Modèles multiaxiau

Les ossatures à cadres formés de poutres et colonnes sont parmi les plus utilisées en construction de bâtiment, aussi est-ce d'abord sur les lois uniaxiales qu'ont porté les premiers travaux de recherche qui avaient pour but de comprendre le comportement des bâtiments en cas d'incendie. Ceci est aussi dû au degré de difficulté qui est d'un tout autre niveau lorsqu'on envisage le cas des sollicitations multiaxiales, aussi bien pour la formulation des lois constitutives que pour leur intégration, mais encore plus pour la réalisation d'expériences devant servir à caractériser les matériaux. En béton, par exemple, il n'y a guère que quelques laboratoires capables de fournir des résultats fiables portant sur des cylindres soumis à la fois à une contrainte axiale et à des températures élevées. En ce qui concerne le comportement biaxial, on ne dispose pratiquement que d'une seule source de renseignement, portant sur des essais dans le domaine compression-compression [EH86]. Pour le reste, on doit se contenter d'essais sur éléments de structures présentant ce type de sollicitation, essentiellement des dalles. Le comportement d'ensemble des dalles, presque toujours testées sur appuis simples, est cependant beaucoup plus dépendant du modèle constitutif des barres en acier que de celui du béton. En ce qui concerne les sollicitations triaxiales, le terrain reste à défricher.

Quantité d'effets, de phénomènes ou de comportements qui, à température ambiante, posent déjà de sérieux problèmes et donnent lieu à des dizaines de thèse de doctorat chaque année peuvent difficilement être abordés à température élevée. On pense par exemple à la plasticité non associée, aux modes de rupture en traction-compression, à la localisation, au tension-stiffening, aux comportements cycliques, ... Il est nécessaire, en tout cas à l'heure actuelle, d'accepter un certain nombre de simplifications. Celles-ci sont en général tout-à-fait

acceptables si on se fixe comme but essentiel la modélisation du comportement au feu des dalles de bâtiment en béton armé, soit considérées comme éléments séparés, soit en interaction avec une structure de type poutre dans la représentation complète d'une structure ou, plus modestement, d'une sous-structure.

Les travaux réalisés au sein du Service des Ponts et Charpentes sur le comportement biaxial du béton à température ambiante sont essentiellement menés par C. Doneux qui s'intéresse plus particulièrement à la modélisation de structures mixtes acier-béton soumises à des sollicitations alternées. Dans les paragraphes suivants, on discute quelques aspects de la modélisation du comportement biaxial à haute température, essentiellement pour le béton, de manière plus succincte pour l'acier.

3.3.2.1 Surface de plasticité

Pour l'acier, la surface correspondant au critère de Von Mises est une des plus utilisées, non seulement à température ambiante, mais aussi en cas de températures élevées, voir [FU90], [KA90], [AL95] ou, à Liège, les travaux de Habraken [HA89] ou Golinval [GO89] par exemple. C'est probablement la surface la plus simple et, pour l'acier, elle correspond assez bien aux résultats relevés expérimentalement. En état plan de contrainte, elle est représentée par l'ellipse en traits gras de la figure 3.23. On remarque que, en compression- compression, lorsque σ₁ = σ₂, la résistance est la même qu'en compression uniaxiale.

Pour le béton, il a été vérifié expérimentalement que la résistance en compression- compression est plus élevée que la résistance à la compression uniaxiale fc. On note un

accroissement de l'ordre de 15 % [KU73]. Pour représenter le béton en compression, le critère de Drucker-Prager a donc été beaucoup utilisé car, comme le montre l'ellipse en traits plus fins sur la figure, il permet de rendre compte de cette augmentation de résistance en compression biaxiale. L'équation de cette surface est cependant plus complexe que celle de Von Mises et, lors de l'intégration de la loi constitutive, elle ne permet pas les mêmes simplifications dans l'écriture de certains algorithmes d'intégration implicite qui assurent la convergence de manière plus certaine. Il existe donc une certaine tendance à revenir à l'utilisation d'une surface de plasticité plus simple, ou plus pratique, du point de vue de sa formulation, mais permettant l'utilisation de ces méthodes d'intégration plus robustes. C'est pourquoi, en état plan de contrainte, la surface de Von Mises est aussi utilisée pour représenter l'écoulement du béton en compression à température ambiante.

Si on considère les problèmes numériques déjà rencontrés à température ambiante par divers auteurs, surtout dans le régime compression-traction, avec la surface de Drucker- Prager, on peut craindre que la difficulté ne s'élève encore d'un niveau lorsqu'on envisage le cas des températures variables. En effet, même avec la surface de Von Mises, certains algorithmes qui fonctionnent correctement lors d'une diminution de température, par exemple, peuvent être mis en difficulté lors d'une augmentation de la température, selon l'expérience de A-M. Habraken à Liège. A l'INSA de Lyon, Heinfling, qui travaille sur la modélisation du béton en cas d'incendie, souligne lui aussi le caractère primordial des problèmes rencontrés avec certaines méthodes d'intégration et il a opté dans un premier temps pour la surface de Von Mises. Pour les raisons évoquées ci-dessus, nous avons également choisi d'utiliser la loi de Von Mises. Il est toujours possible, comme le fait apparemment Feenstra à 20°C, d'introduire dans les données une résistance à la compression uniaxiale surévaluée de 10 % [FE93]. De la sorte, on accepte une erreur de 10 % en cas de sollicitation uniaxiale, mais l'écart entre la courbe utilisée et la courbe, normalement plus précise, de Drucker Prager est compris entre - 5 et + 5 %, pour autant qu'on ait une compression transversale σ2 au moins

égale à 0,25 σ1. C'est évidemment la connaissance du mode de sollicitation prépondérant qui

doit guider le choix. Il vaudra certainement mieux utiliser la vraie résistance à la compression pour modéliser une poutre dalle à sens de flexion préférentiel, tandis qu'on pourra surévaluer la résistance en compression pour étudier une dalle carrée appuyée sur ses quatre côtés.

L'attention doit cependant être attirée par les résultats expérimentaux obtenus pour des températures élevées par Ehm à Braunschweig sur des éprouvettes carrées soumises à compression biaxiale [EH86]. La figure 3.24, directement tirée de sa thèse, montre que l'effet favorable de la contrainte transversale augmente avec la température. Si elle est de 15 % à 20°C, l'augmentation irait jusqu'à 70 % à 750°C. La figure 3.24 est cependant trompeuse quant à l'influence réelle de cet effet sur la résistance d'une structure réelle. Cette figure présente en effet les surfaces de rupture normalisées par rapport à la résistance à la température considérée. L'erreur relative commise en utilisant la surface de Von Mises est ainsi beaucoup plus grande à température élevée qu'à 20°C. Si on présente les résultats en normalisant les surfaces par rapport à la résistance à 20°C, l'erreur absolue est du même ordre de grandeur à toutes les températures, voir figure 3.25.

Fig. 3.24 : Surfaces de rupture

Fig. 3.25 : Surface de rupture (autre présentation)

Si, néanmoins, on observait par la suite des durées de résistance au feu calculées qui soient systématiquement plus courtes que les durées observées expérimentalement, il conviendrait de garder les résultats de Ehm à l'esprit et de vérifier si l'approximation admise en choisissant la surface de Von Mises n'est pas la cause de cet écart. Dans le nombre limité d'exemples traités jusqu'ici, rien de tel n'est apparu.

En traction, le critère retenu pour le béton est celui de Rankine qui limite chaque contrainte principale de traction à une valeur limite, la résistance en traction, indépendamment de la contrainte transversale.

3.3.2.2 Ecrouissage

Il est souhaitable que les lois d'écrouissage utilisées donnent, lorsque l'une des deux contraintes principales est nulle, le même type de comportement que celui qui est donné par les lois uniaxiales.

Pour l'acier, la loi formée sur base d'une ellipse dans le plan σ - εm, voir figure 3.11,

ne permet pas de décomposer la déformation mécanique en sa composante élastique et sa composante plastique. Ceci est dû à la forme particulière de l'expression 3.18. Certains auteurs résolvent le problème en remplaçant l'équation 3.18 par une loi puissance du type Ramberg-Osgood. L'inconvénient de cette approche est que la courbe σ - εm possède une

pente non nulle lorsque la contrainte atteint la résistance ultime et qu'il y a donc une petite rupture de pente à cet endroit dans la courbe. De plus, la correspondance n'est pas toujours très bonne entre la loi de puissance utilisée en état plan de contrainte et la loi de type elliptique utilisée pour les modèles uniaxiaux. L'inconvénient le plus gênant de la loi puissance est que pour chaque type d'acier et chaque limite élastique, il est nécessaire de recalculer à chaque température les coefficients de la loi puissance qui permettent la meilleure représentation possible de la loi elliptique.

C'est pourquoi nous avons préféré garder le formalisme de la loi elliptique, mais, au lieu d'appliquer cette loi à la déformation mécanique, nous l'avons transposée à la loi d'écrouissage, c'est-à-dire dans le plan contrainte-déformation plastique comme le montre la figure 3.26.

Ainsi, au lieu de l'équation 3.18, on utilisera l'équation suivante comme relation entre la déformation mécanique équivalente et la contrainte de comparaison.

ε_eq σeq ε_u u σeq p u p E f E f f f = +⎛_⎝⎜ − ⎞_⎠⎟ − − − − ⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎞_⎠⎟⎟ ⎛ ⎝ ⎜ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟⎟ 1 1 2 (3.45)

avec ε_eq déformation mécanique équivalente et σ_eq contrainte de comparaison.

On pourrait, en comparant la figure 3.11 et la figure 3.26, penser que les équations 3.18 et 3.45 donnent exactement la même courbe. En fait, ce n'est pas tout-à-fait le cas, à cause du fait que le centre de l'ellipse est, sur la figure 3.11, décalé de la valeur c, éq. 3.22, par rapport à fp. En réalité, l'écart maximum entre les deux courbes est de l'ordre de 1 % et on

le remarque à peine sur un graphique. L'avantage de l'équation 3.45, par rapport à une loi de puissance, est qu'elle s'exprime en fonction des mêmes paramètres que la loi elliptique et qu'il n'y a pas besoin de la calibrer pour tous les types et toutes les nuances d'acier.

La courbe d'écrouissage positif du béton en compression a déjà été traitée dans le paragraphe 3.3.1.4. lorsqu'on a modifié le modèle de Schneider. On peut ainsi reprendre les équations 3.30 à 3.33 et on obtient une très bonne approximation de l'équation 3.25. Dans les équations 3.30 à 3.33, on remplace évidemment σ par σeq, pour exprimer que l'écrouissage se

rapporte à la contrainte équivalente.

Après avoir atteint la résistance ultime, en compression ou en traction, la contrainte diminue alors que la déformation continue à augmenter ; l'écrouissage est négatif. En toute généralité, l'écrouissage en compression et celui en traction devraient être couplés mais, faute de données expérimentales permettant de quantifier le couplage, on admettra que ce couplage n'existe pas.

En traction, après avoir atteint la contrainte de rupture de manière élastique, on pourrait considérer un écrouissage négatif linéaire dont la pente serait calculée en fonction de la taille des éléments, de manière à respecter l'objectivité du maillage. Le but de ce type de modèle est que l'énergie nécessaire pour amener à la formation d'une fissure soit la même, quelle que soit la taille de l'élément. En fait, on calcule la valeur de la pente de manière à ce que l'énergie dissipée dans l'élément corresponde à l'énergie de rupture du matériau, considérée comme une propriété du matériau. Cette propriété est mesurable facilement à 20°C, mais beaucoup moins à température élevée. Pour des températures très modérées jusqu'à 80°C, Slowik et Wittman ne remarquent pas d'influence de la température sur l'énergie de rupture [SL92]. Ceci est confirmé par Zaitsev et Shevtschenko mais, au-delà de 120°C, l'énergie de rupture chute d'une manière qui n'est pas très différente de celle dont chute la résistance à la traction [ZA92]. En cas d'incendie, la déformabilité du béton tendu est donc assez semblable à toutes les températures.

Cette façon de procéder, en adaptant la pente de la branche descendante de la courbe d'écrouissage en fonction de la taille des éléments, s'applique surtout aux cas où la rupture se concentre, se localise, au niveau d'une seule fissure. C'est notamment le cas des éléments de structure peu ou pas du tout armés. Typiquement, ce genre d'élément est analysé à l'aide d'éléments membranaires en état plan de contrainte. L'utilisation de cet artifice basé sur l'énergie de rupture du béton donne effectivement des résultats qui sont plus objectifs. Ils dépendent moins du maillage.

Dans les structures courantes de génie civil, comme les poutres et les dalles, on rencontre normalement une quantité d'armature non négligeable dans les zones où le béton est soumis à traction. Par le fait de l'adhérence entre les deux matériaux, les fissures se distribuent, se répartissent le long des barres et on n'observe pas ce phénomène de localisation. On peut montrer que le fait d'adapter la pente descendante en fonction de la taille des éléments revient en fait à décréter qu'il y aura une fissure par élément, c'est-à-dire à fixer l'écartement des fissures. Ainsi, dans la partie d'une poutre ou d'une dalle soumise à moment constant, on aura, numériquement, d'autant plus de fissures que les éléments seront petits. Le résultat sera tout sauf objectif et on aura obtenu l'effet inverse de celui qui est recherché.

Pour tendre vers l'objectivité dans les structures où la fissuration est répartie, il convient donc d'abandonner le concept de la mécanique de la rupture et de revenir au concept plus traditionnel de la fissuration "tartinée", le smeared cracking. Le comportement post critique du béton en traction est ainsi représenté par une droite dont la pente ne dépend pas de la taille des éléments. C'est ce qui est introduit dans le programme SAFIR pour les structures soumises à l'incendie.

Il faut remarquer que la courbe d'écrouissage en traction est unique pour les deux directions. En conséquence, une "fissuration" dans une direction fait également diminuer la résistance à la traction dans la direction perpendiculaire. Pour découpler les deux sens de traction, il faudrait considérer séparément les deux plans de la surface de Rankine. Cela n'a pas été fait dans le modèle en son état actuel et ne sera entrepris que s'il devenait nécessaire de modéliser des structures où la résistance à la traction du béton intervient pour une part significative dans la manière de transmettre les efforts. Si c'était un jour le cas, bien des phénomènes, négligés ici pour le cas des températures élevées, devraient aussi être pris en compte.

En compression, on considère également un écrouissage négatif linéaire dont la pente est choisie en fonction des valeurs recommandées par l'Eurocode 4 [EC-42]. La taille des éléments n'est pas prise en compte car les données expérimentales sur l'énergie de rupture en compression sont déjà très rares à température ambiante, voir par exemple [VO92], et inexistantes à température élevée.

3.3.2.3 Intégration

On a expliqué au paragraphe 3.3.1.6 la manière dont on tient compte, d'un pas de temps à l'autre, de la variation de température sur la loi constitutive. L'explication était donnée pour le cas des lois uniaxiales mais, si le fluage n'est pas considéré de manière explicite, on

peut généraliser la technique au cas des lois multiaxiales. La figure 3.27 illustre la manière dont on procède.

Fig. 3.27 : Première itération lors d'un pas de temps

Examinons le comportement du matériau en un point d'intégration d'une structure qui, à l'instant tn, est en équilibre. La loi constitutive est caractérisée, à la température Tn, par la

surface de plasticité et la courbe d'écrouissage non linéaire représentées à la figure. En retranchant de la déformation totale la déformation initiale et la déformation thermique, on peut calculer la déformation mécanique représentée par le point 1 sur la figure 3.27b. La connaissance de la contrainte, point 1 sur la figure 3.27a, et des propriétés élastiques à la température en question permet le calcul de la déformation plastique, représentée par le point 2 sur la figure 3.27b.

Lorsque la température change pour, par exemple, s'élever à la température Tn+1, il est

possible de déterminer la nouvelle surface de rupture qui y correspond à partir de la nouvelle courbe d'écrouissage, en supposant, comme pour les lois uniaxiales, que la déformation plastique n'est pas affectée par la variation de la température, c'est-à-dire que la déformation plastique équivalent n'est pas modifiée.

Dans l'algorithme chargé d'étudier la structure au niveau global, on suppose que la structure est bloquée lors de la première itération de chaque pas de temps. Comme la déformation thermique est affectée par la variation de température, la déformation mécanique change. Elle est maintenant représentée par le point 3 sur la figure 3.27b. Le segment 2'-3 représente l'augmentation de déformation thermique entre les températures Tn et Tn+1. Il est

incliné à 45° sur les axes ce qui reflète le caractère hydrostatique de la déformation thermique.

Dans la sous-routine chargée de calculer la contrainte et la matrice tangente, on transmet la déformation mécanique, point 3 de la figure 3.27b, et non l'incrément de déformation, mais on considère que le matériau n'est pas chargé. Au lieu du trajet 1-3, on fait parcourir au matériau le trajet 1-2-3. Pour passer de l'état non chargé, point 2, au point 3, on utilise le formalisme et les algorithmes de la théorie de la plasticité incrémentielle établis pour

la situation isotherme. Dans le programme SAFIR, c'est le schéma d'intégration d'Euler Backward qui a été programmé par C. Doneux. Il n'y a aucun problème à traiter un pas de grande amplitude, 2-3, car la majeure partie, 2-2', est élastique. Dans certains cas, le point 3 se situe même en régime élastique.

Lors des itérations suivantes, la température ne change plus. La déformation totale change sous l'effet des forces hors équilibre mais, à chaque itération, on va repartir de la situation non chargée, point 2.

Après l'obtention de l'équilibre, si le point 3 reste à l'extérieur de la surface de rupture initialement calculée à la température Tn+1, il y a eu augmentation de l'écrouissage et il faut en

tenir compte, c'est-à-dire actualiser la déformation plastique, la déformation plastique équivalente et la surface de rupture.

3.4 CONCLUSIONS

Concernant les propriétés thermiques des matériaux, on a surtout commenté les recommandations publiées dans les Eurocodes à propos de l'acier et du béton, en essayant, quand c'était possible, de les éclairer d'un jour nouveau.

Pour les propriétés mécaniques de ces matériaux sous des sollicitations, les modèles présentés dans les Eurocodes ont aussi été présentés et replacés dans leur contexte historique. On a montré comment certains travaux menés à Liège ont influencé le contenu des documents actuels. On s'est attardé un peu plus longuement sur des investigations récentes qui pourraient influencer leur contenu futur. La première, de nature bibliographique, porte sur la résistance rémanente du béton après échauffement et refroidissement, la deuxième, de nature expérimentale, porte sur les dilatations thermiques du béton en cours de refroidissement et la troisième, de nature théorique, porte sur la déformation ultime du béton, c'est-à-dire aussi sur la raideur des lois contraintes-déformations. Différents aspects algorithmiques ont été abordés sur la manière d'utiliser les lois de comportement en cas de changement de sens de la sollicitation et de température variable.

Concernant les propriétés en cas de sollicitations multiaxiales, on a expliqué que le choix de la surface de plasticité pour le béton avait été subordonné à la stabilité des schémas d'intégration. On a montré que les courbes d'écrouissage positif avaient été choisies pour reproduire au mieux les mêmes lois que celles des Eurocodes lorsque la sollicitation est uniaxiale. On a discuté des différences entre l'approche de la mécanique de la rupture et celle du smeared cracking pour l'écrouissage négatif. Enfin, on a monté une manière particulière