Maintenant que nous savons relever canoniquement les mesures harmoniques au fibré unitaire tangent, la prochaine étape est un reparamétrage de ces mesures dans la direction instable de façon à obtenir une mesure invariante par le flot géodésique feuilleté qui possède la propritété de Gibbs.
Mesures de H -Gibbs. Nous avons montré comment construire une famille de mesures, que nous notons (λuH ,v)v∈T1F sur les feuilles instables de Gt qui vérifient la relation de cocycle (4.2.2). No-
tons qu’il y a également une famille de mesures définie sur les feuilles centre-instables, et notée (λcuH ,v)v∈T1F : ces mesures sont obtenues par intégration desλu
H ,Gt(v)contre l’élément d t du flot.
Définition 4.3.6. Soit (M ,F ) une variété close feuilletée munie d’une métrique feuilletée de sorte que
les feuilles soient courbées négativement. Une mesure de probabilitéµ sur T1F , sera appelée mesure de
H -Gibbs pour Gt, si elle vérifient les propriétés suivantes :
– µ est invariante par Gt;
– µ a une désintégration absolument continue par rapport à (Wu,λuH ,v).
Nous voudrions aussi rappeler que ces mesures sont associées au potentiel suivant :
H (v) = d d t ¯ ¯ ¯ ¯ t =0 log kL(v)(cv(0), cv(t ); cv(−∞)),
où L(v) est la feuille à laquelle v est tangent, kL(v)est le noyau de Poisson sur L(v), et cvest la géodé- sique dirigée par v.
Theorème 4.3.7. Soit (M ,F ) une variété close feuilletée munie d’une métrique feuilletée de sorte que
les feuilles soient courbées négativement.
1. Pour tout v ∈ T1F , et tout disque D ⊂Wul oc(v), les points d’accumulation de
1 T ˆ T 0 Gt∗ (λuH ,v)|D λu H ,v(D) d t
sont des mesures de H -Gibbs pour Gt.
2. Les composantes ergodiques d’une mesure de H -Gibbs pour Gt sont encore des mesures de H -
Gibbs.
3. Siµ est une mesure de H-Gibbs pour Gt, alors les densités locales deψuH ,vsur les variétés instables
locales sont uniformément log-bornées et vérifient :
ψu
H ,v0(v)
ψu
H ,v0(w )
= kL(v)(cw(0), cv(0); cv(−∞))
Preuve. Ce théorème d’existence se prouve exactement comme le théorème6.1.2que nous prouve- rons plus loin : nous avons la relation de cocycle (4.2.2), le feuilletage uniformément dilaté par le flot, et les constantes de Hölder uniformes du potentiel dans les feuilles. ä
Mesure induite sur une transversale complète. Il est vrai que deux mesures de H -Gibbs qui in- duisent le même système de mesures sur un système complet de transversales au feuilletage instable sont égales. Il est plus intéressant de noter, et c’est l’objet de la proposition suivante, qu’une mesure de H -Gibbs est en fait déterminée par le système de mesures qu’elle induit sur une transversale com- plète au feuilletage cF .
Afin de prouver ce fait, nous proposons d’utiliser un argument à la Hopf où l’ingrédient principal est la propriété d’absolue continuité4.2.7. Nous avons choisi un bon atlas feuilletéA , que nous avons tiré en arrière par la fibration. Nous pouvons supposer que les plaques de l’atlas relevé possèdent la structure de produit local. Nous appelonsT une transversale complète associée.
Proposition 4.3.8. Soit (M ,F ) une variété close feuilletée munie d’une métrique feuilletée de sorte que
les feuilles soient courbées négativement. Alors :
1. toute mesure de H -Gibbs pour Gtinduit surT une mesure qui est quasi-invariante par le pseu-
dogroupe d’holonomie de cF ;
2. deux mesures de H -Gibbs différentes pour Gt induisent des mesures différentes surT .
Preuve. Soitµ une mesure de H-Gibbs pour Gt. Nous avons choisi l’atlasA de sorte que toutes les plaques de l’atlas cA possèdent la structure de produit local. Ainsi, nous obtenons un système complet de transversales pourWuen considérant les Tic s=S
x∈TiW
c s
l oc(x). Par construction des mesures de H - Gibbsµ (voir le théorème4.3.7), elles induisent un système de mesuresνc si sur les transversales Tic s sont la classe est invariante par holonomie instable.
La projection deµ sur Ti le long des feuilles deF , notée νi, coïncide alors avec celle deνc si le long des feuilles centre-stables. À présent, choisissons deux cartes Ui et Uj dont l’intersection a une mesure positive pourµ, ou, cela revient au même, telles que le domaine de τi j soit positif pourνi. Dans ce cas, si A ⊂Ti vérifieνi(A) > 0, nous avons νc s(A) > 0 où A est le saturé, à l’intérieur de Tic s, de A dans la direction centre-stable. Comme nous l’avons fait remarquer,νc sj (holuTc s
i →T c s
j (A)) > 0. Par
projection le long de la direction centre-stable, nous avonsνj(τi j(A)) > 0, ce qui prouve que νi et
τj i∗ νj sont dans la même classe de mesure. Par récurrence, nous prouvons que le pseudogroupe d’holonomie (engendré par lesτi j) préserve cette classe de mesures transverses.
À présent, nous devons prouver que les mesures induites surT par deux mesures de H-Gibbs dif- férents sont également différentes. Puisque toute composante ergodique d’une mesure de H -Gibbs est encore une mesure de H -Gibbs, cela revient à prouver que deux mesures ergodiques différentes (et donc singulières) induisent des mesures singulières surT .
Considérons deux mesures de H -Gibbs ergodiquesµ1etµ2et supposons que les mesures qu’elles induisent surT , notéesµb1etµb2, ne soient pas singulières. SoitX l’ensemble des vecteurs v ∈ T
1F tels que pour toute fonction continue f : M →R, nous ayons :
lim T →∞ 1 T ˆ T 0 f ◦G t(v)d t = lim T →∞ 1 T ˆ T 0 f ◦G−t (v)d t = ˆ M f dµ1.
Par le théorème ergodique de Birkhoff, nous savons queµ1(X ) = 1 : si nous notonsX l’union desb projections deX ∩Ubi sur les transversales Ti, nous avons par définition,µb1(cX ) = 0. Puisque nousb avons supposé que les mesures n’étaient pas singulières, nous avonsµb2(X ) > 0.b
Soit alors i ∈ I tel queµb2(Xbi) > 0, où bXi= bX ∩ Ti. Il existe donc un ensembleY ⊂Ubi, positif pour
µ2, qui se projette surXbile long des plaques. Par ergodicité deµ2, nous pouvons supposer que pour tout w ∈ Y , et toute fonction continue f : M →R, nous ayons :
lim T →∞ 1 T ˆ T 0 f ◦Gt(w )d t = lim T →∞ 1 T ˆ T 0 f ◦G−t(w )d t = ˆ M f dµ2.
Prenons un élément deXbi, que nous identifions à une plaque de cF notéePbi. Puisqueµ1etµ2ont une désintégration absolument continue par rapport à (Wcu,λcuH ,v)v∈T1F, nous pouvons trouver deux
vecteurs v ∈ X ∩ bPi, et w ∈ Y ∩ bPitels queλcuH ,v-presque tout élément de Wl occu(v) appartienne àX , et queλcu(Y ∩Wl occu(w )) > 0.
Projetons l’intersectionY ∩ Wl occu(w ) sur Wl occu(v) le long du feuilletage stable : par la propriété d’absolue continuité4.2.7, cette projection a une mesure positive pourλcuH ,vdans Wl occu(v) et intersecte doncX . En résumé, nous avons l’existence de w0∈ Y et v0∈ X dans la même variété stable. Ainsi, pour toute fonction continue f : M →R :
lim T →∞ 1 T ˆ T 0 f ◦ Φt(v0)d t = lim T →∞ 1 T ˆ T 0 f ◦ Φt(w0)d t .
Par définition, la première limite est égale à´M f dµ1, et la seconde à ´
M f dµ2: ces deux intégrales sont donc égales, et ce pour toute fonction continue f : M →R. Cela entraîne en particulier l’égalité
des deux mesures. ä
Reparamétrage du relevé canonique. Dans la proposition4.3.5, nous avons défini le relevé cano- nique m+de toute mesure harmonique m. Nous associons à m une mesure de H -Gibbs par repara- métrage de m+le long des variétés centre-instables, qui consistera à échanger la mesure de Lebesgue et la mesureλcuH ,v.
Lemme 4.3.9. Soit L une feuille deF , et ξ0∈ eL(∞). La mesure suivante définie sur la feuille instable
correspondant àL × {ξe 0} est invariante par le flot géodésique Gt, et a une désintégration absolument
continue par rapport à ( fWu, eλuH ,ξ) :
µξ0= k(o, z; ξ0)eλ cu H ,ξ0(z).
Preuve. L’invariance par le flot est une consiquence immédiate de la formule (4.2.2). Puisque eλcuH ,ξ est obtenue par intégration de eλuH ,G
t(v)contre l’élement d t du flot, cette mesure a une désintégration
continue par rapport à ( fWcu, eλcuH ,ξ). ä
Proposition 4.3.10. Soit (M ,F ) une variété close feuilleté dont les feuilles sont courbées négativement.
Alors, pour toute mesure ∞-harmonique pour Wcum+, il existe une unique mesure de H -Gibbsµ qui
induit sur la transversale complèteT la même mesure que m+.
Réciproquement, pour toute mesure de H -Gibbsµ, il existe une unique mesure ∞-harmonique
pourWcuqui induit sur la transversale complèteT la même mesure que m+.
Preuve. L’atlas feuilleté cA trivialise le feuilletage centre-instable. Les plaques centre-instables de cet atlas sont notées Qi, et les transversales, Si. L’union disjointe des Sidonne une transversale complète pourWcu, notéeS , qui peut être vue comme feuilletée trivialement en sphères Fx∈T Tx1L, oùT est
une transversale complète pourF .
La mesure m+est par définition obtenue dans une carteUbipar intégration contre une mesureν0i définie sur Si, de mesures qui sont données par les mξcorrespondants.
Au lieu d’intégrer contreν0iles mesures mξ, intégrons les mesuresµξdéfinies dans le lemme4.3.9
contreν0iet appelonsµila mesure sur Uiainsi obtenue.
D’une part, ces mesuresµi sont invariantes par le flot géodésique feuilleté, et ont une désinté- gration absolument continue par rapport à (Wu,λu
H ,v) parce qu’il en est ainsi de chaqueµξ(voir le lemme4.3.9).
D’autre part, pour v ∈ T1F , la mesure λcuH ,v est, comme la mesure de Lebesgue, bien définie sur
toute la variété centre-instable de v. Ainsi, comme les mesures m+j, les mesuresµj peuvent être re-
collées ensemble, et la mesure que l’on obtient alors, notéeµ, est invariante par le flot Gt, et a une désintégration absolument continue par rapport à (Wu,λu
H ,v). C’est une mesure de H -Gibbs, et par construction, elle induit la même mesure transverse que m+sur la transversale complèteS , ce qui entraîne deux choses.
D’abord, puisqueS est un feuilletage trivial en sphères paramétré par T : m+etµ induisent la même mesure surT .
Enfin, puisqu’une mesure ∞-harmonique est caractérisée par la mesure qu’elle induit sur S , deux mesures ∞-harmoniques différentes donnent des mesures de H-Gibbs différentes : et on a l’uni- cité.
Afin de prouver la réciproque, il s’agit de reprendre l’argument à l’envers. ä Ainsi, puisque nous savons que deux mesures de H -Gibbs différentes induisent surT deux me- sures différentes (voir la proposition4.3.8), il en est de même pour deux mesures ∞-harmoniques pourWcudifférentes. Nous avons alors la proposition suivante :
Proposition 4.3.11. L’application pr∗:H ar∞(Wcu) →H ar (F ) est injective.
Fin de la preuve du théorème4.2.1. Nous sommes alors prêts à prouver le théorème4.2.1, plus précisément, nous prouvons :
Theorème 4.3.12. Soit (M ,F ) une variété feuilletée close dont toutes les feuilles sont courbées négati-
vement. Alors pour toute mesure harmonique pourF , il existe une unique mesure de H-Gibbs pour Gt
induisant la même mesure sur une transversale complèteT pour F .
Réciproquement, pour toute mesure de H -Gibbs pour Gt, il y a une unique mesure harmonique
pourF qui induit la même mesure sur la transversale T .
Preuve. Les propositions4.3.5et4.3.11montrent que pour toute mesure harmonique pourF , il y a une unique mesure ∞-harmonique pour Wcuinduisant la même mesure surT , et réciproquement. La proposition4.3.10montre que pour toute mesure ∞-harmonique pour Wcu, il y a une unique mesure de H -Gibbs pour Gt induisant la même mesure surT , et réciproquement.