Pour chacune des intersections possibles, nous proposons de définir la configuration de vie et de mouvement qui établit le cas où l’intersection topologique n’est pas nulle. Par ailleurs, une représentation d’un exemple de configuration est également proposée.
• R A B
(
0 0)
- intérieur A / intérieur BL’intersection est ¬∅ si la relation spatio-temporelle identitairepApBe est strictement incluse dans la configuration de vie et de mouvement. Dans le cas où cette relation commence ou termine une configuration de vie et de mouvement, alors l’intersection est vide.
(
0 0)
, (2,..., 1)
LMCA B− pApBe LCM n R A B
∀ ∃ ⊂ − → = ¬∅ (6.3)
La Figure VII-4 représente 4 exemples de configurations de vie et de mouvement dont la généralisation conduit à une intersection « intérieur-intérieur » entre les objets A et B.
L’identité à travers l’espace et le temps Chapitre VII.
Généralisation de LMC
{pApBd,pApBe,pApBe} {pApBd,pApBe,pApBd} {pApBd,pApBe,tApB} {pApBd,pApBe,pAtB}
Figure VII-4 Exemple de 4 configurations de vie et de mouvement dont la généralisation conduit à une intersection intérieur/intérieur entre les objets A et B.
Notons que l’état égalitaire peut être instantané dans une transition respectant un critère topologique. Ceci pourrait sembler être antagoniste vis-à-vis de la définition que nous avons réalisée des états spatio-temporels identitaires en précisant que seul l’état de transition pouvait être instantané. Dans la représentation des configurations de vie et de mouvement que nous avons réalisée, nous considérons un modèle de relation topologique entre deux points. Ce modèle affine l’état spatio-temporel identitaire pApB qui, lui, dure obligatoirement pendant un intervalle de temps. Dans cet intervalle, il est possible d’avoir un état égalitaire instantané selon la théorie de la dominance. L’état de disjonction est quant à lui toujours valable durant un intervalle de temps.
• R A B
(
0∂)
- intérieur A / frontière BCette relation topologique correspond aux cas où l’objet B termine ou débute sa présence au même endroit spatial et temporel que l’objet A. De ce fait, il est nécessaire de rechercher dans la configuration de vie et de mouvement une succession entre un état de transition et un état d’égalité. L’état de transition doit correspondre à la frontière de l’objet B et la relation d’égalité directement successive ou directement précédente montre que l’objet apparaît à la même position spatiale que l’objet A. De plus, la relation doit se produire durant la phase de présence de l’objet A et donc ne peut être prise comme une frontière de sa
L’identité à travers l’espace et le temps Chapitre VII.
Généralisation de LMC
présence. C’est la raison pour laquelle nous excluons les temporalités 1 et n de la configuration de vie et de mouvement.
(
0)
, , :
( , ) (2,..., 1)
( , ) ( , )
LMCA B pApBe pAtB hold pApBe i LCM n hold pAtB t LMC lim t i
R AB
∀ − ∃ ∃
⊂ − ∧
⊂ ∧
→ ∂ = ¬∅
(6.4)
La Figure VII-5 représente quelques exemples de configurations de vie et de mouvement répondant à ce critère. La représentation montre également la valeur de la matrice d’intersection topologique sur laquelle nous nous focalisons.
B A
{pApBe,tApB,pApBd} {∄ApB,tApB,pApBe} {npApB,tApB,pApBe}
Figure VII-5 Représentation de trois configurations de vie et de mouvement généralisées en la relation topologique d’intersection entre l’intérieur de l’objet A et la frontière de l’objet B. La représentation indique également la case du symbole du motif de relation topologique correspondant.
• R A B
(
0 −)
- intérieur A / extérieur BL’identité à travers l’espace et le temps Chapitre VII.
Généralisation de LMC
L’intersection entre l’intérieur de A et l’extérieur de B aura lieu dès lors que les objets seront disjoints ou que l’objet A aura une présence précédant ou suivant l’objet B. La recherche de la succession dans la configuration de vie et de mouvement peut être définie comme :
( ) ( ) ( ) ( )
( )
, : LMCA B
pA npB B pApBd
R AB
−
−
∀
∀ ∃ ∨ ∃ ∨ ∃
→ ∂ = ¬∅
(6.5)
La représentation de ces intersections est proposée à la Figure VII-6. On y voit trois cas de configurations de vie et de mouvement pour lesquels l’objet B est soit non présent, soit non existant ou bien que les deux objets sont disjoints d’un point de vue topologique.
B A
B -A°
{tApB,pApBd,pApBe}
{pApBe,pAtB,pAtB} {pApBd,pApBe,pApBe}
Figure VII-6 Représentation de trois possibilités d’intersections entre l’intérieur de l’objet A et l’extérieur de l’objet B d’un point de vue des configurations de vie et de mouvement. On y voit que, dès que l’objet B présente une relation spatio-temporelle identitaire de non-présence, de non-existence ou de disjonction avec l’objet A, alors l’intérieur de l’objet A est en relation avec l’extérieur de l’objet B.
• R
(
∂AB0)
- frontière A / intérieur BL’identité à travers l’espace et le temps Chapitre VII.
Généralisation de LMC
Cette condition se formalise sensiblement comme le corollaire de la proposition
(
0)
R A B∂ . Il est alors nécessaire de rechercher la succession de configuration où il existe un état de transition pour l’objet B directement précédant ou suivant un état d’égalité entre les deux objets. La formalisation est la suivante :
(
0)
, , :
( , ) (2,..., 1)
( , ) ( , )
LMCA B pApBe tApB hold pApBe i LCM n hold tApB t LMC lim t i
R A B
∀ − ∃ ∃
⊂ − ∧
⊂ ∧
→ ∂ = ¬∅
(6.6)
La Figure VII-7 donne un exemple de configurations de vie et de mouvement qui sont généralisées de la sorte.
{pApBe,tApB,pApBd} {pApBe,tApB,∄ApB} {pApBe,tApB,npApB}
A B
Figure VII-7 Visualisation de la généralisation de configurations de vie et de mouvement vers la relation topologique entre la frontière de l’objet A et l’intérieur de l’objet B. La relation est obtenue du fait de la succession directe d’un état d’égalité avec un état de transition (représentant la frontière des objets).
•
R ( ∂ ∂ A B )
- frontière A / frontière BL’identité à travers l’espace et le temps Chapitre VII.
Généralisation de LMC
La relation entre les deux frontières d’objets représente la situation où les objets sont en phase d’apparition ou de disparition simultanée. Afin d’obtenir une configuration de la sorte, il est nécessaire que les deux objets passent par une phase de transition commune après une phase d’égalité. Lors de la description non complète de configurations de vie et de mouvement, c'est-à-dire lorsque le début et la fin des configurations de vie et de mouvement ne passent pas par une phase de transition commune, cette relation peut être exprimée simplement comme une relation d’égalité en début ou en fin de configuration de vie et de mouvement. La formalisation de cette relation topologique correspond à :
( )
Dans le cas d’une formalisation complète on obtient alors la formalisation suivante :
[ ]
Hold at tAtB Hold pApBe i lim iHold at tAtB n Hold pApBe j lim n j
Cette condition exprime bien le fait qu’il doit y avoir un double état de transition avant une phase d’égalité des deux objets. Ces notions de formalisations complètes viennent de l’entrée dans le graphe de voisinage conceptuel des relations spatio-temporelles identitaires.
Une formalisation non-complète est issue d’une entrée par n’importe quelle relation du graphe, tandis qu’une formalisation complète débutera toujours par le double état de transition. Cette notion de formalisation complète est plus envisageable dans le cas d’un graphe de voisinage autorisant un changement simultané de deux systèmes (voir Chapitre V.4.B). Notons que nous devons restreindre la relation de présence commune à la relation d’égalité topologique afin de ne pas considérer le cas où deux objets deviennent présents simultanément à des positions spatiales différentes. La Figure VII-8 représente en haut la généralisation sur base d’une représentation non complète et en bas la généralisation sur base de configuration de vie et de mouvement complète.