Comportement 3D à température ambiante

6.2.3.1 Déversement élastique d'une poutre simplement appuyée

Cet exemple porte sur une poutre élastique bi-appuyée sollicitée en flexion pure. Il a été étudié par Yang [YA84], puis par de Ville [DE88a]. Si la structure est très simple, son comportement est l'un des plus difficile à reproduire numériquement. Le cas présenté ici est en fait le plus sévère de tous ceux que nous avons étudié lors de la validation de l'élément.

La poutre est composée d'un profil laminé W10 x 10 x 100 dont les caractéristiques sont les suivantes : hauteur de 11.10", largeur de 10.35", épaisseur des semelles de 1.11", épaisseur de l'âme de 0.68" et congé de raccordement de 0.51".

La poutre, dont la longueur est de 240 pouces, est constituée d'un matériau élastique avec E = 29000 ksi et ν = 0.30. Il n'y a pas de bridage longitudinal. Les deux déplacements transversaux sont bloqués aux appuis. Les deux rotations transversales sont libres à chaque appui tandis que la rotation autour de l'axe de la poutre y est bloquée. Chaque appui est donc un appui à fourche. L'exemple est traité en déplacement imposé. La rotation autour de l'axe fort est augmentée progressivement aux deux appuis ce qui, pour des rotations faibles, induit dans la poutre un état de flexion pure. Le déversement est rendu possible par l'introduction d'une déformée initiale hors plan de forme sinusoïdale et d'amplitude maximale à mi-portée de L/2000 = 0.12 pouces.

Dans un premier temps, on discrétise un quart de la section droite par 34 éléments plans et 57 noeuds. La rigidité torsionnelle calculée par le programme SAFIR est de 10.8 pouces4, soit très légèrement inférieure aux 10.9 pouces4 mentionnés par de Ville ou aux 11.0 pouces4 relevés dans un ancien catalogue de profilés de la firme ARBED [AR--]. La rigidité au gauchissement est de 5036 pouces6 selon SAFIR, contre 5150 pouces6 selon de Ville et 5139 pouces6 selon le catalogue. Les valeurs données dans le catalogue de l'ARBED sont calculées par des formules analytiques approchées.

La figure 6.15 donne l'évolution du moment de flexion aux appuis en fonction de la rotation axiale à mi-portée de la poutre. Deux familles de courbes sont présentées suivant que le gauchissement aux appuis est empêché ou non.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

Rotation axiale à mi-portée [-]

Moment à l'appui [10-4 kpi]

SAFIR Yang de Ville Analylique

Fig. 6.15 : Evolution du moment

Les charges critiques correspondant au plateau horizontal, calculées par SAFIR et par de Ville sont très proches l'une de l'autre ; elles sont aussi très proches de la charge critique calculée analytiquement en tenant compte de l'état déformé de la poutre [DE88a]. Le programme de Yang conduit à une résistance plus faible. La courbe obtenue par Yang présente le caractère d'un comportement par divergence. Il est possible que, pour faciliter la résolution, Yang ait introduit une déformée initiale plus grande, ce qui provoque l'apparition du déversement pour un moment plus faible. La très petite déformée initiale, θmax = 0.0008

radian, introduite par les deux autres auteurs conduit à un comportement du type bifurcation, ce qui est plus difficile à suivre pas-à-pas. L'amplitude de la déformée initiale n'est cependant pas responsable de la différence de charge critique ; c'est probablement la prise en compte de la déformée de l'élément lors de l'élaboration de la matrice tangente qui en est la cause.

Nos résultats sont pratiquement les mêmes que ceux de de Ville jusqu'à la charge critique obtenue pour une rotation à mi-portée de 0,5 radian, soit 29 degrés. Au-delà, SAFIR donne une plus grande résistance de la poutre et une réserve postcritique, quelle que soit la condition d'appui sur le gauchissement. Pour le cas où le gauchissement est libre à l'appui, de Ville obtient une charge maximale quand le profil a tourné de 1,1 radian, soit 63 degrés. Nos simulations ont toujours conduit à la résistance post critique quels que soient les pas de temps adoptés ou la sévérité admise pour le critère de convergence, même lorsque le nombre d'éléments a été porté de 10 à 40.

Il faut remarquer que les différences de comportement apparaissent lorsque les déplacements sont très grands et n'auraient probablement pas de signification dans le cas d'une structure réelle soumise à l'incendie. La figure 6.16 montre les positions successives de l'âme de la poutre calculées par SAFIR à mi portée dans le cas où le gauchissement à l'appui est libre. Elle montre que le comportement post critique, lorsque le moment dépasse 1.5 104 kpi, est accompagné de très grands déplacements, de l'ordre de L/30. Pour un élément réel en

engendrées par ces grands déplacements empêcheraient le développement de la résistance post critique. Un exemple de déversement en présence de plastifications est présenté au paragraphe suivant. -20 -15 -10 -5 0 5 0 10 20 30 40 50 6

Direction horizontale [pouces]

Direction verticale [pouces]

0

Fig. 6.16 : Positions successives de l'âme

6.2.3.2 Déversement élasto plastique d'une poutre continue

Il s'agit d'une poutre continue sur 3 appuis constituée par un IPE300 en acier élasto- plastique dont la limite élastique est de 235 Mpa. Les portées des deux travées sont de 8 m et les 3 appuis sont du type "appui à fourche". Les imperfections sont prises en compte sous forme d'une répartition triangulaire de contraintes résiduelles, avec une valeur maximale de 0.30 x 235 Mpa, ainsi que d'une déformée sinusoïdale d'amplitude L/1000 dans les deux plans. La poutre est soumise à une charge uniformément répartie appliquée au niveau de l'axe des centres de gravité.

Le cas a été analysé par Piller [PI84] et par de Ville [DE88a]. La simulation numérique pas-à-pas donne des charges maximales suivantes :

15,96 kN/m pour Piller ;

16,42 kN/m pour de Ville, avec 20 éléments de même longueur ;

16,21 kN/m pour de Ville, avec 22 éléments dont les plus courts sont proches de l'appui central.

Nos résultats donnent les charges maximales suivantes : 16,43 kN/m, avec 20 éléments de même longueur et 16,40 kN/m, avec 22 éléments.

L'introduction du degré de liberté supplémentaire dans l'élément fini de type poutre, § 6.1.2, rend nos résultats légèrement moins dépendants du nombre d'éléments que ceux obtenus par

de Ville, comme l'a bien expliqué Boeraeve [BO91]. L'écart observé par de Ville entre ses deux résultats est cependant déjà très faible, de l'ordre du pourcent.

Les valeurs des charges maximales mentionnées ci-dessus ont été obtenues en supposant que la rigidité torsionnelle n'est pas affectée par les plastifications que créent les contraintes longitudinales. Afin d'apprécier l'importance de cette approximation, on a dans un deuxième temps supposé que la rigidité torsionnelle varie dans chaque élément de la même manière que le moment d'inertie rotationnelle de la surface, suivant l'équation 6.15, § 6.1.3.3.

Les résultats obtenus sont les suivants : 16,22 kN/m, avec 20 éléments et

16,17 kN/m, avec 22 éléments.

Même si la manière de réduire la raideur torsionnelle est approchée, l'ordre de grandeur de 1 % de l'effet observé tend à montrer qu'il n'est pas nécessaire de prendre en compte les contraintes tangentielles dans la loi constitutive et qu'on peut obtenir des résultats satisfaisants même pour un mode de ruine comme le déversement qui s'accompagne pourtant de grandes rotations.