Nous terminons ce chapitre en ´evoquant bri`evement les similitudes et diff´erences entre l’approche ´etudi´ee ici et quelques-unes des techniques ´evoqu´ees au Chapitre 1, afin de lever toute ambigu¨ıt´e.
Comparaison avec les approches ≪ing´enieur≫ et les travaux d´eriv´es La strat´egie ´etudi´ee ici constitue une extension naturelle des approches descen-dantes (submodeling) utilis´ees en bureau d’´etudes. L’´etape locale de la strat´egie est tout `a fait similaire `a ces approches, tant au niveau de son rˆole (remplacer lo-calement le mod`ele global par un mod`ele am´elior´e) que de la technique employ´ee (une r´eanalyse locale avec condition aux limites issue de la solution globale, en d´eplacement [Kelley, 1982] ou en effort avec raideur ajout´ee [Jara-Almonte et Knight, 1988]).
Le principal apport provient de l’´etape de correction globale, qui permet de rendre compte des ´eventuels effets globaux des modifications introduites dans le mod`ele local. En ce sens, la m´ethode est `a rapprocher des techniques globales/locales it´eratives de la litt´erature, et tout particuli`erement des travaux de Whitcomb ; la technique pr´esent´ee dans [Whitcomb, 1991] est tr`es proche du plus simple des algorithmes pr´esent´es ici (approche en d´eplacement, sans acc´el´eration), avec une d´efinition l´eg`erement diff´erente du r´esidu. Comme nous le verrons dans les chapitres suivants, il s’agit n´eanmoins d’une technique assez lente, et l’emploi de techniques d’acc´el´eration et/ou d’une condition aux limites mixte permet d’am´eliorer grande-ment les performances. De plus, le cadre th´eorique de la technique de Whitcomb n’´etait pas pr´ecis´e, et les aspects non-intrusifs de son impl´ementation n’´etaient pas mis en ´evidence ; c’est maintenant chose faite.
Comparaison avec les m´ethodes multi-niveaux
La strat´egie pr´esente quelques points communs avec les m´ethodes multi-niveaux, et particuli`erement celles bas´ees sur une homog´en´eisation discr`ete des quantit´es ´el´ements finis locales [Ibrahimbegovi´c et Markoviˇc, 2003; Markoviˇc et Ibrahimbe-govi´c, 2004; Kouznetsova et al., 2004]. Le plus important d’entre eux est le traite-ment local de la non-lin´earit´e : un calcul non-lin´eaire local est effectu´e `a partir d’une
solution globale, et permet de mettre `a jour celle-ci — ainsi que la rigidit´e globale, comme nous le verrons dans le chapitre consacr´e aux techniques d’acc´el´eration. Le mod`ele local constitue ainsi un ≪super-´el´ement≫ non-lin´eaire qui est inclus dans le mod`ele global. De plus, comme pour les techniques d’homog´en´eisation discr`ete, aucune hypoth`ese de s´eparation des ´echelles n’est requise.
Il faut cependant noter deux diff´erences essentielles. La premi`ere concerne la technique de mise en œuvre, qui est ici tr`es diff´erente compte tenu du caract`ere non-intrusif de la m´ethode : l’insertion du≪super-´el´ement≫ dans le mod`ele global s’ef-fectue ainsi au moyen d’une technique de couplage it´erative. La seconde concerne le rapport d’´echelles entre les mod`eles. Dans les m´ethodes multi-niveaux, un mod`ele lo-cal est associ´e `a chaque ´el´ement ou point d’int´egration global ; les deux maillages sont donc de finesses tr`es diff´erentes, d’o`u l’emploi d’une proc´edure d’homog´en´eisation. Inversement, la strat´egie pr´esent´ee ici remplace toute une partie du mod`ele global et requiert deux discr´etisations compatibles sur l’interface — et donc, a fortiori, de finesses identiques. Ainsi, il ne s’agit pas `a proprement parler d’une strat´egie multi-´echelles, bien que le mod`ele local puisse ˆetre fortement raffin´e `a l’int´erieur. Comparaison avec les m´ethodes de ≪patch ≫
L’approche peut ´egalement ˆetre compar´ee aux techniques bas´ees sur l’utilisation de ≪patchs≫ recouvrant une partie du mod`ele global, telles que la m´ethode hp-d utilis´ee en ´elasto-plasticit´e [D¨uster et al., 1999] ou la m´ethode Arlequin utilis´ee pour r´ealiser une substitution [Ben Dhia, 1998]. Les deux techniques permettent en ef-fet de remplacer une partie d’un mod`ele global par un ≪patch≫ local de mani`ere exacte, y compris en pr´esence de non-lin´earit´es locales. Elles utilisent pour cela une technique de couplage op´erant automatiquement la substitution des deux mod`ele ; dans notre cas, cette technique fonctionne de mani`ere it´erative (comme dans l’ap-proche hp-d ) et ne demande aucun remaillage (comme dans la m´ethode Arlequin). Dans cette derni`ere comme dans notre approche, la substitution repose en outre sur une partition de l’´energie m´ecanique entre les deux mod`eles (assur´ee dans un cas par les fonctions de pond´eration, dans l’autre cas par l’expression ≪par morceaux≫ de la solution).
La formulation de ces principes est toutefois diff´erente. Les deux approches ci-dessus sont bas´ees sur une superposition des solutions dans un certain volume ex-cluant la non-lin´earit´e, et apportent toutes deux des modifications `a la matrice de rigidit´e du mod`ele global (`a cause des fonctions de pond´eration pour la m´ethode Arlequin, et de la n´ecessit´e de bloquer les mouvements globaux dans la zone de recouvrement pour la m´ethode hp − d). A l’inverse, la technique pr´esent´ee dans ce m´emoire est bas´ee sur un raccord surfacique, et pr´eserve compl`etement la matrice de rigidit´e globale.
D’autres diff´erences plus sp´ecifiques existent. Par rapport `a la m´ethode hp − d, l’approche pr´esent´ee ici ne n´ecessite pas une d´efinition hi´erarchique des deux mod`eles, et s’av`ere donc plus simple `a mettre en œuvre ; en particulier, elle ne de-mande pas de connaˆıtre a priori la position des zones plastiques. Par rapport `a
Comparaison avec quelques approches existantes 83
la m´ethode Arlequin, elle ne conduit pas `a un probl`eme coupl´e ≪monolithique≫, et permet intrins`equement une r´esolution non-intrusive — mˆeme si certains tra-vaux r´ecents, associant la m´ethode Arlequin (ou une variante proche) avec une r´esolution it´erative par d´ecomposition de domaine, semblent aller dans ce sens [El-khodja et al., 2007; Rey et al., 2007]. La m´ethode Arlequin pr´esente toutefois l’avan-tage de fonctionner avec deux discr´etisations compl`etement diff´erentes y compris sur le bord, ce qui n’est pas (encore) le cas de la m´ethode pr´esent´ee ici ; celle-ci requiert deux maillages compatibles sur l’interface et ne permet donc pas une d´efinition compl`etement ind´ependante des deux mod`eles.
Comparaison avec la m´ethode LaTIn
La m´ethode pr´esent´ee ici comporte des similitudes, tant au niveau des id´ees que du formalisme, avec la m´ethode LaTIn dans sa version≪mono-´echelle≫, c’est-`a-dire le solveur non-lin´eaire pr´esent´e dans [Ladev`eze, 1985]. Elle reprend en effet deux des trois points-cl´es de la m´ethode :
– la ≪s´eparation des difficult´es ≫, c’est-`a-dire la s´eparation des ´equations du probl`eme en deux groupes d’admissibilit´e, l’un≪lin´eaire≫et l’autre≪local≫; – la recherche it´erative de la solution en passant d’un groupe d’´equations `a
l’autre au moyen de ≪directions de recherche≫.
La mise en œuvre de ces id´ees est cependant tr`es diff´erente dans les deux cas. Ici, la≪s´eparation des difficult´es≫s’effectue entre les ´equations portant sur la zone d’int´erˆet et celles portant sur la zone compl´ementaire ; il s’agit donc d’une s´eparation par sous-domaines, et les ≪ directions de recherche≫ permettant de passer d’un groupe `a l’autre sont en pratique des op´erateurs de rigidit´e ´el´ements finis classiques. Inversement, la m´ethode LaTIn effectue la s´eparation selon la nature des ´equations (on distingue typiquement les relations de comportement, qui sont souvent locales, des autres ´equations) et passe d’un groupe `a l’autre au moyen d’op´erateurs qui sont souvent scalaires. Cela conduit `a une mise en œuvre extrˆemement diff´erente. De plus, comme nous l’avons montr´e dans la Section 3.3.3, l’´etape de correction globale de notre m´ethode ne s’effectue pas en suivant une direction de recherche. Enfin, la technique d’´echanges est pour l’instant incluse au sein d’un sch´ema incr´emental : aucun traitement global en temps comparable `a l’approximation radiale ou `a la PGD (Proper Generalized Decomposition) n’est actuellement mis en œuvre. Ce point fait cependant partie des extensions envisag´ees.
Comparaison avec les m´ethodes de d´ecomposition de domaine
Enfin, la strat´egie emprunte de nombreux principes aux m´ethodes de d´ecom-position de domaine — et plus particuli`erement aux m´ethodes sans recouvrement (puisque le raccord des deux solutions s’effectue uniquement sur une interface) mu-nies d’une formulation non-lin´eaire [Cresta et al., 2007; Pebrel et al., 2008]. Comme nous l’avons vu dans la Section 3.3, elle peut en effet ˆetre ´ecrite sous forme d’un probl`eme d’interface non-lin´eaire, et les deux algorithmes de r´esolution ´evoquent respectivement les m´ethodes primales (pour la variante en d´eplacement) et cer-taines approches mixtes. Enfin, nous verrons que la mise en œuvre des techniques
d’acc´el´eration et du raccord mixte emprunte, l`a encore, largement aux m´ethodologies de ces approches.
La diff´erence majeure provient, encore une fois, de l’aspect non-intrusif de la strat´egie pr´esent´ee ici. Cet aspect conduit `a ne repr´esenter qu’un seul sous-domaine de mani`ere explicite (la zone d’int´erˆet), en traitant tout le reste de la structure au sein du mod`ele global ; le probl`eme global perd ainsi son caract`ere ≪grossier≫ et ne sert plus `a assurer l’extensibilit´e de la m´ethode — qui ici, avec seulement deux sous-domaines, n’a plus lieu d’ˆetre — mais repr´esente en r´ealit´e le comportement de la quasi-totalit´e de la structure. Ce faisant, les deux sous-domaines jouent des rˆoles tr`es dissym´etriques, pouvant ´evoquer certaines techniques de type Dirichlet-Neumann [Hauret et Le Tallec, 2007; Krause et Wohlmuth, 2002], `a ceci pr`es que les calculs globaux correctifs ne font jamais intervenir de condition aux limites sur Γ puisque celle-ci est une surface int´erieure ; sur ce point pr´ecis, la technique est plutˆot comparable aux approches avec recouvrement.
Dans ce chapitre, nous avons pr´esent´e les principales id´ees et plusieurs formu-lations de l’approche, et nous avons notamment justifi´e son caract`ere exact. Nous nous int´eressons maintenant `a ses performances ; pour ce faire, nous commen¸cons par ´etudier la variante≪en d´eplacement≫.
Chapitre 3
Raccord en d´eplacement et
techniques d’acc´el´eration
Ce chapitre s’int´eresse tout particuli`erement `a la variante en d´eplacement de la strat´egie, introduite au Chapitre 2.
La n´ecessit´e d’acc´el´erer la convergence est mise en ´evidence sur un exemple, puis deux techniques d’acc´el´eration non-intrusives sont propos´ees et leurs
possibilit´es respectives sont ´etudi´ees.
Sommaire
1 Mise en ´evidence . . . 87 1.1 Un exemple 2D simple . . . 87 1.2 Etude de la convergence . . . .´ 88 1.3 Etude des r´esidus successifs . . . .´ 91 1.4 Principe de l’acc´el´eration de convergence . . . 92 2 Acc´el´eration quasi-Newton . . . 93 2.1 Principes d’utilisation . . . 94 2.2 Solution retenue . . . 99 3 Acc´el´eration par condensation du probl`eme tangent . . . . 102 3.1 La m´ethode de Newton sur le probl`eme d’interface . . . 103 3.2 Illustration . . . 106
Mise en ´evidence 87
Dans le chapitre pr´ec´edent, nous avons pr´esent´e le principe de la strat´egie glo-bale/locale non-intrusive, d´etaill´e sa formulation au niveau continu et au niveau discret, et montr´e qu’il s’agit d’une m´ethode exacte dans le sens suivant : si la so-lution obtenue converge, alors elle tend forc´ement vers la soso-lution du probl`eme de r´ef´erence que l’on obtiendrait en substituant le mod`ele local au sein du mod`ele global.
Ici, nous nous int´eressons plus sp´ecifiquement aux performances de l’approche, et en particulier de sa variante dite ≪ en d´eplacement≫— le cas de la variante
≪mixte≫ sera trait´e au chapitre suivant. Nous montrons qu’en l’absence d’acc´e-l´eration de convergence, l’algorithme pr´esent´e au chapitre pr´ec´edent conduit `a des performances moyennes ; nous proposons ensuite deux techniques non-intrusives per-mettant d’accroˆıtre notablement l’efficacit´e des ´echanges entre les mod`eles.