F i g 6.13 : Résultats du cadre de Cardington
Chapitre 8 ELEMENTS SOLIDES
8.3 ELEMENTS SOLIDES 2D
Comme pour les éléments 3D, les éléments plans non orientés sont abondamment utilisés pour les calculs thermiques. Cela a déjà été mentionné à plusieurs reprises et il n'est pas nécessaire d'y revenir ici.
A température ordinaire, une des utilisations possibles des éléments plans en état plan de contrainte est l'étude de la distribution des efforts dans les murs et les voiles cisaillés, shear walls. En effet, si les murs sont chargés dans leur plan, ils sont essentiellement le siège d'efforts membranaires et le type d'élément en question s'impose naturellement.
En cas d'incendie, cependant, le mur n'est habituellement soumis à l'incendie que par un seul de ses côtés. Le matériau se dégradant plus rapidement du côté exposé que du côté non exposé, le centre de raideur effective se déplace au cours du temps à travers l'épaisseur du mur et des efforts flexionnels apparaissent inévitablement, ne serait-ce que sous l'effet du poids propre dont l'action ne coïncide plus avec le centre de raideur. Les déplacements transversaux ont aussi comme effet de compliquer les sollicitations. Ils naissent du fait de l'excentrement des charges mentionné ci-dessus, mais surtout à cause de la sollicitation thermique dissymétrique. A cause de ces effets flexionnels qui apparaissent inévitablement dans les murs et les voiles soumis à l'incendie, ce type de structure ne peut pas s'étudier à l'aide d'éléments plans, mais nécessite le recours aux éléments de type coque, objets du chapitre 8.
Les éléments non orientés à deux dimensions trouvent un champ d'application privilégié dans l'étude des structures en état plan de déformation.
Dans les bâtiments, on ne trouve guère d'éléments de structure qui obéissent à une symétrie axiale. A cause de l'effet du poids propre, qui est toujours significatif en génie civil, une telle situation ne peut exister que si l'axe de symétrie est dirigé dans le sens de la gravité, c'est-à-dire dans le sens vertical. On pourrait imaginer, par exemple, le cas d'une cheminée, mais traiter ce cas en axisymétrique impliquerait automatiquement que toutes les sollicitations soient symétriques par rapport à l'axe, aussi bien celles d'origine thermique que celles dues au vent. On se priverait ainsi de la possibilité d'analyser de nombreux cas qui sont certainement plus défavorables. Dans l'exemple de la colonne circulaire en béton traité au paragraphe 4.4, on aurait pu, en l'absence de barre d'acier longitudinale, aussi traiter le problème en axisymétrique. Etant donné le petit nombre de cas où cette situation risque de se présenter, il aurait été préférable de discrétiser un quart de la section que de programmer un élément axisymétrique. Pour n'étudier qu'un secteur de 30 degrés d'ouverture, on a préféré à l'époque programmer la possibilité de bloquer certains appuis dans des axes qui ne sont pas parallèles aux axes globaux de la structure. On a en effet jugé que cette possibilité serait plus utile dans le futur que celle de disposer d'éléments axisymétriques.
On pourrait imaginer qu'un état plan de déformation non axisymétrique se développe dans un tunnel routier comme c'est le cas à température ordinaire. En cas d'incendie, il est certain que des déplacements auront lieu dans le sens longitudinal, à cause des dilatations thermiques, et l'état plan de déformation en sera perturbé. Même si on acceptait l'hypothèse d'un bridage longitudinal parfait, ce sont les déformations totales qui présenteraient un état plan. Les déformations mécaniques, obtenues en retranchant les déformations thermiques, présen-teraient donc aussi un comportement 3D à cause des différences de température entre les couches exposées à l'incendie et les couches plus éloignées.
Comme, de plus, l'état plan de déformation est de toute façon associé à un état de contraintes triaxial, les réserves formulées au paragraphe précédent sur les lois de matériau sont d'application ici aussi.
Parmi les articles traitant de la modélisation numérique du béton armé à température ordinaire, ceux qui proposent l'analyse d'une poutre comme exemple d'application font presque tous référence à un état plan de contraintes. Le béton est représenté par des éléments plan non orientés et les armatures sont représentées de manière discrète, soit par des éléments du même type très allongés, soit par des éléments barre de treillis connectés aux mêmes noeuds que les éléments plan. Cette idéalisation est tout-à-fait acceptable car pour les poutres chargées dans leur plan, les contraintes transversales sont effectivement très faibles.
Pour étudier le cas de poutres soumises à température élevée, certains ont réalisé des essais dans lequel des poutres de section rectangulaire étaient chauffées uniquement par la face supérieure [SA93]. Dans leur analyse thermique du problème par éléments finis, ils considèrent que les faces latérales sont adiabatiques et que le flux progresse de manière uniaxiale de la face supérieure vers la face inférieure [SU93]. Il leur est alors possible d'étudier la poutre à l'aide d'éléments en état plan de contrainte. Ce faisant, ils négligent les contraintes transversales qui apparaissent inévitablement à cause des dilatations thermiques différentes entre la partie supérieure de la poutre plus chaude et la partie inférieure, plus
froide. Ces contraintes ne peuvent s'annuler que si les dilatations thermiques varient linéairement sur la hauteur de la poutre, ce qui ne sera, en pratique, jamais le cas.
En pratique, on n'observe en fait jamais de situation comparable. Les poutres sont toujours soumises à l'action de l'incendie sur leurs faces latérales, aussi bien que sur la face inférieure. Le champ thermique est donc, au minimum, bidimensionnel. Si on voulait à tout prix étudier une poutre en béton armé soumise au feu à l'aide d'éléments en état plan de contrainte, il faudrait donc diviser la poutre en un nombre fini de tranches verticales d'une épaisseur d'environ 1 cm et coller, dans la discrétisation, plusieurs éléments l'un sur l'autre, chacun, avec sa propre température, appartenant à l'une des tranches.
L'effort à fournir ne serait pas négligeable et le résultat obtenu ne tiendrait quand même pas compte des contraintes transversales dues aux différences de température et de dilatation thermique entre différents points de la poutre. Comme, en plus, on aurait implicitement introduit l'hypothèse que les points situés sur une même droite à travers la largeur de la poutre subissent les mêmes déplacements, il n'est pas certain que le résultat obtenu présente plus de valeur ou soit plus précis que celui donné par un modèle poutre. A notre connaissance, ce type de discrétisation n'a jamais été tenté.
On peut noter que, pour la discrétisation (1) reprise à la figure 7.13, van Focken a aussi négligé les contraintes transversales, ce qui paraît encore plus discutable dans le cas d'une dalle que dans le cas d'une poutre.
La seule application des éléments plans non orientés dans le programme SAFIR, en plus des calculs thermiques déjà mentionnés, est relative au calcul de la rigidité torsionnelle et de la fonction de gauchissement dans les sections droites. Les propriétés ainsi calculées sont utilisées par l'élément poutre 3D.
On rappelle ici l'équation du principe des travaux virtuels déjà donnée au chapitre 2. Dans l'expression donnée ci-dessous, on a conservé le module de cisaillement G dans l'intégrale car, en toute généralité, il peut varier d'un point à l'autre de la section. C'est notamment le cas d'une section mixte comprenant à la fois de l'acier et du béton. Le principe des travaux virtuels s'écrit de la manière suivante :
{
(
)
(
)
G z z y y y z dA
A
∫
δω, ω, + +δω, ω, − = 0 (8.1)avec A section droite considérée, G module de cisaillement,
y, z coordonnées d'un point dans le plan de la section et ω fonctionnement de gauchissement à déterminer.
La section droite est discrétisée à l'aide des éléments plans isoparamétriques linéaires à 3 ou 4 noeuds. On utilise bien entendu le même maillage que pour le calcul thermique. On calculera en effet une valeur moyenne de la fonction de gauchissement par élément, et on pourra affecter cette valeur à la fibre correspondante de l'élément poutre. Pour l'élément, on
connaîtra ainsi la valeur de la fonction de gauchissement et ses dérivées géométriques ainsi que l'évolution de la température en chacune des fibres.
On remarque que l'équation 8.1 ne fait pas apparaître de terme de charge comme c'est le cas lorsqu'on traite de l'équilibre statique d'un corps soumis à des charges extérieures ou de l'équilibre thermique d'un corps soumis à des flux. Ce n'est pas ici l'angle de torsion en fonction d'un moment donné que l'on cherche à déterminer directement, mais la forme de la fonction de gauchissement, dont on pourra déduire la raideur torsionnelle. Pour pouvoir résoudre le système d'équation résultant de l'équation 8.1, il faut imposer la valeur de la fonction de gauchissement en un point. Habituellement, on fixe la fonction à la valeur nulle sur le ou les axes de symétrie de la section.
La raideur torsionnelle de la section GCt donnée par l'expression suivante, est obtenue
également à partir du principe des travaux virtuels :
(
)
(
)
{
}
GCt G z y y z dA
A
=
∫
ω, + 2 + ω, − 2 (8.2)Le principe des travaux virtuels est basé sur une inconnue de type cinématique, ici la fonction de gauchissement, et la valeur de la raideur torsionnelle obtenue est normalement une approximation par excès de la valeur exacte [BA90a]. En pratique, lors de comparaisons avec des exemples théoriques, on obtient parfois des approximations par excès, et parfois par défaut. Cela provient du fait que la raideur donnée par l'expression 8.2 est évaluée par une intégration numérique.
Le choix retenu pour la discrétisation de la section droite doit tenir compte d'impératifs liés à la précision de l'intégration des contraintes et des raideurs lors de l'évaluation des forces internes et de la matrice de rigidité permettant de résoudre le calcul statique. Il faut aussi tenir compte de la forme du champ thermique et utiliser des éléments suffisamment petits là où les variations spatiales de température sont sévères. Enfin, puisque la même discrétisation sert de base au calcul de la raideur torsionnelle, il faut également prévoir un maillage qui assure une valeur suffisamment précise de cette caractéristique. La prise en compte simultanée de ces trois objectifs ne va-t-elle pas conduire à des exigences si sévères qu'elles nécessitent le recours à un maillage très fin qui rendrait le coût du calcul trop élevé ? On a pu vérifier que, en général, les maillages qui conviennent pour la résolution du problème statique et du problème thermique conviennent aussi pour la précision du problème torsionnel. A titre d'exemple, si on discrétise une section rectangulaire dont les côtés sont dans le rapport 2/1 à l'aide de 16 éléments sur la hauteur et 8 sur la largeur, la raideur torsionnelle est exacte à 0,5 % près. En pratique, la discrétisation serait probablement plus fine s'il s'agissait, par exemple, d'une poutre en béton.
Pour les éléments métalliques à parois assez minces, comme les doubles tés, par exemple, il faut préférer les éléments à 4 noeuds plutôt que ceux à 3 noeuds car ceux-ci sont trop rigides. Il est par contre essentiel de représenter le congé de raccordement. C'est peut-être la seule imposition nouvelle due au calcul de la raideur torsionnelle. Aussi bien l'équilibre statique que le champ thermique sont en effet très peu modifiés par le fait de négliger le
congé. Ce n'est pas du tout vrai pour la raideur torsionnelle. Le congé peut être représenté de manière satisfaisante par un triangle de surface équivalente.
Pour illustrer le propos, on prend le cas d'une section HE200A dont la raideur torsionnelle calculée par de Ville est de 20.4 cm4 [DE88a]. On discrétise un quart de la section, par symétrie, de trois manières différentes. Avec 19 éléments triangulaires, y compris le congé, on obtient 77,5 cm4, c'est-à-dire presque 4 fois la valeur exacte ! Avec 9 éléments rectangulaires, négligeant le congé, on obtient 15,1 cm4, c'est-à-dire les ¾ de la valeur exacte. En ajoutant un dixième élément triangulaire pour représenter le congé, on obtient, avec une discrétisation malgré tout très grossière, 22,2 cm4, c'est-à-dire moins de 9 % en excès.
8.4 CONCLUSIONS
Des éléments non orientés conviennent particulièrement bien et sont utilisés pour le calcul des champs thermiques dans les structures ou pour le calcul de la raideur torsionnelle des poutres.
En ce qui concerne l'utilisation de ce type d'élément pour la détermination des positions d'équilibre successives, on se heurte actuellement à deux types de difficultés majeures qui sont le coût du calcul en l'état actuel du matériel informatique et, plus encore, le manque d'information expérimentale sur les lois constitutives, surtout pour le béton. Ces deux difficultés proviennent surtout du caractère tridimensionnel des éléments de structure et pourraient être beaucoup moins grandes si on se limitait à l'utilisation d'éléments plans. Malheureusement, ceux-ci sont mal adaptés à l'étude des structures soumises à l'incendie parce que le champ thermique non uniforme qui y règne perturbe la distribution des déformations et des contraintes.