Modélisation des échanges dans les cavités internes

Des cavités internes macroscopiques remplies d'air sont présentes dans différents types d'éléments : hourdis ajourés en béton, profilés laminés protégés par un caisson de plaques isolantes, cloisons séparantes à base de plaques de plâtre posées sur un cadre (steel stud gypsum plaster board, ou wood stud gypsum plaster board), tubes en acier, ... Des échanges thermiques naissent à l'intérieur de ces cavités et il importe d'en tenir compte. Les hypothèses de bases utilisées pour la prise en compte des échanges au sein des cavités sont celles formulées par Wickström [WI79] :

• les échanges par conduction dans l'air sont négligeables ; • la chaleur spécifique de l'air est négligeable ;

• l'air est transparent aux flux radiatifs. On parle de milieu non participant ; • les parois des cavités sont des corps diffusifs gris.

Sur base de ces hypothèses, les cavités, aussi appelées "vides internes", sont prises en compte par l'intermédiaire de leurs surfaces traitées comme des frontières à caractère particulier. A l'heure actuelle, la prise en compte des vides internes par le programme SAFIR n'est possible que dans le cas des structures planes et des cavités convexes. Les équations et les techniques détaillées ci-après pourraient en principe être "aisément" programmées pour le cas de structures 3D et/ou de cavités concaves. Des deux limitations exposées, le respect d'une forme convexe se révèle parfois quelque peu gênant à l'usage alors que la nécessité de prendre en compte des cavités dans des structures 3D ne se présente pratiquement jamais.

Au sein des vides internes, on prend séparément en compte les échanges convectifs et les échanges radiatifs.

Pour la convection, on suppose que l'échange thermique à la surface de la cavité est

fonction linéaire du gradient de température, comme pour les surfaces extérieures, éq. 4.23. L'équation suivante modélise donc l'échange convectif :

q_c =h T( _S −T_v) (4.27)

avec qc flux convectif,

h coefficient de convection,

TS température à la surface interne du vide et

Tv température de l'air dans la cavité.

Puisque la chaleur spécifique de l'air est négligée, la température de l'air est la même en tout point de la cavité. La température de surface, quant à elle, varie d'un endroit à un autre. Avec la discrétisation abordée, elle varie linéairement d'un noeud à l'autre. On détermine à tout instant la température de l'air dans le vide, en exprimant que la somme des flux convectifs est nulle :

S q dS 0

Dans le cas particulier des éléments linéaires, l'équation 4.28 permet d'exprimer très facilement la température de l'air en fonction des températures de surface, à l'aide de l'équation suivante : T T L L i 1 N i i i 1 N i v = = =

∑

∑

(4.29)

avec N nombre d'éléments bordant la cavité, Ti température au noeud i et

Li longueur pondérée associée au noeud i.

La longueur associée à chaque noeud i est pondérée par le coefficient de convection du matériau dans les 2 éléments auxquels appartient le noeud i :

L h h 2 i = g g d d + l l (4.30)

avec h , h_{g d} coefficients de convection du matériau dans les 2 éléments adjacents au noeud i sur la frontière du vide et

ld,lg longueur de la frontière du vide appartenant à ces deux éléments.

Le flux convectif qui est associé à chaque noeud i de la frontière du vide et qu'il faut calculer pour évaluer le résidu, éq. 4.17, s'écrit ainsi de la manière suivante :

g_i = L_i (T_v −T_i) (4.31)

La dérivée du flux, à calculer pour évaluer la matrice d'itération, éq. 4.25, s'écrit comme suit :

g L T L L L i, j i , j i j t 1 N t = = =

∑

v (4.32)

Cette matrice est symétrique et, comme elle ne dépend que de propriétés topologiques, il n'est nécessaire de la calculer qu'une seule fois, en tout cas lorsque le coefficient de convention des matériau ne dépend pas de la température.

Remarques

1. Si les éléments sont du second degré en T ou si la condition de convection n'est pas linéaire, les expressions sont quelque peu plus complexes que celles données ici mais le principe peut être généralisé.

2. La manière très simple dont les échanges de contact entre la surface et l'air sont pris en compte fait que le phénomène ainsi modélisé n'a de convection que le nom. En réalité, les échanges par convection naturelle à l'intérieur du vide devraient faire intervenir de nombreux autres paramètres comme la taille et la forme de la cavité, ainsi que son orientation par rapport à la force de gravité. L'effet assez limité de ces échanges convectifs dans le type de problème à traiter rend inutile la prise en compte du phénomène dans toute sa complexité.

Pour le rayonnement, on utilise les équations de radiosité - éclairement basées sur l'hypothèse d'une cavité bordée par un nombre fini de surfaces dont la température est uniforme [TI95]. L'énergie radiative qui atteint une facette i du vide interne est en partie absorbée par cette surface et en partie réfléchie. Il n'y a pas de transmission à travers la facette. La loi de Kirchoff s'écrit alors simplement :

α_i +ρ_i = 1 (4.33)

avec α_i fraction de l'énergie absorbée et ρ_i fraction de l'énergie réfléchie.

Pour un corps gris, l'absorption est égale à l'émissivité, ce qui s'écrit de la manière suivante :

ε_i =α_i (4.34)

avec ε_i émissivité de la surface.

L'équation 4.33 se transforme ainsi immédiatement et s'écrit :

ρ_i = −1 ε_i (4.35)

L'énergie rayonnée par une surface grise, obtenue par intégration de la fonction de Plank, est donnée par la relation suivante :

E_i = ε_{( )i} σT_i4 (4.36)

avec E_i énergie rayonnée par la facette i,

σ constante de Stefan-Boltzmann = 5,67 10-8 w/m2 K4 et

En tenant compte des équations 4.35 et 4.36, les équations décrivant les échanges au sein de la cavités sont les suivantes :

G_i = F_ij J_j (4.37)

(

)

J_i = ε_{( )i} σ T_i4 + −1 ε_{( )i} G_i (4.38)

q_i = ε_{( )i} σ T_i4 −ε_{( )i} G_i (4.39)

avec Gi éclairement (flux radiatif reçu par la surface),

Ji radiosité (flux radiatif émis par la surface),

qi flux net quittant la surface et

Fij facteur de vue de i vers j.

Le facteur de vue est en fait la part de l'énergie quittant la surface i qui atteint la surface j. Après élimination de Gi et Ji de ces 3 équations, on obtient l'équation suivante :

(

)

F 1 q F T T ij (j) (j) ij (j) j ij j 4 i 4 − − ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭⎪ = − ε ε δ ε σ σ (4.40)

Dans les équations 4.36 à 4.40, on a noté l'indice i ou j de l'émissivité entre parenthèses pour indiquer qu'il n'y a pas lieu d'en tenir compte comme indice de sommation d'Einstein.

En passant du flux à l'énergie quittant chaque facette, on peut écrire l'équation 4.40 sous la forme matricielle suivante :

X Q = σ Y T4 (4.41) avec X F (1 ) L ij ij (j) ij (j) = −ε −δ ε _j ,

Qi énergie radiative quittant la facette i,

Lj longueur de la facette j et

Y_ij =F_ij − δ . _ij

Par inversion de la matrice X , on obtient la relation qui permet de calculer les flux quittant chaque facette en fonction des températures de toutes les facettes :

Le calcul de la matrice σ X−1 Y ne doit être effectué qu'une seule fois car elle ne dépend que de la topologie de la cavité et des émissivités de ses différentes facettes qui ne varient pas au cours du temps. Pour le calcul du résidu, éq. 4.17, on calcule le terme de charge aux bords de la cavité en appliquant l'équation 4.42, dans laquelle on suppose que la température de chaque facette est la moyenne arithmétique entre les températures de ses deux noeuds. L'énergie quittant chaque facette est attribuée pour moitié à chacun de ses 2 noeuds.

Il est possible de dériver l'équation 4.42 par rapport à T pour calculer la contribution des flux radiatifs à la matrice d'itération, comme on l'avait fait pour les flux convectifs, éq. 4.32. Le résultat est fortement dissymétrique puisque le terme Qi,j est en T_j3 et le terme

Qj,i est en T_i3. Si on veut garder les techniques de stockage et de résolution écrites pour des

systèmes symétriques, il faut rendre symétrique la matrice dérivée. Il a été constaté que, dans ce cas, la convergence n'est guère accélérée. Le critère de convergence diminue un peu plus rapidement à chaque itération et, suivant la valeur de la précision choisie pour obtenir la convergence, il arrive parfois qu'une économie d'une itération soit réalisée sur certains pas de temps. Cependant, à cause de cette prise en compte des échanges au sein des vides dans l'évaluation de la matrice d'itération, les noeuds situés à la surface de la cavité sont connectés entre eux. Comme ces noeuds sont topologiquement assez éloignés les uns des autres, sauf dans les toutes petites cavités, la largeur de bande du système est très fortement augmentée ainsi que la longueur nécessaire du vecteur dans lequel la matrice est stockée par la méthode d'adressage dite de la skyline. Or le temps de calcul nécessaire pour résoudre le système est proportionnel au carré de la taille de ce vecteur, de sorte que le temps de calcul total nécessaire pour résoudre un problème est de l'ordre de 3 fois plus long lorsque les échanges radiatifs sont pris en compte, même si quelques itérations en moins sont nécessaires. C'est pourquoi ces échanges ont été négligés au niveau de la matrice d'itération dans le code SAFIR. Il est parfaitement possible d'atteindre l'état d'équilibre exact, même avec une matrice d'itération approchée, à condition que le résidu soit correctement évalué, ce qui est le cas ici, éq. 4.31 et 4.42.

La figure 4.14 montre une coupe dans un hourdis alvéolé en béton, analysé avec le programme SAFIR par Borgogno dans le cadre de sa thèse de doctorat à l'Université Fédérale de Zurich.

La figure 4.15 montre certaines courbes de température après 2 heures d'exposition à l'incendie normalisé. On a reporté sur la figure la température sur une verticale à mi-épaisseur de l'âme, c'est-à-dire au bord de la section représentée à la figure 4.14, et sur une verticale située au centre de la cavité. L'effet local des armatures n'a pas été pris en compte. Les 2 courbes dénommées "avec" se rapportent au cas où les échanges thermiques à l'intérieur de la cavité sont pris en compte. On peut déduire de ces 2 courbes que les isothermes sont presque horizontales, ce qu'on observe effectivement sur la figure 4.14. Les 2 courbes dénommées "sans" se rapportent au cas où les échanges thermiques à l'intérieur de la cavité ne sont pas pris en compte. On constate que la partie inférieure du hourdis est trop chaude, surtout dans la zone située sous la cavité. La partie supérieure du hourdis est, par contre, trop froide. La

courbe calculée dans une dalle pleine, avec écoulement unidirectionnel, montre que les températures sont correctement estimées dans la partie inférieure, là où sont situées les armatures, ce qui justifie le calcul de la résistance à la flexion positive des dalles alvéolées basé sur les températures dans les dalles pleines. Par contre, en partie supérieure, les températures calculées dans une dalle pleine sont trop faibles et ne peuvent pas être utilisées pour juger du critère d'isolation thermique basé sur la température à la face supérieure.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Distance par rapport à la face chaude [mm]

Température [°C] cavité (sans) ame (sans) cavité (avec) ame (avec) dalle pleine

Fig. 4.15 : Températures après 2 heures

Il existe évidemment des objets où la part du transfert thermique qui se fait par radiation est plus importante que dans un hourdis en béton. La figure 4.16 montre par exemple les isothermes dans une cloison formée de caissons métalliques de 40 mm. d'épaisseur isolés thermiquement. Ce type d'élément séparant est utilisé en construction navale. Dans cette structure, une part non négligeable de l'énergie est néanmoins encore transmise par conduction dans les âmes métalliques de 3 mm d'épaisseur. Dans le cas des cloisons en plaque de plâtre sur

ossature métallique par contre, les profilés à froid ont une épaisseur de l'ordre du millimètre et le rayonnement est alors prépondérant dans le transfert entre les 2 parois. S'il fallait entreprendre une étude systématique sur ce genre de structure, il conviendrait probablement d'utiliser un système de stockage et de résolution permettant de traiter les matrices non symétriques, ce qui permettrait de tenir compte du rayonnement dans la matrice d'itération. A l'Université de Maryland, Dillon obtient des résultats qui sont en bon accord avec ceux d'essais expérimentaux. Pour les raisons expliquées ci-dessus, avec le programme SAFIR tel qu'il est écrit actuellement, ces simulations nécessitent de très petits pas de temps.

Dans le document Contributions à la modélisation des incendies dans les bâtiments et de leurs effets sur les structures (Page 106-112)