Approximations ≪ courte distance ≫

2.1.1 Quelques approximations classiques

Approximer un compl´ement de Schur d’un sous-domaine en se basant sur le voi-sinage de l’interface est une m´ethodologie relativement r´epandue dans les m´ethodes de d´ecomposition de domaine, notamment dans le but de construire des pr´econdi-tionneurs. Une des approches les plus courantes [Magoul`es et al., 2002; Magoul`es et al., 2006] consiste `a approcher le compl´ement de Schur par celui d’une bande d’´el´ements d’´epaisseur donn´ee, adjacente `a l’interface ; `a l’endroit o`u la bande a ´et´e

≪d´ecoup´ee≫, les nœuds sont encastr´es.

D’autres approximations classiques constituent une forme simplifi´ee de celle-ci. Ainsi, l’approximation lumped consiste `a ne conserver que le bloc de la matrice de

Approximations du compl´ement de Schur 119

rigidit´e relatif aux termes d’interface ; le compl´ement de Schur ´etant d´efini par une expression du type SΓ= KΓΓ− KΓiK⁻¹_ii KiΓ, cette approximation consiste `a n´egliger le second terme. Physiquement, cela revient `a encastrer tous les nœuds ne se trouvant pas sur l’interface ; dans le cas d’´el´ements lin´eaires, cette approximation est donc ´equivalente `a la pr´ec´edente lorsque l’on consid`ere une couche dont l’´epaisseur est d’un seul ´el´ement2. Cette approximation est cependant plus simple `a mettre en œuvre car le bloc peut ˆetre directement extrait de la matrice de rigidit´e : aucun remaillage ou r´eassemblage n’est n´ecessaire.

Enfin, un cas extrˆeme est celui de l’approximation super-lumped, obtenue en prenant la diagonale du bloc pr´ec´edent ; il s’agit d’une approximation physiquement peu r´ealiste du compl´ement de Schur (l’effort de r´eaction en un nœud ne d´epend que du d´eplacement de ce nœud), mais d’usage tr`es peu coˆuteux.

2.1.2 Illustration

Ces trois techniques sont illustr´ees sur le cas-test 2D introduit au chapitre pr´e-c´edent. Les maillages sont reproduits sur la Figure 4.1. Pour l’approximation par bandes, on consid`ere des couches respectives de 1, 2 et 4 ´el´ements d’´epaisseur, adja-centes `a l’interface et situ´ees dans la zone compl´ementaire. La bande de 4 ´el´ements est ´egalement d´elimit´ee sur la Figure 4.1. Le chargement et les conditions aux limites sont les mˆemes que pr´ec´edemment.

(a) Global (b) Local (c) Bande de 4 ´el´ements

Figure 4.1: Le cas-test 2D.

Comme nous l’avons vu dans la section pr´ec´edente, un raccord employant la valeur exacte du compl´ement de Schur SG

C permet th´eoriquement d’obtenir une so-lution locale exacte, quelle que soit l’erreur sur la soso-lution globale. Afin d’´evaluer les

2. Dans le cas d’´el´ements quadratiques, l’approximation lumped est ´equivalente `a une couche d’un ´el´ement d’´epaisseur sur laquelle on aurait, de plus, encastr´e les nœuds milieu ne se trouvant

Approximation ηu Exact 0 Bande 4 ´el´ements 0,122 Bande 2 ´el´ements 0,133 Bande 1 ´el´ement 0,140 Lumped 0,147 Super-lumped 0,148 Raccord en d´eplacement 0,153

Table 4.1: Erreur en d´eplacement d’interface pour quelques approximations

≪courte distance≫de SG C

diff´erentes approximations, nous calculons donc l’erreur relative sur le d´eplacement local d’interface, d´efinie par :

ηu = ^||u L Γ − uR Γ|| ||uR Γ||

Les r´esultats sont regroup´es dans le Tableau 4.1. On constate que ces approxima-tions ne suffisent globalement pas `a donner une bonne repr´esentation de l’influence de la zone compl´ementaire, puisque la meilleure d’entre elles (bas´ee sur la bande de 4 ´el´ements) diminue l’erreur en d´eplacement d’environ 20% seulement par rapport au raccord en d´eplacement, alors que le maillage correspondant recouvre la majeure partie de la structure comme le montre la Figure 4.1. Quant aux approximations pu-rement alg´ebriques (lumped et super-lumped ), elles ne permettent de r´eduire l’erreur que de 3 `a 4%. L’am´elioration de la solution, en termes de d´eplacements d’interface, semble donc assez limit´ee.

Cependant, ces approximations `a ≪ courte distance≫ sont connues pour ˆetre plus raides que le v´eritable compl´ement de Schur, et ce d’autant plus que la couche d’´el´ements employ´ee est de faible ´epaisseur. Il est donc normal que le d´eplacement lo-cal soit relativement proche du d´eplacement global. Afin de comparer ces techniques selon un autre point de vue et de ne pas introduire de biais, nous consid´erons, comme au chapitre pr´ec´edent, un second indicateur portant sur la d´eformation plastique ´equivalente maximale : ηp = ^p L max− pR max pR max

Les r´esultats obtenus `a la premi`ere analyse locale, `a l’aide des diff´erentes approxima-tions ci-dessus, sont pr´esent´es dans le Tableau 4.2 ; la valeur obtenue avec le raccord en d´eplacement est ´egalement mentionn´ee pour comparaison. L`a encore, on constate que l’approximation≪courte distance≫est loin d’offrir une pr´ecision acceptable d`es la premi`ere it´eration, puisque les d´eformations plastiques sont sous-estim´ees de 20 `a 30 % ; elle semble certes plus r´ealiste que le raccord en d´eplacement, mais le gain reste limit´e, et devient tr`es faible dans le cas des approches purement alg´ebriques.

Approximations du compl´ement de Schur 121 Approximation ηp Exact 0 Bande 4 ´el´ements -0,177 Bande 2 ´el´ements -0,211 Bande 1 ´el´ement -0,247 Lumped -0,274 Super-lumped -0,282 Raccord en d´eplacement -0,313

Table 4.2: Erreur en d´eformation plastique pour quelques approximations≪courte distance≫ de SG

C

Au final, ce type de raccord s’av`ere l´eg`erement plus performant que le raccord en d´eplacement, mais ne suffit clairement pas `a obtenir des r´esultats exploitables d`es la premi`ere it´eration.

 Remarque

Dans toute cette section, nous ´evaluons les diff´erentes approximations du compl´e-ment de Schur sur une it´eration seulecompl´e-ment, c’est-`a-dire `a l’aide d’un mode op´eratoire purement descendant — alors que notre technique est it´erative. Il y a deux raisons `a ce choix.

Tout d’abord, alors que l’id´ee essentielle de l’approche en d´eplacement ´etait de recoupler un≪zoom descendant≫classique `a l’aide d’une correction globale, la phi-losophie de l’approche mixte est de construire une condition aux limites simulant au mieux l’effet d’une condensation de la zone compl´ementaire, tout en ´etant beaucoup moins coˆuteuse. En d’autres termes, il s’agit d’obtenir la meilleure solution locale possible ≪du premier coup≫, d`es la premi`ere analyse locale ; la correction globale permet ensuite de r´eduire les erreurs induites par l’approximation du compl´ement de Schur, mais ces derni`eres doivent ˆetre faibles, faute de quoi l’approche n’est pas plus int´eressante qu’un raccord en d´eplacement classique (le calcul de l’approximation du compl´ement de Schur a en effet un coˆut non n´egligeable !).

Ensuite, nous montrerons dans la section suivante que la correction globale peut ˆetre formul´ee de sorte `a combiner les b´en´efices du raccord mixte avec ceux qu’apporte une technique d’acc´el´eration de convergence. Par cons´equent, pour optimiser les performances de l’approche, une d´emarche judicieuse consiste `a choisir d’une part une condition aux limites pertinente (c’est l’objet de cette section) et d’autre part une technique d’acc´el´eration efficace (c’est l’objet du chapitre pr´ec´edent).