Theorème 3.4.2. SoitΣ une surface Riemannienne non compacte, d’aire finie, et de courbure négative.
Soitρ : π1(Σ)→PSLd(C) une représentation parabolique. Alors, on a, indépendamment du choix d’un
point base o ∈ eΣ :
log ||ρ(γ)|| = O(dist(o,γo)).
En utilisant d’une part le théorème de Ballmann-Ledrappier3.1.6, puis le théorème3.3.2, nous voyons que ce théorème a pour corollaires les deux résultats suivants :
Corollaire 3.4.3. SoitΣ une surface Riemannienne non compacte, d’aire finie, et de courbure négative
pincée. Soitρ : π1(Σ)→PSLd(C) une représentation parabolique. Soit (µz)z∈eΣla famille de mesures de
probabilité surπ1(Σ) définie par le théorème de discrétisation3.1.4. Alors on a, pour tout o ∈ eΣ :
X γ∈π1(Σ)
µo(γ)log||ρ(γ)|| < ∞.
Corollaire 3.4.4. SoitΣ une surface Riemannienne non compacte, d’aire finie, et de courbure négative
pincée. Soit (Π,M,Σ,CPd −1,F ) un fibré feuilleté obtenu dont la représentation d’holonomie est donnée
parρ : π1(Σ)→PSLd(C) qui est parabolique, contractante et fortement irréductible. AlorsF possède
une unique mesure harmonique.
Excursions horocycliques. Une surfaceΣ Riemannienne non compacte, d’aire finie, et de courbure négative pincée se décompose ainsi :Σ = K t IntP1t ... t Int Pk, où Piest un horodisque centré en la pointe pibordée par un horocycle fermé Hi, et K est une partie compacte deΣ.
Définition 3.4.5. Une excursion horocyclique d’un chemin c autour de la pointe piest une composante
connexe de l’intersection c ∩ IntPi.
Géodésique sans excursion horocyclique. Dans la suite,ρ : π1(Σ)→PSLd(C) est une représenta- tion parabolique d’une surfaceΣ Riemannienne non compacte, d’aire finie et de courbure négative pincée. Nous suspendons cette représentation, obtenant ainsi un fibré feuilleté (Π,M,Σ,CPd −1,F ). Rappelons que lorsque c est un chemin surΣ, τc: Vc(0)→Vc(1)est l’application d’holonomie au dessus de c, et que cette application ne dépend que de la classe d’homotopie de c.
Le lemme suivant se montre exactement comme le lemme3.3.4, en utilisant le fait que K est compact.
Lemme 3.4.6. Il existe un réel positif C1> 0 tel que pour tout segment géodésique c sur S sans excursion
horocyclique, l’on ait :
log ||τc|| ≤ C1long(c).
Holonomie au dessus d’une excursion horocyclique. Soit i ∈ {1,...,k}. Notons Hil’horocycle fermé qui borde l’horodisque Pi. La représentation ayant été choisie parabolique, l’holonomie au dessus du lacet Hiest une matrice parabolique Ai.
Lemme 3.4.7. Il existe un réel positif C2tel que pour tout segment géodésique c inclus dans un horo-
disque Piet dont les points extrémaux sont sur Hi, l’on ait :
log ||τc|| ≤ C2log tc
Preuve. Premièrement, comme indiqué dans [BGVil], il est possible, quitte à se ramener à une matrice conjuguée, et à restreindre le cocycle à un sous-espace invariant, de ne considérer que le cas où Ai est une matrice triangulaire supérieure avec des 1 sur la diagonale. Plus précisément, si h :R+→ Hi est un paramétrage de Hipar longueur d’arcs, on aτh([0,t ])= exp(t J ), où J est la matrice dont toutes les entrées sont nulles, sauf celles de la sur-diagonale qui valent 1. Les entrées deτh([0,t ])sont des fonctions polynomiales en t , de degré ≤ d − 1.
Deuxièmement, le relevéc de c au revêtement universel est homotope au segment horocycliquee reliant ses deux extrémités. Ainsi,τc= τh([0,tc]): puisque les entrées deτh([0,tc])sont polynomiales en
tc, nous pouvons conclure la preuve du lemme. ä
Comparaison des distances géodésique et horocyclique. Le théorème suivant, dû à Heintze et Im Hof, [HI], permet de comparer distances géodésique et horocyclique.
Theorème 3.4.8. Soit N une variété Riemannienne connexe, simplement connexe, complète, dont la
courbure sectionnelle est pincée entre deux constantes négatives −b2 ≤ −a2. Alors, pour toute horo-
sphère H , si distH représente la distance associée à la restriction de la métrique sur H , et si dist repré-
sente la distance géodésique,
2 asinh ³a 2dist(z1, z2) ´ ≤ distH(z1, z2) ≤ 2 bsinh µb 2dist(z1, z2) ¶ ,
pour tout couple (z1, z2) ∈ H2.
Nous déduisons du théorème ci-dessus, ainsi que du lemme3.4.7, le lemme suivant :
Lemme 3.4.9. Il existe un réel positif C2tel que pour tout segment géodésique c inclus dans un horo-
disque Piet dont les points extrémaux sont sur Hi, l’on ait :
log ||τc|| ≤ C2long(c).
Fin de la preuve du théorème3.4.2. Nous pouvons à présent conclure la preuve en prouvant qu’il existe un réel positif C tel que pour tout segment géodésique c, dont nous supposons que le point de départ est dans K , on ait :
log ||τc|| ≤ C long(c).
Nous pouvons décomposer un tel segment c, en la concaténation cn...c1de segments géodésiques ci vérifiant :
– c2p+1n’a aucune excursion horocyclique ;
– c2pest inclus dans l’un des Pi, et ses extrémités sont sur l’horocycle fermé Hi.
Nous avons τc = τcn...τc1, et par définition, il existe un réel positif C > 0 tel que pour tout p,
log ||τc2p+1|| ≤ C long(c2p+1), et log ||τc2p|| ≤ C long(c2p). Alors :
log ||τc|| ≤ log||τcn|| + ... + log||τc1|| ≤ C (long(cn) + ... + long(c1)) = C long(c),
la dernière égalité étant vraie car c est un segment géodésique.
A présent, choisissons un point base p ∈ Σ, et un relevé o ∈ eΣ. Par définition, nous avons ρ(γ−1) =
τcγ, où cγest le segment géodésique obtenu en projetant [o,γo] sur Σ. Nous avons donc une constante positive C > 0 telle que pour tout γ ∈ π1(Σ), log||ρ(γ−1)|| ≤ C long(cγ) = C dist(o,γo) = C dist(o,γ−1o), carπ1(Σ) agit par isométries surΣ.e
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Discrétisation des mesures harmoniques et chaînes
de Markov
Nous proposons ici une variation de notre argument dans le cadre où la base ne paramètre plus les feuilles. Il ne s’agit plus alors de considérer des compositions iid de difféomorphismes aléatoires, mais des compositions dirigées par une chaîne de Markov dont le noyau de transition dépend de la métrique dans les feuilles. Les preuves sont très proches de celles dans le cas iid, mais avec quelques variations mineures d’ordre technique. Nous présentons ce résultat parce qu’il permet de donner une application géométrique naturelle de la théorie de Guivarc’h sur les produits aléatoires de matrices dirigés par une chaîne de Markov : [Gu]. Pour avoir une description satisfaisante, il y a une hypothèse à vérifier, qui est la continuité du noyau de transition, et que nous n’avons pas établie : il faudrait prouver que les poids intervenant dans le théorème de Lyons-Sullivan peuvent être construits de tels sorte qu’ils varient continûment avec la métrique.