PROPRIETES THERMO-MECANIQUES DES MATERIAU
3.3 PROPRIETES MECANIQUES 1 Modèles uniaxiau
Dans sa thèse d'agrégation, J-C. Dotreppe utilisait un modèle écrit en terme de contraintes sous la forme suivant :
∆σt = ∆σth +∆σcrack +∆σε (3.7)
avec ∆σt incrément de contrainte totale à appliquer,
∆σth incrément de contrainte thermique,
∆σcrack incrément de contrainte dû à la fissuration du béton et
∆σε incrément de contrainte à déformation constante créé par la modification de la loi σ ε− lors de l'échauffement du matériau.
A part ce modèle, les nombreux modèles publiés, tant pour l'acier que pour le béton, sont écrits en terme de déformation sous la forme suivante :
εt =εi +εth +εm (3.8)
avec εt déformation totale, liée aux déplacements par des relations géométriques,
εi déformation initiale,
εth déformation thermique définie comme celle qui se produit lors des variations de températures en-dehors de toute contrainte et
3.3.1.1 Déformation thermique
On n'observe pas de grande différence entre la dilatation thermique de différents types d'acier. La courbe de dilatation montre un ralentissement avec, dans certains cas, une phase passagère de contraction, pour des températures dans la plage de 750 à 850°C. Ce ralentissement est dû au changement de phase cristallographique et l'allure de la courbe à ce moment dépend essentiellement de la teneur en carbone [BR53]. Des essais rapportés par Cooke indiquent que pour des aciers de constructions, des vitesses d'échauffement comprises entre 10 K/min et 50 K/min conduisent à des courbes de déformation thermique très semblables, y compris durant la phase de transformation [CO88a]. La relation que nous avions introduite dans notre thèse de doctorat [FR87] a été retenue dans les Eurocodes. Elle est donnée par l'équation suivante :
εth = −2 416 10. −4 +1 2 10. −5 T+0 4 10. −8T2 T ≤ 750°C
εth =11 10−3 750 < T ≤ 860°C (3.9)
εth = −6 2 10. −3 +2 10−5T 860 < T ≤ 1200°C
La figure 3.6 montre la courbe produite par cette relation avec le plateau à 11 10-3 qui représente le changement de phase durant l'échauffement. Durant le refroidissement, le même type de plateau apparaît également, mais à des températures et à un niveau plus bas. On a modélisé la transformation allotropique par un décalage du plateau depuis le niveau 11 10-3 vers le niveau 9 10-3 comme le montre la figure. Sur le même dessin, on a représenté la courbe utilisée au Japon par Furumura, [FU--] et [MI--]. On voit que la courbe est très proche de celle utilisée en Europe, à part la transformation cristallographique, négligée par Furumura.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 Température [°C] Déformation thermique [10-3] Acier Furumura
Acier Eurocode, échauffement Acier Eurocode, refroidissement Béton, agrégats siliceux
Béton, agrégats calcareux
Il est assez étonnant de constater que dans les mêmes documents, qu'il s'agisse de l'Eurocode 3 [EC-32] ou de l'Eurocode 4 [EC-42], l'effet du changement de phase est introduit aux alentours de 735°C, disons entre 680 et 790°C, pour la chaleur volumique, voir figure 3.1, mais entre 750 et 860°C pour la déformation thermique, voir figure 3.6. Il y a là comme une incohérence qu'il conviendrait de lever. Elle vient probablement du fait que les lois retenues pour les deux phénomènes n'ont pas été puisées à la même source.
Dans le béton, le caractère non linéaire de la déformation thermique est plus prononcé que dans l'acier. L'évolution est principalement gouvernée par la nature de l'agrégat principal. Les expressions choisies dans notre thèse de doctorat ont été retenues dans les Eurocodes si ce n'est que pour le béton d'agrégats siliceux, le plateau a été relevé de 12 à 14 10-3. La figure 3.6 donne également l'allure de ces expressions.
εth = −1 8 10. −4 +9 0 10. −6T+2 3 10. −11T3 ≤ 14 10−3 Agrégats siliceux (3.10a) εth = −1 2 10. −4 +6 0 10. −6T+1 4 10. −11T3 ≤ 12 10−3 Agrégats calcaires (3.10b)
Les expressions reprises par les Eurocodes donnent une déformation thermique nulle pour une température de référence de 20°C. Pour la programmation de ces formules, il est nécessaire de calculer avec plus de précision la valeur exacte à introduire pour le terme indépendant afin d'obtenir exactement ce résultat. Si on programme les relations avec les valeurs des Eurocodes, on obtient à 20°C une petite déformation thermique parasitaire de 1 ou 2 10-6 qui n'affecte en rien les résultats mais qui n'a pas de raison d'être. C'est pourquoi il est préférable de l'éliminer.
La présentation des dilatations des deux matériaux sur la même figure conduit à nuancer quelque peu l'affirmation souvent énoncée selon laquelle les dilatations thermiques de l'acier et du béton seraient très proches. Si on s'en tient aux relations recommandées, à 400°C par exemple, la dilatation de l'acier est de 65 % plus importante que celle d'un béton de calcaire.
Les courbes fournies pour le béton correspondent à celles qu'on observe pour des éprouvettes non chargées, ce qui est la manière habituelle de mesurer la dilatation thermique pour les autres matériaux. On verra par la suite que le comportement réel du béton est plus complexe.
Ces courbes intègrent d'office l'effet du retrait du béton qu'il est très difficile de séparer expérimentalement de la dilatation thermique.
En cours de refroidissement, la dilatation thermique du béton a un caractère irréversible très marqué. On observe une déformation résiduelle à la fin du cycle de chauffage-refroidissement. Grâce au soutien accordé par le Fonds National de la Recherche Scientifique à l'occasion du Prix Ferdinand de Waele du F.N.R.S., nous avons pu réaliser à Liège une série de 6 essais afin de quantifier ce phénomène. Celui-ci joue un rôle dans les
structures soumises à des courbes d'incendie réel comprenant une phase d'extinction au cours de laquelle les températures décroissent. Six éprouvettes cylindriques de béton de calcaire ont été chauffées jusqu'à des températures maximales de 502, 549, 597, 601, 666 et 700°C avant d'être ramenées à température ambiante [FR93a]. Les essais ont été menés suivant la procédure qui était recommandée par le comité 74-THT de la RILEM [RI90], c'est-à-dire des augmentations ou diminutions de températures dans le four par pas de 30°C en 30 minutes suivies à chaque fois d'une période de stabilisation de 120 minutes. Cette procédure entraîne des durées d'essais assez longues et, suite aux travaux du comité TC-129 MHT auxquels nous avons participé, les dernières recommandations de la RILEM proposent un échauffement continu dont la vitesse est limitée par le diamètre des éprouvettes afin d'y maintenir les gradients thermiques à un niveau acceptable [RI97].
La figure 3.7 donne l'allure typique des courbes obtenues, dans ce cas pour une température maximale de 700°C. En plus de l'évolution de la déformation thermique observée durant l'échauffement puis durant le refroidissement, on a porté la courbe recommandée par l'Eurocode 2 pour ce type de béton, éq. 3.10b. Les valeurs observées durant l'essai pendant la phase d'échauffement sont en bon accord avec les recommandations jusqu'à une température d'environ 500°C. Suivant le point de vue où on se place, on peut en conclure : soit que l'essai apporte une nouvelle confirmation de la validité de l'équation proposée par l'Eurocode, soit que la bonne concordance montre la validité du processus expérimental. Le fait que la concordance avec une courbe théorique ait été observé dans les six essais démontre en tout cas la reproductibilité de l'expérience.
0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0 100 200 300 400 500 600 700 Temperature [ °C ] Déformation mesurée Test EC2
Fig. 3.7 : Déformation mesurée lors d'un essai
L'importante augmentation de la dilatation thermique qui est observée entre 500 et 600°C est probablement attribuable à des macro fissures causées par les contraintes thermiques qui existent entre les agrégats et la pâte de ciment. Ces macro fissures étaient en effet clairement visibles sur les éprouvettes après les essais. Dans ces essais, les contraintes
thermiques ne sont pas accompagnées des contraintes mécaniques qui existent normalement toujours dans la réalité. Or, un très faible niveau de compression suffirait à fermer ces fissures d'origine thermique et tendrait à rapprocher les valeurs expérimentales des valeurs théoriques. Dans les nouvelles recommandations de la Rilem [RI97], outre une durée d'essai plus courte, il est aussi prévu d'appliquer une contrainte de compression de 0.01 MPa pour limiter la formation de ces macrofissures. Il faut aussi faire remarquer que chaque essai dure en général plusieurs jours, ce qui laisse plus de temps que lors d'un incendie réel pour que se développent certaines réactions chimiques qui sont aussi source de changement de volume.
Le fait que les dilatations thermiques ne reviennent pas à zéro lorsque le matériau se refroidit est en bon accord avec ce qui a été rapporté par ailleurs, [DI87] [HA87a] et [KO92]. La discussion précédente sur les macro-fisssures pose toutefois la question de savoir si ce sont réellement les déformations thermiques du matériau qui sont irréversibles ou si la déformation rémanente observée lors des essais est uniquement due à ces fissures. L'observation des éprouvettes après essai montre clairement que des fissures ouvertes demeurent et qu'elles ont donc influencé les mesures à partir de leur apparition jusqu'à la fin de la période de refroidissement. Admettons que la déformation mesurée est la somme de deux contributions, chacune attribuable à un des deux phénomènes. On écrit alors l'équation suivante :
εtest =εth +εcrack (3.11)
avec εtest déformation observée,
εth déformation thermique et
εcrack déformation causée par les fissures.
Si on admet que, en phase d'échauffement, la relation proposée par l'Eurocode représente de manière satisfaisante la déformation thermique, alors la déformation causée par les fissures durant l'échauffement est donnée par la relation suivante :
εcrack =εtest −εEC2 (3.12)
où εEC2 est donné par l'équation 3.10b.
Si, comme semblent le montrer les éprouvettes après essai, cette déformation due aux fissures garde en cours de refroidissement sa valeur maximale, à cause de l'absence de toute contrainte axiale dans l'éprouvette lors de l'essai, on peut écrire, en tenant compte de l'équation 3.12 :
εcrack( )T = εcrack(Tmax) =εtest(Tmax)−εEC2(Tmax) (3.13) avec T température de l'éprouvette à un instant donné et
Tmax température maximale ayant existé dans l'éprouvette à cet instant.
Il est alors possible, en combinant les équations 3.11 et 3.13, de calculer la déformation thermique en phase de refroidissement par l'équation suivante :
(
)
εth( )T =εtest( )T − εtest(Tmax)−εEC2(Tmax) (3.14)
L'utilisation de l'équation 3.14 appliquée aux résultats de la figure 3.7 permet de dessiner la figure 3.8. 0.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010 0.012 0.014 0 100 200 300 400 500 600 700 Température [°C]
Déformation thermique calculée
Fig. 3.8 : Déformation thermique calculée pour un essai
On remarque bien sur la figure l'hypothèse utilisée suivant laquelle c'est la courbe de l'Eurocode qui donne la déformation thermique lors de l'échauffement. On a fait subir à la courbe de refroidissement mesurée de la figure 3.7 un glissement vers le bas pour qu'elle corresponde à la courbe théorique en T = Tmax. Sur la figure 3.9, on a reporté les courbes
ainsi calculées à partir des résultats des 6 essais. On remarque que les 6 courbes ont la même allure, mais que la déformation rémanente augmente avec la température maximale atteinte.
Sur base de ces essais et des autres résultats trouvés dans la littérature, on a introduit dans le programme SAFIR les relations suivantes pour la déformation thermique du béton.
εth( )T = εEC2( )T T = Tmax
(3.15)
εth( )T = ε20(Tmax)+εrev(Tmax) ( .0 60 Tr +0 40. Tr2) T < Tmax
où εrev(Tmax)=εEC2(Tmax)−ε20(Tmax) (3.16)
Tr =(T−20) / (Tmax −20) (3.17)
avec εEC2 déformation donnée par l'Eurocode 2, éq. 3.10b,
εrev déformation réversible,
ε20 déformation rémanente à 20°C, voir tableau 3.2, Tmax [°C] ε20 [10-3] 20 0.00 300 - 0.58 400 - 0.29 600 1.71 800 3.29 > 900 5.00
Tableau 3.2 : Déformation rémanente
0.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010 0 100 200 300 400 500 600 700 Température [°C] Déformation thermique Tmax = 700°C Tmax = 666°C Tmax = 601°C Tmax = 597°C Tmax = 549°C Tmax = 502°C Eurocode 2
Fig. 3.9 : Déformation thermique calculée pour 6 essais
Les valeurs du tableau 3.2 proviennent d'essais effectués par Schneider en 79 et repris dans [RI85]. La figure 3.10 est l'expression graphique de l'équation 3.15.
-0.002 0.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010 0.012 0.014 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 Température [°C] Déformation thermique Tmax = 1000 Tmax = 800 Tmax = 600 Tmax = 400 Tmax = 200 EC2
Fig. 3.10 : Proposition pour la déformation thermique
3.3.1.2 Traitement du fluage
La question la plus importante concernant la déformation mécanique est de savoir s'il faut intégrer dans sa formulation une composante qui est explicitement destinée à prendre en compte le comportement visqueux, c'est-à-dire le fluage, où si cette composante peut être intégrée de manière implicite dans la loi contrainte-déformation. Dans ce cas, cette loi est adoucie, décalée vers les plus grandes déformations par rapport à une loi qu'on pourrait mesurer lors d'un essai "rapide". Pour savoir de quelle quantité il faut décaler la loi, on peut procéder à des essais de mise en charge "lente" menés chacun à une température différente. On peut aussi charger l'éprouvette à température ambiante puis l'échauffer progressivement en gardant la charge constante. Cette procédure est plus proche de ce que subit le matériau lors d'un incendie réel, surtout pour les structures en acier.
L'argument le plus percutant en faveur de l'introduction d'un terme explicite de fluage est que ce phénomène existe, qu'il est observé lors de certains essais expérimentaux et que sa prise en compte la plus précise possible ne peut que favoriser la bonne concordance entre les prévisions du calcul et la réalité. C'est là un argument indiscutable. Si le fluage joue un rôle important dans le comportement au feu des structures, pourquoi ne pas en tenir compte ? Et si, dans certains cas, ce phénomène joue un rôle moins déterminant, le modèle explicite reflétera cette réalité et donnera aussi des résultats précis.
Il est, par contre, une manière incorrecte mais très souvent utilisée de montrer la nécessité de prendre en compte le fluage de manière explicite : c'est de comparer les résultats d'un modèle qui comporte un terme explicite de fluage, d'abord en utilisant le modèle complet, puis en utilisant le même modèle duquel on a retiré le terme de fluage. En procédant de la sorte, on peut trouver des cas où des différences sensibles apparaissent. Cependant, cette comparaison ne peut avoir qu'une conclusion : que, dans les exemples envisagés, le
phénomène de fluage joue un rôle important. On n'a en rien montré qu'un modèle prenant le fluage en compte de manière implicite serait incapable de reproduire les essais en question. Pour prendre une comparaison dans le domaine automobile, toute voiture équipée d'un système de direction assistée devient inconduisible si ce système ne fonctionne pas, lorsque le moteur est à l'arrêt par exemple. Cela montre effectivement qu'il est important de pouvoir diriger les roues pour conduire un véhicule. Cela ne montre en rien qu'il soit impossible d'y arriver avec un système de direction manuelle.
Pour soutenir la thèse inverse, en faveur d'une prise en compte implicite du fluage, il est un argument parfois invoqué qui doit aussi être rejeté : celui du surcroît de calcul lié à la prise en compte explicite. Avec les moyens de calcul actuels, ou bien la structure possède un petit nombre de degrés de liberté et le temps de calcul est faible, même s'il faut en consacrer un peu plus au niveau de la loi constitutive en chaque point d'intégration, ou bien la structure possède un très grand nombre de degrés de liberté et ce sont les résolutions successives du système d'équations exprimant l'équilibre global qui consomment la plus grande partie du temps de calcul.
Le premier type de problème parmi ceux qui ont freiné la généralisation des lois constitutives avec terme de viscosité est lié à la modélisation théorique. Non pas que les modèles théoriques manquent. C'est plutôt le problème inverse. De nombreux modèles ont été développés, validés et utilisés par divers auteurs pour le fluage des matériaux en cas d'incendie. Pour l'acier, on peut citer ceux de Dorn [DO54], Harmathy [HA67] et [HA70], Plem [PL75], Anderberg [AN83], Fujimoto et al. [FU81].
Pour le béton, les plus connus sont ceux de Anderberg et Thelanderson [AN76a], Schneider [SC82], Furumura et al. [FU88], Bazant [BA85].
Le fait qu'aucun de ces modèles n'ait vraiment réussi à s'imposer au plan international n'a pas servi la cause de ceux qui pensent absolument nécessaire de tenir compte du fluage de manière explicite.
Cela est probablement dû, pour l'acier, à l'extrême sensibilité du phénomène à la composition chimique et au mode de fabrication du matériau, comme l'avaient remarqué Anderberg [RI83], ou Becker et al. [BE74]. De ce fait, un modèle particulier donne en général des résultats peu satisfaisants lorsqu'on l'utilise pour simuler les essais qui ont servi de base à la mise au point d'un autre modèle. La base du problème tient donc en fait à la nature même du phénomène. Pour des essais de laboratoire, il est toujours théoriquement possible de réaliser des essais de caractérisation du type d'acier particulier utilisé, de manière à calibrer le modèle pour ce matériau. Pour des calculs d'avant-projet, par contre, il n'est guère possible que d'utiliser des caractéristiques "moyennes" des propriétés de l'acier qui, idéalement, devraient avoir été déterminées sur une base expérimentale la plus large possible. Il n'est pas certain que les résultats d'un quelconque modèle de fluage explicite basé sur des caractéristiques moyennes seraient beaucoup plus précis que les résultats du modèle de fluage implicite qui donne un fluage moyen. Pour le béton, les deux modèles qui ont connu le plus grand retentissement sont celui de Anderberg [AN76a] et celui de Schneider [SC82]. Le premier modèle appelle une critique assez fondamentale dans la mesure où, pour Anderberg, le fluage est proportionnel à la déformation thermique εth. Or,
alors que c'est surtout au sein de la pâte de ciment que se développe le fluage. On ne voit donc pas très bien d'où, physiquement, pourrait venir la corrélation entre les deux phénomènes. C'est pourquoi, dans une analyse plus fouillée du problème, nous avons été amené à nous intéresser au modèle de Schneider. Les travaux entrepris à ce sujet seront décrits au 3.3.1.4.
Si on accepte de tenir compte des effets différés par un adoucissement de la loi contrainte-déformation, il faut être conscient que les lois qu'on utilise ne sont valables que dans une certaine plage de vitesse de mise en charge ou, en cas d'incendie, de vitesse d'échauffement. Divers auteurs ont montré que, avec l'échelle de temps rencontrée en cas d'incendie, c'est-à-dire le plus souvent entre une demi-heure et deux heures, les effets du fluage dépendent assez peu de la vitesse d'échauffement. Bien entendu, il ne faudrait pas extrapoler les lois obtenues sur base d'essais réalisés avec cette échelle de temps vers une échelle de temps plus grande, de l'ordre de plusieurs jours ou plusieurs semaines par exemple. Il n'est donc pas question d'utiliser ces lois telles quelles pour modéliser une enceinte de confinement d'un réacteur nucléaire soumise à surchauffe accidentelle, ou des structures métalliques rencontrées dans certains processus industriels et dont la température est en permanence de plusieurs centaines de degrés centigrades. De la même manière, on peut d'ailleurs aussi s'interroger sur ce que des modèles de fluage explicite qui ont été calibrés sur base d'essais d'une ou deux heures donneraient si on les appliquait à ces situations où l'échelle de temps devient la semaine. Les mêmes restrictions devraient probablement être formulées.
Une des raisons les plus fortes parmi celles qui ont conduit au choix du modèle implicite dans les Eurocodes est d'ordre pratique. Si le fluage est pris en compte de manière implicite, par un adoucissement de la loi contrainte-déformation, alors le temps n'intervient pas dans le comportement de la structure. Celui-ci n'est plus gouverné que par la température. Il est donc possible de découpler les deux aspects, thermique et statique, et de donner, par exemple, des tables ou des formules donnant la charge admissible en fonction de la température ou, à l'inverse, la température critique en fonction du taux de chargement. Le temps qui a été nécessaire pour atteindre la température en question ne joue aucun rôle. Si le temps intervenait de manière explicite dans les modèles, il deviendrait impossible d'établir tout outil pratique de dimensionnement puisque, pour chaque élément de structure métallique et chaque taux de chargement, la température critique serait fonction du type et de la marque commerciale du produit de protection thermique employé, de son épaisseur, ainsi que de la courbe d'incendie utilisée. Chaque cas devrait être analysé en particulier. Si on réalise en outre que lors d'un incendie réel l'histoire des températures dans le compartiment risque d'être