DIFFERENCES FINIES

La méthode des différences finies est typiquement celle des programmes établis spécialement pour résoudre un problème particulier, probablement parce qu'il s'agit d'une méthode où l'écriture des équations est assez naturelle et intuitive et parce qu'elle s'applique bien au cas des géométries régulières. T.T. Lie, par exemple, l'utilise pour le calcul des températures au sein des poteaux en profilés laminés [LI90a], dans les colonnes faites de tubes circulaires remplis de béton non armé [LI90b] ou armé [LI94] et dans les colonnes en béton armé rectangulaires [LI90c] ou rondes [LI91]. Si la méthode s'applique bien au cas des géométries particulières, cela constitue aussi sa principale limitation. Un programme écrit pour une section circulaire n'est pas applicable pour une section rectangulaire. C'est pourquoi cette technique est surtout utilisée dans les programmes à vocation bien précise et très peu dans des programmes à vocation générale.

Dans notre thèse de doctorat [FR87], nous utilisions un schéma d'intégration temporelle explicite et une discrétisation parallèle à un système d'axes orthogonal, ce qui convient bien à l'analyse des sections mixtes acier-béton constituées de profilés en double té laminés, voir figure 4.1. L'équation donnant la variation de la température au sein de chaque maille durant un intervalle de temps est la suivante :

c_{i i i i} j j i i, j i, j i, j j,i V T t (T T ) S R (L , L ) ρ ∆ =∆

∑

avec ci chaleur spécifique du matériau de la maille i,

ρi masse volumique du matériau de la maille i,

Vi volume de la maille i, (= dxi dyi sur la figure 4.1),

∆Ti incrément de température dans la maille i,

∆t incrément de temps,

j une maille adjacente à la maille i,

T température,

Si,j une surface perpendiculaire au flux entre les mailles i et j (= dyi pour j = 1

sur la figure 4.1),

Ri,j résistance thermique entre les mailles i et j, et

Li,j une longueur caractéristique de la maille i dans la direction de j

(= dxi

dxi j = 1 i j = 2 j = 3 j = 4

Fig. 4.1 : Mailles rectangulaires

A l'usage, il est apparu très rapidement que des mailles triangulaires seraient très utiles pour représenter des frontières obliques, voir figure 4.2. Cette maille de frontière triangulaire a été introduite à Liège par Cajot dans le programme CEFICOSS et elle se révèle d'une très grande utilité.

j = 3

Fig. 4.2 : Mailles triangulaires à la frontière

Dans le cas des mailles triangulaires de surface, on utilise l'équation 4.1 avec les valeurs suivantes : S_{i j, 1} 2dyi 3 = L_{i j, 1} dxi 3 = S_{i j, 2} 2dxi 3 = L_{i j, 2} dyi 3 = V_i = dx dyi i 2 (4.2) S_{i j, 3} =(dx_i2 +dy_i2 0 5) , L V S i j i i j , , 3 3 2 3 =

Plus récemment s'est posé le problème de la résistance au feu de palplanches métalliques utilisées dans des parkings souterrains. Quatre essais ont été réalisés dans le Service des Ponts et Charpentes, en collaboration avec le Service de Géomécanique de l'Université de Liège pour la mise en place des sols. Un rideau formé de 2 palplanches a été placé contre le four de manière à former une des parois verticale du four, comme c'est l'usage pour tester les éléments séparants. Une épaisseur de 70 cm. de sol a été placée en contact avec l'acier des palplanches, à l'extérieur du four. Deux tests ont été réalisés avec du sable et 2 tests avec un sol argileux. Chacun des sols a été mis en place à l'état saturé d'eau puis, pour un deuxième test, à l'état non saturé. Pour modéliser le problème thermique à l'aide du programme basé sur les différences finies, CEFICOSS a été modifié de manière à permettre la discrétisation par des cellules dont les frontières sont obliques par rapport à l'un des axes orthogonaux mais restent parallèles à l'autre axe. La figure 4.3 indique de manière schématique que les frontières des cellules sont obliques, non seulement au bord de la section mais aussi à l'intérieur de celle-ci.

A B j = 1 dyi i C D e g h m

Fig. 4.3 : Mailles obliques

Dans le cas des mailles obliques, on utilise l'équation 4.1 avec les valeurs suivantes :

V_i =dy_i (DA+CB) 2 S_i,j1 = gm L V 2 AB i, j1 = i (4.3) S_i,j2 = he L_{i, j2} dyi 2 =

Il a été vérifié que les équations 4.3 conduisent au même résultat dans le cas d'un flux unidirectionnel, lorsque la section est modélisée des 4 manières différentes représentées à la figure 4.4. Les isothermes sont parallèles à la face exposée avec les 4 discrétisations.

b

b b

b

Fig. 4.4 : Flux unidirectionnel

Ce type de discrétisation avec mailles obliques constitue probablement un cas extrême au-delà duquel la complication des équations et de la programmation est telle qu'il est préférable d'utiliser la technique des éléments finis. Dans le cas de volumes, toute discrétisation irrégulière rend difficile l'utilisation des différences finies.

Un des avantages souvent mis en avant pour la méthode des différences finies est la facilité d'introduction des données et de présentation des résultats. Dans le cas des figures 4.1 et 4.2, par exemple, il suffit de donner l'épaisseur des différentes couches de cellules horizontales et verticales pour définir la géométrie. L'introduction de la géométrie est déjà plus compliquée dans le cas de la figure 4.3. En réalité, cette simplicité est liée à la régularité du maillage et, pour peu qu'on s'en tienne à un maillage régulier, il est également possible de faciliter l'introduction des données même si on résout le problème par la méthode des éléments finis. Cet avantage ne peut donc pas être retenu.

Par contre, il existe une totale cohérence entre le fait de considérer pour le problème thermique une seule température pour chaque cellule, calculée en son centre et supposée uniforme sur celle-ci, et le fait d'intégrer les propriétés mécaniques d'une section par la méthode des rectangles où on suppose que la contrainte et la raideur sont uniformes sur chaque cellule. C'est ce qui est fait pour l'élément fini de type "poutre" où on utilise la même discrétisation pour la section droite dans le problème statique et dans le problème thermique.

Un autre aspect confortable de la méthode des différences finies est l'absence d'oscillation spatiale dans la solution. Même dans les cas où la sollicitation présente la forme d'une variation brutale du type escalier comme c'est le cas au début des courbes d'incendie nominal de type ISO, et quelle que soit la taille des cellules au voisinage de la frontière, on n'observe pas d'oscillation spatiale. Les températures sont les plus élevées au voisinage de la frontière et décroissent vers l'intérieur de la surface ou du volume. Cela est dû au fait que, dans la discrétisation spatiale, il n'y a pas de couplage entre les termes capacitifs des différentes mailles.