3 Strat´ egies de calcul ` a haute performance
3.2 M´ ethodes multigrilles
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# $% "$% $ %## !" !!Figure 1.11: Principe d’une it´eration de la m´ethode LaTIn.
Cette m´ethode est particuli`erement bien adapt´ee `a la r´esolution de probl`emes contenant des non-lin´earit´es locales du mat´eriau. Elle a ainsi ´et´e appliqu´ee aux probl`emes d’´elasto-plasticit´e [Boisse et al., 1989] et de visco-plasticit´e [Cognard, 1989], de dynamique [Royer, 1990; Ladev`eze, 1996] ou pour l’analyse du d´elaminage [Allix, 1987]. Elle a ´egalement ´et´e mise en œuvre pour les grandes transformations [Bussy et al., 1990] et le flambage [Boucard et Ladev`eze, 1997] grˆace `a une formu-lation corotationnelle permettant une s´eparation pertinente des ´equations lin´eaires et non-lin´eaires. En outre, elle apporte une r´eponse int´eressante (et compl´emen-taire aux techniques de r´eanalyse structurelle) `a la probl´ematique des ´etudes pa-ram´etriques, la m´ethode pouvant ˆetre initialis´ee par la solution d’un calcul pr´ec´edent, et les fonctions de l’espace pouvant ˆetre r´eutilis´ees [Boucard et Ladev`eze, 1999; Boucard, 2001]. Enfin, elle a ´egalement ´et´e mise en œuvre dans le cadre d’une m´ethode de d´ecomposition de domaine, comme nous le verrons dans la suite du chapitre.
3.2 M´ethodes multigrilles
Les m´ethodes multigrilles [Fedorenko, 1964] sont des algorithmes de r´esolution de probl`emes de grande taille utilisant toute une hi´erarchie de discr´etisations. Elles s’appuient sur les m´ethodes it´eratives de r´esolution de syst`emes lin´eaires (telles que le
gradient conjugu´e, Jacobi, Gauss-Seidel, SSOR... [Saad, 2000]) et partent du principe que ces m´ethodes sont surtout efficaces pour r´eduire les composantes fortement oscillantes de l’erreur, les composantes plus lisses ne d´ecroissant que lentement.
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Figure 1.12: Principe des m´ethodes multigrilles : hi´erarchie de grilles (`a gauche) et cycles en V et en W (`a droite).
Or, le caract`ere oscillant d’une solution est naturellement relatif `a la taille de la grille consid´er´ee. Le principe de base d’une r´esolution multigrille est donc d’uti-liser quelques it´erations d’une technique de base afin de lisser le r´esidu sur la grille la plus fine, puis de le transf´erer sur des grilles plus grossi`eres afin de r´eduire ses composantes moins oscillantes par la mˆeme technique ; le r´esultat est alors de nou-veau transf´er´e sur la grille fine. Les op´erateurs de transfert employ´es correspondent souvent `a des interpolations lin´eaires et la d´emarche est mise en œuvre de mani`ere r´ecursive au sein de cycles dits≪en V≫ ou≪en W≫ (voir Fig.1.12). En appelant Knmax,Knmax−1, . . . ,K0 les matrices de rigidit´e obtenues sur chacune des grilles (la grille la plus fine ´etant num´erot´ee nmax et la plus grossi`ere 0), un cycle en V pour la r´esolution du probl`eme Knun = fn, avec 1 ≤ n ≤ nmax, comprend les cinq ´etapes suivantes :
1. Effectuer p it´erations de lissage sur la solution courante un : un← (Ln)pun
en notant formellement Ln l’op´erateur de lissage associ´e `a la technique choisie (qui d´epend ´evidemment de Kn et fn).
2. Restreindre le r´esidu ≪liss´e≫ sur la grille grossi`ere la plus proche : rn−1 ← Rn→n−1(fn− Knun)
o`u Rn→n−1 d´esigne l’op´erateur de restriction de la grille n `a la grille n − 1. 3. Si n > 1, appliquer r´ecursivement les ´etapes 1 `a 5 pour obtenir une
solution approch´ee en−1 du probl`eme r´esiduel :
Kn−1en−1 = rn−1 (1.43) Si n = 1, r´esoudre exactement le probl`eme r´esiduel, qui est pos´e sur la grille la plus grossi`ere, par une technique directe ou it´erative (c’est en principe tr`es peu coˆuteux !).
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4. Prolonger la correction obtenue sur la grille de d´epart et corriger la solution un :
un← un+ Pn−1→nen−1
o`u Pn−1→n d´esigne l’op´erateur de prolongation de la grille n − 1 `a la grille n ; souvent, Pn−1→n= RT
n→n−1.
5. Effectuer q it´erations de lissage suppl´ementaires afin de corriger les per-turbations induites par l’op´eration de prolongement.
Une propri´et´e essentielle de ces m´ethodes est que pour des syst`emes sym´etriques d´efinis positifs de taille N , le coˆut global de la r´esolution est quasiment en O(N ), ce qui en fait des m´ethodes optimales [Yserentant, 1986]. Les m´ethodes multi-grilles sont ainsi des techniques de choix pour les tr`es grands probl`emes. Elles n´ecessitent cependant de construire une hi´erarchie compl`ete de grilles, c’est-`a-dire de pouvoir d´eraffiner le maillage initial jusqu’`a un niveau auquel le coˆut d’une r´esolution exacte est n´egligeable — ce qui n’est pas toujours possible sur certaines g´eom´etries complexes. En pratique, deux approches sont possibles pour r´epondre `a cette probl´ematique :
– Les m´ethodes multigrilles alg´ebriques remplacent la construction de grilles grossi`eres par une restriction des espaces vectoriels de recherche de la solution, bas´ee sur l’examen de la matrice de rigidit´e ; elles traitent ainsi des maillages non structur´es sans difficult´e, du moins dans le cas de structures massives. Malheureusement, cette d´emarche donne rarement satisfaction dans le cadre de structures minces ou munies de d´etails complexes, car elle n’aboutit alors pas `a des espaces grossiers satisfaisants.
– L’autre possibilit´e est de mettre en œuvre les outils des m´ethodes multigrilles, mais sans construire une hi´erarchie de grilles compl`ete : seuls deux ou trois niveaux d’analyse sont consid´er´es. Il est ainsi possible de traiter des g´eom´etries beaucoup plus complexes, ce qui se paye naturellement par la perte de l’opti-malit´e de la m´ethode.
Dans ce qui suit, nous pr´esentons bri`evement deux champs d’application des m´ethodes multigrilles en rapport avec notre probl´ematique.
3.2.1 Applications `a des probl`emes non-lin´eaires
Les m´ethodes multigrilles peuvent ˆetre appliqu´ees `a des probl`emes non-lin´eaires, selon deux approches tr`es diff´erentes.
La premi`ere, d´enomm´ee Newton-Multigrid, consiste `a r´esoudre sur plusieurs grilles les ´equations lin´earis´ees issues de la m´ethode de Newton ; il s’agit donc d’un traitement global de la non-lin´earit´e. Cette approche est notamment utilis´ee par Fish dans le cadre de structures ´elasto-plastiques analys´ees sur deux, voire trois ´echelles [Fish et Shek, 2000]. Chaque r´esolution lin´eaire est men´ee selon l’algorithme ci-dessus, mais avec quelques adaptations des diff´erents op´erateurs ; ainsi, la restriction Rn→n−1 et la prolongation Pn−1→nne font pas intervenir des interpolations lin´eaires
classiques, mais correspondent `a des techniques d’homog´en´eisation asymptotique. De mˆeme, les matrices de rigidit´e des ´echelles sup´erieures sont construites `a l’aide d’un comportement homog´en´eis´e. Cette approche s’av`ere fructueuse : le traitement des r´esidus ≪peu oscillants≫ effectu´ee par le probl`eme global permet pr´ecis´ement de raccorder les diff´erentes ´echelles que les techniques d’homog´en´eisation supposent s´epar´ees, et la m´ethode permet donc une r´esolution beaucoup plus rapide qu’en utili-sant un solveur direct. Cependant, lorsque la non-lin´earit´e est fortement localis´ee, la convergence de l’ensemble du processus est p´enalis´ee par des ph´enom`enes purement locaux.
Une seconde approche consiste `a traiter directement le probl`eme non-lin´eaire `a l’aide d’un algorithme multigrilles ; ainsi, chaque op´eration de lissage ou de r´esolution globale est en fait une proc´edure non-lin´eaire. Quasiment toutes les d´eclinaisons de ce principe font appel `a une variante de l’algorithme multigrilles classique d´enomm´ee FAS, pour Full Approximation Scheme [Brandt, 1977], qui consiste essentiellement `a remplacer le probl`eme r´esiduel grossier (1.43) par :
Kn−1 un−1+ en−1− Kn−1 un−1 = rn−1 (1.44) o`u Kn−1 est maintenant un op´erateur non-lin´eaire et un−1 = Rn→n−1un est ob-tenu en restreignant la solution courante sur la grille sup´erieure. Cette technique consiste donc `a transf´erer la solution compl`ete d’une grille `a l’autre, d’o`u son nom ; cela peut s’av´erer assez coˆuteux en termes de stockage, mais permet cependant de traiter la non-lin´earit´e `a tous les niveaux, et s’av`ere en particulier tr`es efficace en pr´esence de fortes non-lin´earit´es. Dans [Fish et al., 1995], l’approche FAS est combin´ee `a la m´ethode quasi-Newton BFGS pour analyser de grandes structures 3D ´elasto-plastiques, et compar´ee `a de nombreuses autres techniques ; l’ensemble s’av`ere d’une efficacit´e remarquable, bien que l’´etude se limite `a des g´eom´etries relativement simples.
3.2.2 Applications `a des probl`emes de zoom
Une autre famille de travaux a cherch´e `a adapter les techniques multigrilles `a des probl`emes de zoom, pour lesquels la connaissance d’une solution fine n’est n´ecessaire que dans une petite zone d’int´erˆet. La grille la plus fine n’est ainsi d´efinie que sur une partie du domaine, et le probl`eme est r´esolu sur la grille composite form´ee de l’assemblage des deux grilles.
Cette m´ethodologie a initialement ´et´e propos´ee par Brandt [Brandt, 1977] et a donn´e lieu `a plusieurs variantes [Hackbusch, 1984; McCormick et Thomas, 1986]. Elle a ´et´e d´eclin´ee `a diff´erents probl`emes de m´ecanique des structures par Fish et al. : dans [Fish et Belsky, 1994], elle est appliqu´ee `a des mod`eles de composites p´eriodiques, o`u seule une partie de la structure est mod´elis´ee `a l’´echelle du mat´eriau. Comme pr´ec´edemment, des techniques d’homog´en´eisation sont employ´ees pour passer d’un niveau `a l’autre. Dans [Fish et al., 1996], la m´ethode est combin´ee `a une technique de collage de mod`eles par interface hybride (voir Section 1.4), et les auteurs pr´esentent
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plusieurs adaptations permettant de r´esoudre le syst`eme non d´efini positif r´esultant de la formulation employ´ee. Dans [Fish et al., 1997], l’approche est appliqu´ee `a un mod`ele de coque localement raffin´e par un mod`ele 3D ; cependant, dans ce dernier cas, l’´ecart important entre les op´erateurs de rigidit´e des deux mod`eles d´egrade fortement les temps de calcul. Enfin, dans un cadre plus g´en´eral (plus de deux grilles sont utilis´ees) et en association avec la m´ethode X-FEM, les techniques multigrilles ont ´egalement ´et´e utilis´ees avec succ`es pour traiter des probl`emes de fissuration [Gravouil et Combescure, 2003; Rannou et al., 2007].