Wolter et Zakharyshev combinent le modèle du RCC-8 avec la logique temporelle propositionnelle (PTL) (Wolter and Zakharyaschev 2000; Wolter and Zakharyaschev 2001). Bien que les auteurs admettent qu’une combinaison avec le modèle temporel des relations d’Allen est conceptuellement plus proche du RCC-8 par l’approche d’intervalle de temps et de région comme primitive temporelle et spatiale, ils montrent par quelques exemples bien choisis que cette combinaison a tout son sens. La temporalisation s’effectue en considérant plusieurs opérateurs temporels Since (depuis) :S , Until (jusqu'à) : , The next moment (vrai à l’instant suivant) O, Always in the future (Toujours vrai dans le futur) : +, some time in the future (Vrai à un instant dans le futur) :
+. L’exemple suivant montre une série de prédicats combinant les deux algèbres. Les auteurs proposent plusieurs degrés de sophistication de leur formalisme. Le langageST
0est cependant suffisant pour permettre la représentation de la continuité spatiale du changement.∅Le premier prédicat de cet exemple exprime qu’ « il sera toujours vrai dans le futur que », si la relation actuelle est DC entre les objets X et Y, alors qu’à l’instant suivant les seules relations possibles sont DC ou EC. Il en est de même pour la seconde proposition qui exprime que, si la relation actuelle est EC, alors les seules relations suivantes possibles sont DC, EC ou PO. Ces prédicats sont en quelque sorte une axiomatisation des diagrammes conceptuels de voisinages (Freksa 1991) qui représentent de manière graphique les différentes transitions qu’il est possible d’avoir entre relations spatiales afin de respecter un critère de continuité.
ii. Spatio-temporal contraint calculus – SCC
Faisant suite à une première tentative de temporalisation du modèle RCC-8 proposée par Bennet (Bennett, Cohn et al. 2002), la première combinaison du RCC-8 et du modèle des intervalles temporels de Allen a été proposée par Gerevini et Nebel (Gerevini and Nebel 2002).
Plus qu’une simple adaptation des formalismes, les auteurs ont effectué une analyse de la complexité de raisonnement de la combinaison des modèles et ont mis en évidence que les contraintes associées à ces deux modèles possédaient une solution NP-complète15. Sur base
15 Dans la théorie de la complexité, un problème NP-Complet est un problème dont la complexité peut être ramenée à un temps de calcul polynomial. Cela signifie que la complexité de ce modèle n’entraine pas une
L’identité à travers l’espace et le temps Chapitre II.
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d’ensemble de contraintes à satisfaire d’un point de vue spatial et d’un point de vue temporel, les auteurs proposent une combinaison des deux modèles comme suit :
{ }
Cette formulation signifie que, durant l’intervalle de temps I, les régions X et Y sont soit non connectées soit extérieurement connectées. Il s’agit là d’une représentation d’une contrainte spatiale sur les deux objets. Durant le même intervalle de temps I, l’objet est une partie propre de l’objet Z. De même, durant l’intervalle de temps J, les configurations spatiales sont différentes. L’objet X recouvre partiellement l’objet Y, et l’objet Y n’est plus connecté à l’objet Z. En formulant à présent une contrainte temporelle sur les deux intervalles, une inférence spatio-temporelle pourra être effectuée. Considérant que les intervalles I et J partagent une relation de rencontre :
I m J
(2.40)Ce jeu de contraintes forme ce que les auteurs appellent le STCC (« Spatio-Temporal Constraint Calculus »). Cependant, l’analyse de ce problème révèle une certaine incohérence.
En effet, pour autant que l’on considère une transition continue, il n’est pas possible de passer directement d’un état de partie propre à un état de connexion sans passer préalablement par un état de recouvrement
(
Y PO Z{ } )
et un état de connexion extérieure(
Y EC Z{ } )
. Ceciimplique qu’il doit exister des intervalles de temps entre les intervalles I et J. Ces contraintes de transition continue et de passages par différents états seront plus expliquées par la suite lorsque nous aborderons les notions de graphe de voisinage et de théorie de dominance. Bien que ce modèle soit uniquement basé sur une axiomatisation temporelle en intervalles, il sera possible de montrer que la relation de connexion extérieure peut être instantanée et située à la rencontre des deux intervalles de temps I et J (Galton 2001).
iii. PLTL et l’algèbre des rectangles
Balbiani et Condotta (Balbiani and Condotta 2001; Balbiani and Condotta 2002)proposent de combiner le langage de proposition temporelle avec le modèle de représentation spatiale de l’algèbre des rectangles. L’algèbre des rectangles est une extension du calcul sur les intervalles temporels d’Allen étendus à l’espace. Dans ce formalisme, deux axes orthogonaux sont pris en compte, et les objets modélisés sont des rectangles. Les bases et hauteurs des rectangles sont parallèles aux deux axes. La projection des rectangles est étudiée sur chacun des axes et une relation d’intervalle y est prise en compte. Une paire de relation, i.e. une relation sur chaque axe, qualifie la relation entretenue par deux rectangles.
Comme dans le cas des 13 relations temporelles, l’ensemble des relations définies par l’algèbre des rectangles est un ensemble « Jointly exhaustive and pairwise disjoint » (JEPD), ce qui signifie que deux rectangles ne peuvent partager qu’un seul type de relation.
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Figure II-19 Illustration de la relation
m b ,
(meet, before) selon l’algèbre des rectangles. La relation« meet » est obtenue en effectuant la projection des rectangles x et y sur l’axe horizontal et la relation « before » est obtenue via une projection sur l’axe vertical. L’ensemble
m b ,
qualifie une et une seule relation qualitative possible entre les objets x et y. La représentation est issue de Balbiani (Balbiani and Condotta 2001).
La temporalisation des relations de l’algèbre des rectangles se fait respectant l’axiomatisation suivante :
( )
{
m , n , 1, 1 2, 1 2}
f P O x O y ¬f f ∨ f f f (2.41) Où
P
est une relation de l’algèbre des rectangles,f
1etf
2 sont deux fonctions, met nsont deux entiers positifs et x,y
appartiennent à un ensemble de variables individuelles.D’autres opérateurs de la logique propositionnelle temporelle peuvent être utilisés tels que
,
Ff Gf
symbolisant respectivement que f sera vraie à un instant futur et que f sera toujours vraie aux instants futurs.iv. An integrated representation of spatial and temporal relationships between evolving regions
Claramunt et Jiang proposent un jeu de relations spatio-temporelles sur base de l’étude de régions évoluant dans le temps (Claramunt and Jiang 2001). Elle combine les relations topologiques entre régions avec les relations entre intervalles de temps convexes. Leur modèle s’appuie sur une représentation de la logique des intervalles de Allen en matrice d’intersection. Ils composent une table croisant les instants de départ et de fin des intervalles
L’identité à travers l’espace et le temps Chapitre II.
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en y attribuant une valeur qualitative en fonction de leur position temporelle relative. La règle régissant la matrice est la suivante :
1 ( ) ( )
( , ) 0 ( ) ( )
1 ( ) ( )
si row i col j Val i j si row i col j si row i col j
>
= =
− <
(2.42)
Cette notation leur permet de représenter les relations de Allen de la manière suivante :
Figure II-20 Symbolisation des relations sur les intervalles temporels de Allen représentés de façon matricielle. La règle de composition est l’utilisation d’une valeur qualitative : -1 si i<j, 0 si i=j et 1 si i>j. Le schéma est issu de Claramunt et Jiang (Claramunt and Jiang 2001)
La même représentation simplifiée est également utilisée pour la représentation des 8 relations topologiques du modèle des 9 intersections de Egenhofer et Herring. La règle de composition correspond à :
1 ( ) ( )
( , )
0 ( ) ( )
si row i col j Val i j
si row i col j
∩ = ¬∅
= ∩ = ∅ (2.43)
L’identité à travers l’espace et le temps Chapitre II.
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Figure II-21 Expression des 8 relations topologiques du modèle des 9 intersections sur base de la règle qualitative suivante : 1 si l’intersection entre la ligne de i et la colonne de j est non vide, 0 si l’intersection entre la ligne de i et la colonne de j est vide. Les lignes et colonnes représentent respectivement l’intérieur et la frontière des deux objets en présence.
Le résultat permet de modéliser les 8 relations topologiques via une matrice 4x4 comme représenté à la Figure II-21. Il s’agit en fait d’une sélection des premières et deuxièmes lignes et colonnes de la matrice des 9 intersections. En se basant sur ces nouvelles représentations, les auteurs proposent une symbolisation de leurs relations spatio-temporelles dans un
« espace temporel » à trois dimensions. L’espace temporel est une représentation croisée d’une spatialité avec une temporalité. Nous reviendrons plus en détail par la suite sur ce genre de représentation. Retenons uniquement que ces représentations permettent de visualiser spatialement des histoires spatio-temporelles. Ce genre de représentation ne peut présenter graphiquement que des espaces temporels à deux dimensions spatiales et une dimension temporelle. Le résultat de leur recherche est le suivant :
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Figure II-22 Représentation des relations spatio-temporelles de Claramunt et Jiang dans un espace temporel à trois dimensions. Il s’agit du croisement des relations des intervalles temporels de Allen avec le modèle des 9-intersections de Egenhofer. La figure est issue de (Claramunt and Jiang 2001).
Bien que simple à concevoir, l’intérêt d’un tel modèle est qu’il est fondé sur deux principes admis comme référence en modélisation spatiale et temporelle, la plupart des systèmes actuels gérant ce type de relations. De plus, les auteurs étudient les transitions et semi-transitions entre les différentes relations qu’ils définissent. Ceci amène à la création de diagramme conceptuel de voisinage et une étude de l’évolution de ces relations
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temporelles. L’exemple ci-après schématise les transitions possibles d’obtenir depuis l’état {finishes, touch}. Leur représentation des transitions se fait sur l’étude des relations entre les formes tridimensionnelles dans l’espace-temporel, entre les relations temporelles et les relations spatiales uniquement. Une semi-transition n’aura lieu que dans un seul de ces trois domaines.
Figure II-23 Diagramme conceptuel de voisinage des transitions possibles depuis la relation spatio-temporelle (finishes, touch) selon le modèle de Claramunt et Jiang. Les relations sont d’abord données d’un point de vue temporel puis spatial.
L’étude de ces transitions permet la définition de contraintes afin de vérifier l’intégrité d’un schéma de transition entre relations.