’holonomie holuT2→T1. Nous énonçons à présent notre résultat principal.
Theorème 7.1.25. Soit (Π,M,B,CP1,F ) un fibré feuilleté projectif dont la base B est une variété close
portant un flot d’Anosov topologiquement mélangeantϕtde classe C2. Supposons que les feuilles soient
localement isométriques à la base, et notonsΦt: M → M le flot hyperbolique feuileté relevé. Supposons
de plus qu’il n’y ait aucune mesure surCP1 invariante par l’action du groupe d’holonomie. Soit F :
B →R un potentiel Hölder. Alors, à une constante multiplicative près, il existe deux uniques familles de
mesures (ν+
T)T ∈T+ et (ν−T)T ∈T−définies respectivement sur les sections transverses locales àW
uetWs
qui satisfont aux relations (7.1.3) et (7.1.4).
De plus, sur les systèmes complets de transversales locales donnés par Tc s(p) = Π−1(Wl occ s(p)) et
Tcu(p) = Π−1(Wl occu(p)), elles sont données respectivement parνc sF,p= σ+∗ λc sF,petνcuF,p= σ−∗ λcuF,p(voir
la proposition7.1.6).
Nous allons raisonner par l’absurde. Supposons par exemple l’existence d’une autre mesure (i.e. singulière à celle définie par la proposition7.1.6) notée (ν+
T)T ∈T+existe. Nous considérons alors dans la base B un atlas feuilleté pourWu, noté (Vi,φi)i ∈I, avec un système complet de transversales formé de variétés centre-stables locales (Wl occ s(pi))i ∈I. Supposons de plus que pour 0 ≤ t ≤ 1, les itérées
ϕ−t(Vi) forment également un atlas feuilleté pourWu, et trivialisent le fibré. Alors, si Ui = Π−1(Vi) et Ti = Π−1(Wl occ s(pi)), lesΦ−t(Ui), 0 ≤ t ≤ 1 forment des atlas feuilletés pour W
u
associés aux sys- tèmes de transversalesΦ−t(Ti).
Lemme 7.1.26. Il existe une mesure de probabilitéµ sur M qui en restriction à Ui est obtenue par
intégration contreν+ Ti des mesures ¯ψ u F,xi ¯ λu
F,xi (xi∈ Ti). De plus,µ se projette sur µF et est singulière par
rapport àµ+F.
Preuve. Définissons une mesure sur chaque Ui comme suggéré dans l’énoncé. Le problème est de voir que ces mesures peuvent être recollées ensemble. Mais puisque les mesuresν+T
i satisfont à la
condition de cocycle (7.1.3), nous avons par définition de ¯ψuF,x, pour tous i , j tels que Ui∩Uj6= ; :
d [holuT i→Tj∗ ν + Ti] dν+T j = ¯ ψu F,xj ¯ ψu F,xi◦ hol u Tj→Ti .
Par conséquent, ces mesures peuvent bien être recollées, etµ est bien définie.
Nous devons maintenant voir queΠ∗µ = µF. Ceci est dû au résultat d’unicité donnée au théorème
2.1.2. En effet, la fibration commute avec les holonomies instables, donc la projection de (ν+T
B vérifie la relation de cocycle (2.1.4). Nous savons que dans ce cas, la famille est proportionnelle à (λc s|Wc s
l oc(pi)
)i ∈I (après renormalisation, nous pouvons supposer qu’elles sont égales). Par définition
deµ, sa projection sur B est donc localement définie par intégration contre λc s|Wc s
l oc(pi)des mesures
ψu
F,piλ
u
F,pi. C’est la structure de produit local deµF. Nous avons donc ce que nous voulions.
Finalement, puisque les deux mesuresµ+Fetµ induisent par hypothèse sur les transversales à Wcu des mesures singulières, elles sont singulières. La preuve est donc terminée. ä La mesureµ n’est pas a priori invariante par le flot Φt. Nous allons voir que pour tout t ≥ 0, Φ−t∗µ possède un système de mesures transverses qui satisfont la relation de cocycle (7.1.3), et ont égale- ment une désintégration absolument continue par rapport à (Wu, ¯λuF,x), avec des densités uniformé- ment log-bornées. une fois que nous saurons cela, nous ferons la moyenne des itérations négatives
deµ par le flot. Nous verrons qu’un point limite est encore singulier par rapport à µ+F, et se projette
encore surµF : elle doit être égale àµ−F. Mais alors, nous déduisons queµ−F est ne mesure de Gibbs associée au potentielF , contredisant le théorème7.1.25. Nous avons donc deux lemmes à prouver avant de venir à bout du théorème7.1.25.
Lemme 7.1.27. Pour tout t ≥ 0, il existe une famille de mesures (ν+−t ,T)T ∈T+définie sur la familleT+
des transversales locales à Wutelle que :
1. (ν+−t ,T)T ∈T+vérifie la relation (7.1.3) pour tout couple T1, T2∈ T+;
2. Φ−t∗ µ est localement obtenue par intégration contre ν+−t ,T des mesures ¯ψuF,xλ¯uF,x, x ∈ T . En par-
ticulier,Φ−t∗µ a une désintégration absolument continue par rapport à (Wu, ¯λuF,x) avec des den-
sités locales uniformément log-bornées.
Preuve. Considérons tout d’abord le cas où t ∈ [0,1]. Φ−t∗ µ possède alors une désintégration dans les plaquesΦ−t(Ui) par rapport àΦ−t∗ ν+Ti. Les mesures conditionnelles sont données par ( ¯ψ
u F,xi◦
Φ−t)(Φ−t∗ ¯λuF,xi).
Notons que dans ce cas, la famille de mesuresΦ−t∗ ν+Ti ne satisfait pas à la relation (7.1.3), mais
à une relation analogue. Puisque le flot commute avec l’holonomie instable, cette famille vérifie les relations de cocycles suivantes (pour y?∈ Φ−t(T?),? = i, j appartenant à la meme variété instable locale) : dhholuyi→yj∗ (Φ−t∗ ν+Ti) i dΦ−t∗ ν+Tj (yj) = exp ·ˆ ∞ −t (F ◦ Φ−s(yi) − F ◦ Φ−s(yj))d s ¸ .
Nous pouvons alors renormaliser la familleΦ−t∗ν+Tien la multipliant par exph´0t(F ◦ Φs(yi) − P(F ))d s i
, obtenant ainsi une famille de mesures (ν+−t ,Φ
−t(Ti))i ∈I vérifiant la relation (7.1.3). Puisque la fibration
Π commute avec les flots, et avec les transformations d’holonomie instable, et µF est invariante par
ϕt, nous déduisons que Φ−t∗ µ se projette sur µF, et que la famille (ν+−t ,Φ
−t(Ti))i ∈I se projette sur
(λc s
|ϕ−t(Wl occ s(pi))
)i ∈I.
Si l’on désintègre la mesureΦ−t∗µ dans Φ−t(Ui) par rapport àν+−t ,Ti, les nouvelles mesures condi- tionnelles sont obtenues à partir des anciennes en divisant par l’exponentielle ci-dessus. Ce faisant, nous voyons qu’elles sont données par ¯ψuF,y
i
¯
λu
F,yi (avec yi ∈ Φ−t(Ui)). En effet, ce fait vient directe-
ment de l’invariance deµF par le flot : pour voir que la relation
( ¯ψuF,Φt(yi)◦ Φ−t)(Φ−t∗ ¯λuF,Φt(yi)) = exp ·ˆ t 0 (F ◦ Φs(yi) − P(F ))d s ¸ ¯ ψu F,yi ¯ λu F,yi
a lieu, il s’agit d’écrire dans les coordonnées données par la structure de produit local l’invariance de
µF, et de remarquer que les densités ¯ψuF,x, et les mesures ¯λF,xu sont les relevés deψuF,p etλuF,p définis dans la base. Si cette relation a lieu en bas, elle aura encore lieu en haut.
Résumons : pour tout t ∈ [0,1], Φ−t∗ µ est localement obtenu par intégration contre ν+−t ,Φ−t(Ti)
des mesures ¯ψuF,xλ¯uF,x. Puisque les transversales (Φ−t(Ti))i ∈I forment un système complet de trans- versales, nous pouvons construire la famille (ν−t ,T)T ∈T+(voir notre lemme1.3.4). Les densités dans
les variétés instables locales sont de plus uniformément log-bornées indépendamment de t ∈ [0,1]. Nous pouvons à présent raisonner par récurrence sur n et prouver que pour tout t ∈ [n,n +1], une telle famille de mesure existe. L’hérédité est évidente : une fois qu’on a construit une telle famille de mesures pour n, nous construisons comme précédemment pour tout t ∈ [0,1] une famille de mesures ³
ν+
−(n+t ),Φ−t(Ti)
´
i ∈I qui convient sur le système de transversales completΦ−t(Ti).
Puis par une autre adaptation de notre lemme1.3.4, nous obtenons la famille de mesures désirée, que nous notons (ν−(n+t ),T)T ∈T+, achevant ainsi la preuve. ä
Lemme 7.1.28. Les mesuresµTconvergent versµ−F lorsque T tend à l’infini, où :
µT= 1 T ˆ T 0 Φ−t ∗ µ d t .
Preuve. La mesureµ est singulière par rapport à µ+F, et elles se projettent toutes deux surµF. Cela signifie que les mesures conditionnelles dans les fibres sont singulières. Si (µp)p∈Bdésigne la désinté- gration deµ dans les fibres, cela entraîne que pour µF-presque tout p ∈ B, µp(σ+(p)) = 0. Ainsi, pour
µF-presque tout p ∈ B, et µp-presque tout point x ∈ Vp, 1/T ´T
0 δΦ−t(x)d t converge versµ−F à mesure
que T croît indéfiniment (voir la proposition7.1.5).
Ainsi, cette convergence a lieu pour µ-presque tout x ∈ M. Une application du théorème de convergence dominée nous permet alors de conclure la preuve. ä
Fin de la preuve du théorème7.1.25. Comme nous l’avons expliqué au début de notre argument, les deux lemmes énoncés précédemment mènent tout droit à une contradiction. En effet, par le lemme7.1.27, les mesuresµTdefines dans le lemme7.1.28ont des désintégrations absolument conti- nues par rapport à (Wu, ¯λuF,x) avec des densités locales uniformément log-bornées.
Cela entraîne que la mesure limiteµ−F, possède également une désintégration absolument conti- nue par rapport à ce couple, contredisant ainsi la proposition7.1.11. Ainsi, le théorème 7.1.25est
prouvé. ä.