Approches it´ eratives

Dans le cas fr´equent o`u une approche descendante ne saurait suffire mais o`u une technique exacte s’av`ere trop coˆuteuse, le choix d’une m´ethode it´erative peut s’av´erer ˆetre un bon compromis. De tr`es nombreuses strat´egies de calcul utilisent un couplage it´eratif entre diff´erentes parties d’une structure, ou diff´erents niveaux de repr´esentation de la solution ; c’est par exemple le cas des m´ethodes de d´ecomposition de domaine ou des m´ethodes multigrilles, ´evoqu´ees dans la troisi`eme partie de cette ´etude. Ici, nous nous pla¸cons dans le cadre d’une analyse globale/locale par ´el´ements finis, telle que nous l’avons d´efinie pr´ec´edemment ; une it´eration globale/locale est alors constitu´ee :

1. d’une analyse locale, effectu´ee `a l’aide d’une condition aux limites issue du probl`eme global, repr´esentant l’effet du reste de la structure sur la zone faisant l’objet du zoom ;

2. d’une correction globale, effectu´ee `a l’aide d’un chargement correctif issu du probl`eme local, repr´esentant l’influence des d´etails locaux sur toute la struc-ture.

La premi`ere ´etape est tout `a fait similaire `a une analyse descendante classique, et fait intervenir le mˆeme type de raccords ; en particulier, le raccord en d´eplacement est le plus utilis´e. En revanche, la seconde ´etape peut ˆetre r´ealis´ee de diverses mani`eres. Nous pr´esentons ici deux exemples, bas´es sur un raccord en d´eplacement et dont la mise en œuvre est peu intrusive ; bien qu’ils ne soient pas disponibles en standard dans les logiciels du commerce, leur impl´ementation `a l’aide d’outils standard de transfert de champs est relativement ais´ee.

1.3.1 Enrichissement cin´ematique du probl`eme global

Un premier type de m´ethodes it´eratives s’adresse exclusivement aux probl`emes de raffinement de maillage, et vise `a enrichir le mod`ele global `a l’aide de la cin´ematique apport´ee par le maillage local raffin´e. Ce choix est `a la base de l’approche RGL (Refined Global/Local ) introduite par Mao et Sun [Mao et Sun, 1991].

Pour ce faire, l’id´ee est de rechercher, lors de la correction globale, un champ de d´eplacement uGR (pour ≪global raffin´e≫) prenant la forme suivante :

u^GR(x) = ^X i ˆ u^G_i N^G_i (x) | {z } Terme EF classique + v^L(x) (1.13)

o`u les ˆuG

i sont les inconnues nodales d’un probl`eme ´el´ements finis global classique et o`u vL(x) est un terme d’enrichissement connu, obtenu en soustrayant au champ de d´eplacement local sa restriction sur le maillage global (vL s’annule donc en chaque nœud global, voir Figure 1.4). Sous l’hypoth`ese d’un comportement ´elastique lin´eaire, les auteurs montrent alors que la solution du probl`eme global raffin´e prend la forme

ˆ

u^G = u^G+ K^G−1g (1.14)

o`u le second membre additionnel g correspond `a une pr´e-d´eformation induite par vL(x), localis´ee dans la zone d’int´erˆet et calcul´ee par int´egration num´erique. Souli-gnons que cette approche permet, `a l’instar des techniques de r´eanalyse structurale, de r´eutiliser la factorisation de KG.

"

Figure 1.4: Terme d’enrichissement de la m´ethode RGL, sch´ematis´e en 1D

La m´ethode peut alors ˆetre poursuivie de mani`ere it´erative si n´ecessaire. Les exemples pr´esent´es par les auteurs sont acad´emiques (raffinement 1D et 2D en ´elasticit´e lin´eaire) et aboutissent `a une solution quasi-exacte en une ou deux it´erations. Il est possible de montrer que sous des hypoth`eses assez restrictives (maillages com-patibles et non chevauchants), la solution raffin´ee uGR converge vers la solution du probl`eme ´el´ements finis de r´ef´erence, toujours d´efini par substitution ; la partie glo-bale devient alors la ≪moyenne≫ (c’est-`a-dire la projection sur le maillage global) de la solution locale.

Cette approche semble donc assez performante pour des applications de raffine-ment local non-intrusif, en ´elasticit´e lin´eaire ; cependant, elle ne permet pas d’intro-duire de modifications locales allant au-del`a du simple raffinement, et semble tr`es mal adapt´ee aux non-lin´earit´es locales, la formulation coupl´ee de (1.13) ne permettant pas de s´eparer les ph´enom`enes non-lin´eaires locaux de l’´equilibre lin´eaire global du reste de la structure. L’´ecriture mˆeme d’une relation de comportement non-lin´eaire peut d’ailleurs s’av´erer d´elicate dans ce cadre. De plus, la restriction employ´ee est susceptible d’introduire des erreurs lorsque les maillages sont mal positionn´es.

Approches ≪ing´enieur≫ et travaux d´eriv´es 19

1.3.2 Equilibre global des deux mod`eles

Lorsque le zoom est utilis´e pour introduire des modifications g´eom´etriques ou constitutives et non plus seulement pour raffiner le maillage, les techniques d’en-richissement par superposition comme celle ci-dessus peuvent s’av´erer inop´erantes. La m´ethode IGL (pour Iterative Global-Local ), introduite dans [Whitcomb, 1991], offre une alternative int´eressante permettant de traiter de telles applications, dans le cas o`u les maillages sont compatibles. Elle se base ´egalement sur un raccord en d´eplacement et part du constat qu’`a l’issue de l’analyse locale, le champ de d´eplacement est bien continu `a la travers´ee de l’interface entre les deux mod`eles, mais les interefforts ne sont pas en ´equilibre. L’id´ee consiste donc `a mesurer ce d´efaut d’´equilibre et `a tenter de l’annuler `a l’aide d’une it´eration de Newton mo-difi´ee permettant de conserver la rigidit´e initiale. Pour cela :

1. On construit le r´esidu d’´equilibre des deux mod`eles, d´efini comme la diff´erence des deux membres de l’´equation d’´equilibre EF globale :

r^G= f^G− Z

Ω

Tr^σ^GLǫ N^G
dΩ (1.15) o`u σGL est le champ de contraintes ≪recoll´e≫ (solution locale dans la zone d’int´erˆet, solution globale en dehors) qui est donc discontinu `a la travers´ee de la fronti`ere. Ce r´esidu est un chargement global identique `a celui d’une m´ethode de Newton classique et s’obtient de la mˆeme mani`ere.

2. Si la norme du r´esidu d´epasse une certaine tol´erance, on corrige la solution globale en effectuant une it´eration de Newton modifi´ee :

u^G← u^G+ K^G−1r^G (1.16) L`a encore, la factorisation de KG est r´eutilis´ee.

Cette proc´edure est directement inspir´ee des m´ethodes de Newton modifi´ees que l’on utilise classiquement en ´elastoplasticit´e, et l’auteur en d´eduit par analogie quelques propri´et´es de convergence de la m´ethode, v´erifi´ees sur des exemples vari´es. Ainsi, la m´ethode est suppos´ee converger lors de la plupart des applications courantes (ajout d’un trou, raffinement du maillage, prise en compte de la plasticit´e...) qui conduisent `a assouplir le mod`ele global. En revanche, lorsque les corrections sont raidissantes, la m´ethode ´echoue fr´equemment ; ce probl`eme est ´evit´e grˆace `a l’emploi de techniques de relaxation, c’est-`a-dire en n’utilisant qu’une fraction α du terme correctif :

u^G ← u^G+ αK^G−1r^G (1.17) avec α < 1. De mˆeme, lors d’un assouplissement tr`es marqu´e, la convergence peut ˆetre lente ; il est alors possible d’utiliser la relation ci-dessus avec α > 1. Il est cependant difficile de pr´evoir quelle valeur du param`etre de relaxation donnera des r´esultats optimaux dans une configuration donn´ee.

L’approche est valid´ee sur des mod`eles 2D et 3D lin´eaires [Whitcomb, 1991; Whitcomb et Woo, 1993a] et non-lin´eaires g´eom´etriquement [Whitcomb et Woo, 1993b], de tailles modestes mais pr´esentant des modifications locales parfois tr`es prononc´ees afin de tester la robustesse de la m´ethode ; la convergence est toujours obtenue, mˆeme si elle s’av`ere relativement lente sur les cas les plus extrˆemes. Hormis ceux-ci, une solution tout `a fait raisonnable est g´en´eralement obtenue en quelques it´erations (moins d’une dizaine). En outre, l’auteur ´evalue la pertinence de la norme du r´esidu rG comme indicateur d’erreur ; il montre que cette quantit´e permet de mesurer la convergence des it´erations de mani`ere fiable, mais pas d’estimer une erreur locale sur une quantit´e d’int´erˆet quelconque.