Etude de la convergence ´

Nous appliquons maintenant l’algorithme ≪en d´eplacement≫ `a ce cas-test, en initialisant les ´echanges avec la solution du probl`eme global ´elastique lin´eaire. Les calculs sur les deux mod`eles sont r´ealis´es `a l’aide du solveur g´en´eraliste Abaqus/Stan-dard, et la strat´egie est impl´ement´ee `a l’aide des outils pr´esent´es au Chapitre 5.

Afin d’estimer la convergence de la m´ethode, nous observons l’´evolution de deux quantit´es particuli`eres.

1.2.1 Erreur (globale) en d´eplacement d’interface

La premi`ere quantit´e ´etudi´ee est l’erreur globale en d´eplacement d’interface par rapport `a la solution de r´ef´erence, d´efinie par :

ηu = ^||u G Γ − uR Γ|| ||uR Γ|| o`u uG

Γ est le champ de d´eplacement global d’interface d´efini au chapitre pr´ec´edent (section 3.1), et uR

Γ est sa valeur de r´ef´erence ; uG

Γ ´etant utilis´e pour piloter les ´echanges, cette quantit´e donne une mesure globale simple et pertinente de la conver-gence.

Mise en ´evidence 89 1 2 3 4 0 5 6 7 8 9 21 2!:5 2!:0 2!:4 2!:3 2!:2 2!'1 D>$".>A,=*E ! "" $ C "? *" $ &. >A F $ ?

Figure 3.2: Convergence des d´eplacements d’interface, sans acc´el´eration. Son ´evolution au fil des it´erations est repr´esent´ee sur la Figure 3.2 ; par conven-tion, la toute premi`ere analyse locale, correspondant `a une approche purement des-cendante, est compt´ee comme ≪it´eration z´ero≫. L’erreur (axe des ordonn´ees) est repr´esent´ee `a l’aide d’une ´echelle logarithmique. On remarque que :

– la convergence est assez lente : une valeur de 0,1%, ce qui peut sembler ˆetre un seuil de convergence raisonnable, n’est atteinte qu’au bout de 6 it´erations ; – la convergence est `a peu pr`es lin´eaire, c’est-`a-dire qu’`a chaque it´eration,

l’er-reur est divis´ee par une constante.

Or, sur des cas-tests suffisamment gros, le coˆut de la m´ethode est essentiellement domin´e par celui des calculs globaux. De plus, une correction globale est effectu´ee `a chaque it´eration, et nous verrons au Chapitre 5 que sous Abaqus, il n’est pas possible de conserver la factorisation de la matrice de rigidit´e globale, ce qui signifie que les corrections globales sont aussi coˆuteuses que la premi`ere analyse globale. Tout ceci fait que le coˆut de la m´ethode est `a peu pr`es proportionnel au nombre d’it´erations ; l’optimisation des performances passe donc par la r´eduction de celui-ci.

Notons que le taux de convergence, c’est-`a-dire ici le rapport entre deux erreurs successives, est voisin de 0,5.

1.2.2 Erreur (locale) en d´eformation plastique cumul´ee maximale L’erreur en d´eplacement d’interface offre une bonne mesure globale de la conver-gence, mais ne pr´esente que peu d’int´erˆet du point de vue du dimensionnement. Nous consid´erons donc ´egalement l’erreur en d´eformation plastique cumul´ee maxi-male d´efinie par :

ηp = ^p L max− pR max pR max

o`u pmaxd´esigne le maximum sur tous les points d’int´egration de la d´eformation plas-tique cumul´ee. Comme nous le verrons au Chapitre 6, cette quantit´e pr´esente deux avantages : elle est pertinente par rapport au dimensionnement (sur les probl`emes

d’aubes rencontr´es par Snecma, dont ce cas-test est librement inspir´e, elle est uti-lis´ee pour estimer la dur´ee de vie) et elle est extrˆemement sensible `a la condition aux limites pilotant le mod`ele local. Celle-ci ´etant naturellement impr´ecise tant que la strat´egie n’a pas converg´e, l’indicateur ci-dessus offre une autre mesure fiable, beaucoup plus locale, de la convergence.

1 2 3 4 0 5 6 7 8 9 21 2!:5 2!:0 2!:4 2!:3 2!:2 2!'1 #;%&.<$-$=>? #;@,"-.>A,=?*%&.?: >ABC$? D>$".>A,=*E ! "" $ C "? *" $ &. >A F $ ?

Figure 3.3: Convergence des d´eformations plastiques cumul´ees, sans acc´el´eration. Dans les faits, cet indicateur est n´egatif : la d´eformation plastique est sous-estim´ee lors d’une approche descendante. L’´evolution de sa valeur absolue au fil des it´erations est repr´esent´ee sur la Figure 3.3, avec les mˆemes conventions que pr´ec´edemment. On constate que la valeur initiale est plus du double de celle de l’erreur en d´eplacement (33% contre 13%), que la convergence reste `a peu pr`es lin´eaire et que les niveaux d’erreurs sont similaires : l`a encore, un seuil de 0,1% est atteint en six it´erations.

1.2.3 Interpr´etation en termes de Newton modifi´e

La convergence lin´eaire obtenue s’explique simplement par le fait que l’algorithme

≪en d´eplacement≫, tel qu’il a ´et´e pr´esent´e au chapitre pr´ec´edent, correspond `a une m´ethode de Newton modifi´ee, formul´ee sur l’´equilibre de l’interface.

Pour le montrer, rappelons l’´ecriture de cet algorithme, sous sa forme condens´ee et en l’absence d’acc´el´eration ; on utilise pour cela la formulation d’interface in-troduite au chapitre pr´ec´edent (Section 3.3). Dans tout ce qui suit, sauf mention contraire, toutes les quantit´es ´el´ements finis sont des quantit´es d’interface, mais l’indice Γ est omis afin d’all´eger les ´ecritures.

1. Analyse locale. On calcule λL = hL(uG). 2. Calcul du r´esidu. On forme r = − λL+ λG

C
(o`u λG C = SG CuG − bG C en

pratique) et on teste la convergence.

3. Correction globale. Si n´ecessaire, on r´esout le probl`eme global correctif SG∆uG = r et on met le d´eplacement global `a jour : uG← uG+ ∆uG.

Mise en ´evidence 91

En examinant cet algorithme, on constate qu’il s’agit d’une m´ethode de Newton modifi´ee portant sur l’´equilibre de l’interface (ie. l’´equation λL+ λG

C = 0), vu comme une fonction non-lin´eaire des d´eplacements d’interface (ie. f (uG) = 0). Les deux premi`eres ´etapes correspondent `a l’´evaluation de la fonction au point uG courant, la derni`ere correspond `a la r´esolution du syst`eme lin´eaire correctif et `a l’incr´ementation. La matrice de ce syst`eme correctif est SG, c’est-`a-dire le compl´ement de Schur de la matrice de rigidit´e globale ´elastique lin´eaire ; elle n’est jamais mise `a jour.

Or, il est bien connu que la m´ethode de Newton modifi´ee pr´esente g´en´eralement une convergence lin´eaire, et s’av`ere souvent lente en pr´esence de non-lin´earit´es moyennes ou fortes, mˆeme lorsque celles-ci sont tr`es localis´ees. Ici, la non-lin´earit´e provient de la plasticit´e locale ; elle est globalement faible, mais entraˆıne un as-souplissement tr`es prononc´e au niveau des points d’int´egration affect´es. De plus, l’ajout des trous et le raffinement du maillages contribuent `a assouplir encore da-vantage le mod`ele local. Il est donc logique qu’un algorithme de type ≪Newton modifi´e≫ converge lentement.