Raccord mixte

Ce chapitre est consacr´e `a la variante de la strat´egie avec condition aux limites mixte, introduite au Chapitre 2. On montre qu’il existe une condition aux limites optimale ;

des approximations r´ealistes et performantes de cet optimum sont alors formul´ees. Enfin, une correction

globale mixte, et son association avec une technique d’acc´el´eration, sont pr´esent´ees.

Sommaire

1 Objectifs . . . 115 1.1 Pourquoi un raccord mixte ? . . . 115 1.2 Ecriture du raccord . . . 116 1.3 Cas d’optimalit´e . . . 117 2 Approximations du compl´ement de Schur . . . 118 2.1 Approximations≪courte distance≫ . . . 118 2.2 Approximations par homog´en´eisation discr`ete . . . 121 2.3 Approximations multi-´echelles . . . 127 3 Correction globale mixte . . . 134 3.1 Ecriture de la correction globale . . . 134 3.2 Mise en œuvre sans acc´el´eration . . . 136 3.3 Mise en œuvre avec acc´el´eration SR1 . . . 138 4 Perspectives d’am´elioration . . . 141

Objectifs 115

Dans le chapitre pr´ec´edent, nous avons ´etudi´e la variante≪en d´eplacement≫ de l’approche, employant une condition aux limites en d´eplacement lors de l’´etape lo-cale. Nous avons montr´e que cette approche peut s’av´erer performante lorsqu’elle est associ´ee `a une technique d’acc´el´eration ; cependant, il est difficile d’acc´el´erer la convergence au-del`a d’un certain stade, car les coˆuts de l’acc´el´eration deviennent alors prohibitifs tandis que la vitesse de convergence n’augmente que peu.

Nous allons voir, dans ce chapitre, que l’emploi d’une condition aux limites mixte offre une r´eponse satisfaisante `a cette probl´ematique, et permet d’obtenir une convergence plus rapide moyennant un surcoˆut mod´er´e. Nous exposons tout d’abord l’int´erˆet d’un tel raccord et montrons qu’il existe une condition aux limites optimale, menant `a la convergence en une seule it´eration ; nous proposons ensuite des techniques permettant d’approcher cet optimum de mani`ere r´ealiste, et nous ´etudions enfin l’association du raccord mixte avec une technique d’acc´el´eration.

1 Objectifs

1.1 Pourquoi un raccord mixte ?

Le raccord en d´eplacement est tr`es utilis´e dans le cadre des ´el´ements finis en raison de la continuit´e du champ de d´eplacements obtenu et de sa simplicit´e de mise en œuvre, mais poss`ede toutefois plusieurs inconv´enients. Tout d’abord, il ne simule pas l’influence du reste de la structure sur la zone d’int´erˆet de mani`ere phy-siquement r´ealiste ; imposer le d´eplacement global revient en effet `a supposer que le reste de la structure a une rigidit´e infinie, et il est vraisemblablement possible de construire des conditions aux limites plus appropri´ees en exploitant ´egalement l’information contenue dans les efforts. Ensuite, les d´eplacements d’interface (tout comme, d’ailleurs, les efforts) sont naturellement sensibles aux erreurs de mod`ele et aux ph´enom`enes de redistribution, comme le montrent les valeurs initiales ´elev´ees de l’erreur en d´eplacement obtenues au chapitre pr´ec´edent ; l’analyse locale est donc pilot´ee par une condition aux limites dont la valeur est impr´ecise, ce qui p´enalise naturellement la convergence de la m´ethode. Enfin, des ´etudes men´ees dans le cadre du flambage local [Cresta, 2008] ont montr´e que ce type de raccord peut entraˆıner des difficult´es de convergence du calcul local, et nous verrons au Chapitre 6 que mˆeme dans le cas de la plasticit´e, ce probl`eme peut se manifester.

Cette probl´ematique a ´et´e largement ´etudi´ee dans le cadre des m´ethodes de d´ecomposition de domaine ; il en ressort que l’emploi d’un raccord mixte, et plus particuli`erement d’un raccord bas´e sur une condition de Robin (c’est-`a-dire n’im-posant ni la continuit´e des d´eplacements, ni l’´equilibre des efforts, mais une combi-naison lin´eaire des deux) permet d’´eviter les inconv´enients ´evoqu´es ci-dessus. Une condition de Robin permet en effet de simuler la rigidit´e du reste de la structure, et on peut montrer que moyennant un choix judicieux de ses param`etres, elle donne de bons r´esultats mˆeme lorsque les deux repr´esentations de la zone d’int´erˆet sont tr`es diff´erentes ; elle m`ene ainsi `a des performances sup´erieures `a celles que donnerait un

raccord en d´eplacement ou en effort seul. Nous nous proposons d’´etudier de telles conditions aux limites dans ce chapitre.

1.2 Ecriture du raccord

1.2.1 Rappels et notations

Rappelons l’´ecriture de la formulation globale/locale, sous sa forme discr´etis´ee et condens´ee sur l’interface : trouver (uG, λ^G_C,uL, λ^L) v´erifiant

– l’admissibilit´e (non-lin´eaire) de la solution locale dans la zone d’int´erˆet :

hL(uL) = λL (4.1)

– l’admissibilit´e (lin´eaire) de la solution globale dans la zone compl´ementaire : S^G_Cu^G= b^G_C + λ^G_C (4.2) – la continuit´e des d´eplacements d’interface :

u^G= u^L (4.3)

– l’´equilibre des efforts d’interface :

λ^G_C + λ^L= 0 (4.4)

Rappelons ´egalement que cette formulation est ´equivalente au probl`eme de r´ef´erence condens´e, qui s’´ecrit de la fa¸con suivante : trouver uR tel que

h^L(u^R) + S^G_Cu^R= b^G_C (4.5) Pour lever toute ambigu¨ıt´e, pr´ecisons que comme dans le chapitre pr´ec´edent, toutes les quantit´es de ce chapitre sont des quantit´es d’interface, mais que l’indice Γ est omis afin d’all´eger les notations.

1.2.2 Le raccord mixte

Le raccord mixte consiste `a r´esoudre le probl`eme local (c’est-`a-dire `a trouver (uL, λ^L) v´erifiant (4.1)), non pas sous l’une des deux conditions aux limites (4.3) ou (4.4) — mais, comme nous l’avons expliqu´e pr´ec´edemment, sous une combinaison lin´eaire des deux (condition de Robin) prenant la forme suivante :

A u^L− u^G
+ λ^G_C+ λ^L
= 0 (4.6) o`u la matrice carr´ee A, dont les termes ont la dimension d’une raideur, est un param`etre de la m´ethode.

Physiquement, cette condition revient `a n’imposer ni la continuit´e des d´eplace-ments, ni l’´equilibre des efforts (il s’agit donc bien d’une condition mixte), mais `a

Objectifs 117

imposer que le d´es´equilibre des efforts soit une certaine fonction lin´eaire du saut de d´eplacement. A repr´esente donc une rigidit´e d’interface, qui va permettre de simuler l’influence de la zone compl´ementaire de mani`ere plus r´ealiste que les conditions (4.3) ou (4.4) seules. En pratique, A est g´en´eralement sym´etrique et positive (mais pas forc´ement inversible).

En exprimant λL `a l’aide de (4.6) et en le rempla¸cant dans (4.1), on reformule alors le probl`eme local de la mani`ere suivante : trouver uL tels que

hL(uL) + AuL = AuG− λG

C (4.7)

Le raccord mixte se traduit donc, comme nous l’avons vu au Chapitre 2, par une rigidit´e d’interface ajout´ee A et un second membre d’interface ajout´e AuG− λG

C.

1.3 Cas d’optimalit´e

L’´equation ci-dessus montre qu’il existe un choix optimal ´evident pour A : il s’agit de SG

C, le compl´ement de Schur de la zone compl´ementaire. En effet, (4.7) se r´e´ecrit alors :

hL(uL) + SG

CuL = SG

CuG− λG

C

De plus, au d´ebut de l’analyse locale, la solution globale v´erifie toujours l’admissibi-lit´e dans la zone compl´ementaire (4.2). Cela permet de remplacer SG

CuG− λG

C dans

la relation ci-dessus, et il vient donc :

h^L(u^L) + S^G_Cu^L= b^G_C

ce qui n’est rien d’autre que l’´equation du probl`eme de r´ef´erence condens´e (4.5). On a donc montr´e qu’en choisissant A = SG

C, la solution du probl`eme local mixte est toujours ´egale `a la solution de r´ef´erence, quelle que soit la valeur de la solution globale (uG, λG

C) pilotant l’analyse locale — du moment que cette solution globale v´erifie (4.2), ce qui est toujours vrai dans le cadre de notre m´ethode.

Ce r´esultat, bien connu dans le cadre des m´ethodes de d´ecomposition de domaine, est d’une importance fondamentale pour notre probl`eme. Il signifie en effet que, si l’on savait calculer SG

C exactement, on disposerait d’une technique de r´eanalyse locale :

– exacte (la solution locale v´erifie l’´equation exacte du probl`eme de r´ef´erence), – directe (ceci est vrai au bout d’une seule analyse locale, et aucune correction

globale n’est n´ecessaire1),

– et insensible `a la position de la fronti`ere, contrairement au raccord en d´epla-cement.

Malheureusement, dans les faits, le calcul de SG

C est g´en´eralement inabordable sur de grands probl`emes 3D. Pour cette raison, nous n’utiliserons en pratique que

1. Sauf si l’on souhaite connaˆıtre ´egalement la solution exacte dans la zone compl´ementaire, auquel cas une relocalisation lin´eaire classique doit ˆetre effectu´ee.

des approximations du compl´ement de Schur ; ces approximations ne poss`edent pas les propri´et´es ci-dessus (en particulier, elles ne donnent pas une solution exacte d`es la premi`ere it´eration), mais nous verrons qu’il est possible de construire des approximations peu coˆuteuses `a calculer, tout en ´etant suffisamment riches pour permettre une convergence rapide. Ceci fait l’objet de la section suivante.