Les solutions successives

Afin d’illustrer le comportement de la m´ethode, nous pr´esentons l’allure des solutions successives obtenues avec chacune des deux variantes. La solution globale initiale, servant `a initialiser les ´echanges, est repr´esent´ee sur la Figure 6.2 ; la carte repr´esente la valeur de la contrainte de Von Mises divis´ee par la limite ´elastique.

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Figure 6.2: Solution ´elastique initiale pour l’exemple 2D.

1.1.1 Avec le raccord en d´eplacement

Nous consid´erons ici la variante en d´eplacement non acc´el´er´ee. La Figure 6.3 repr´esente l’´evolution de la contrainte de Von Mises locale au cours des trois premi`eres it´erations (l’≪it´eration z´ero≫ correspond `a la premi`ere analyse locale, ´equivalente `a un zoom descendant classique) ainsi qu’`a la dixi`eme it´eration, pour laquelle la convergence est largement atteinte (rappelons que si la solution converge, alors elle converge forc´ement vers la solution de r´ef´erence, comme expliqu´e au Chapitre 2). La contrainte de Von Mises ´etant divis´ee par la limite ´elastique, une valeur sup´erieure `a 1 (en noir sur les cartes) indique la pr´esence de plasticit´e.

On constate sur la Figure 6.3 que le zoom descendant ne fausse que l´eg`erement la valeur des contraintes ; entre la solution initiale et la solution converg´ee, l’erreur sur la contrainte de Von Mises maximale n’est que d’environ 4 %. En revanche,

(a) It´eration 0 (zoom descendant) (b) It´eration 1

(c) It´eration 2 (d) It´eration 10 (convergence)

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Figure 6.3: Contraintes de Von Mises locales sur l’exemple 2D.

on observe une expansion assez nette de la zone plastique au fil des it´erations, et l’´etendue de cette derni`ere semble largement sous-estim´ee. Ceci s’explique par le fait qu’une fois la limite ´elastique franchie, les contraintes ´evoluent relativement peu au cours de l’´ecrouissage, tandis que les d´eformations plastiques peuvent devenir relativement importantes : ainsi, le zoom descendant introduit davantage d’erreurs sur les d´eformations plastiques (et la localisation des zones plastiques) que sur la valeur des contraintes.

L’examen des d´eformations plastiques ´equivalentes confirme cette observation. La Figure 6.4 repr´esente leur ´evolution aux mˆemes instants que pour les contraintes ; une valeur non nulle, repr´esent´ee sur les cartes par toutes les autres couleurs que le blanc, indique la pr´esence de plasticit´e. On constate bien que le zoom descendant

Un exemple 2D simple 165

(a) It´eration 0 (zoom descendant) (b) It´eration 1

(c) It´eration 2 p 0.4% 0.8% 0 2% 1.2% 1.6% >2%

(e) It´eration 10 (convergence)

Figure 6.4: D´eformations plastiques ´equivalentes sur l’exemple 2D.

sous-estime largement la taille de la zone plastique ; par ailleurs, la valeur maximale des d´eformations plastiques est sous-´evalu´ee de plus de 30 %, ce qui montre la sensibilit´e de cette grandeur par rapport aux conditions aux limites locales (et justifie son emploi comme indicateur d’erreur dans les Chapitres 3 et 4). On voit en outre que le comportement de la m´ethode non acc´el´er´ee est relativement monotone : la zone plastique s’´etend au fil des it´erations, jusqu’`a la convergence des ´echanges.

Enfin, la Figure 6.5 montre de mˆeme l’´evolution des termes correctifs globaux, c’est-`a-dire les solutions des probl`emes globaux charg´es par les r´esidus successifs. La carte repr´esente l`a encore la contrainte de Von Mises et l’´echelle est 10 fois plus petite que celle des Figures 6.2 et 6.3, aussi bien pour les contraintes que pour le facteur d’amplification de la d´eform´ee. On observe que ces solutions

correc-(a) It´eration 1 (b) It´eration 2

(c) It´eration 3 (d) It´eration 4

Figure 6.5: Termes correctifs globaux sur l’exemple 2D.

tives, bien que maximales au voisinage de l’interface (en termes de contraintes et de d´eformations), n’y sont pas exclusivement localis´ees, et ont une influence sur une portion non n´egligeable de la zone compl´ementaire1; cela illustre le ph´enom`ene des redistributions de contraintes et de d´eformations, non pris en compte par le zoom descendant.

1. Rappelons que la solution globale dans la zone d’int´erˆet n’est pas conserv´ee, et n’a aucun sens physique en raison de la discontinuit´e des contraintes globales qu’introduit la m´ethode sur l’interface.

Un exemple 2D simple 167

1.1.2 Avec le raccord mixte

Nous examinons maintenant la variante mixte de la m´ethode. La rigidit´e mixte est prise ´egale `a l’approximation≪multi-´echelles≫ du compl´ement de Schur d´ecrite au Chapitre 4 ; la contribution ≪ courte distance≫ est le compl´ement de Schur exact d’une bande de 4 ´el´ements d’´epaisseur, tandis que la contribution ≪longue distance≫ provient de la r´eponse de la zone compl´ementaire `a des d´eplacements impos´es affines.

Comme nous l’avons vu au Chapitre 4, cette approximation a pour fonction de simuler la rigidit´e de la zone compl´ementaire de la fa¸con la plus r´ealiste possible, `a faible coˆut. Les r´esultats de la premi`ere it´eration doivent donc se rapprocher le plus possible de la solution de r´ef´erence. Afin d’illustrer cette id´ee, nous avons trac´e sur les Figures 6.6 et 6.7 les solutions locales obtenues `a la premi`ere it´eration avec le raccord en d´eplacement et le raccord mixte, ainsi que la solution de r´ef´erence ; comme pr´ec´edemment, la Figure 6.6 repr´esente la contrainte de Von Mises et la Figure 6.7 repr´esente la d´eformation plastique ´equivalente.

(a) En d´eplacement (b) Mixte (c) R´ef´erence

Figure 6.6: Comparaison des deux raccords pour les contraintes.

On v´erifie que le raccord mixte est plus performant que le raccord en d´eplacement : l’´etendue de la zone plastique, bien qu’encore sous-estim´ee, est nettement plus proche de la solution de r´ef´erence, et l’erreur en d´eformation plastique maximale passe de 30 % `a 5 %. Naturellement, comme nous l’avons soulign´e au Chapitre 4, ce r´esultat est encore trop ´elev´e pour qu’une approche purement descendante soit suffisante ; toutefois, le caract`ere plus r´ealiste de ce type de raccord permet une convergence rapide.