Comme le mod`ele Ccc donne de bons r´esultats, il est l´egitime de regarder si les prin- cipales propri´et´es des dunes barchanes ´eoliennes sont retrouv´ees, `a savoir, les relations affines entre h, w et l et la relation affine entre c et 1/h. Pour les r´esultats de cette section, les diff´erentes configurations utilis´ees sont r´ecapitul´es dans le tableau suivant 3.3.
A = 4.7 effet de courbure µa = 0.5 pente d’avalanche
B = 5.0 effet de pente µs= 0.25 pente de s´eparation
D = 0.1 effet de diffusion dt = 0.001-0.1 r´esolution temporelle E = 50-200 param`etre d’avalanche dx = 0.25 -1.0 r´esolution spatiale Nx = 64 - 1024 taille de la grille
3.3.1 Morphologie
Pour ce jeu de param`etres particulier, toutes les propri´et´es des barchanes ´enonc´ees dans le premier chapitre sont retrouv´ees. Ainsi, la hauteur, la largeur et la longueur sont reli´ees de mani`ere affine. En particulier, le rapport d’aspect vertical est de l’ordre de 1/10, tandis que le rapport d’aspect entre longueur et largeur est de l’ordre de l’unit´e. Ceci reste vrai tant que les barchanes consid´er´ees sont grandes devant la longueur de saturation ls.
L’existence d’une taille minimale est ´egalement observable : pour des longueurs de quelques ls la hauteur des formes d’´equilibre obtenues est nulle : aucune solution n’est stable.
Fig. 3.15 – Forme des barchanes pour A = 4.7,B = 5.0,D = 0.1. (a) hauteur en fonction de la largeur. (b) hauteur en fonction de la longueur. Pour les dunes grandes devant la taille minimale, on retrouve une relation affine entre h, w, et l.
De mˆeme le graphique suivant montre que la longueur et la largeur sont reli´ees de mani`ere affine et que le volume des dunes varie asymptotiquement comme w3, comme pour le cas ´eolien [23]. En effet, l’expression suivante reproduit bien le volume des barchanes num´eriques :
110 Propri´et´es d’une barchane num´erique
avec b ' 0.011 et wv = 22.9. Notons au
Fig. 3.16 – Volume des barchanes num´erique. Le volume varie comme le cube de la largeur pour des dunes assez grandes. La non invariance d’´echelle des barchanes est visible pour les petites dunes.
passage que l’on retrouve le comportement non homoth´etique des dunes au voisinage de la taille minimale dans l’analyse du vo- lume. Mˆeme si nous ne connaissons pas a priori la longueur de saturation, celle ci doit ˆetre de l’ordre de quelques m`etres. Ainsi, les donn´ees de terrain, d´ej`a utili- s´ees pour valider l’approche exp´erimentale, ont ´et´e report´ees sur les graphiques de la Fig. 3.15 en consid´erant que ls ∼ 1m. Les
rapports d’aspects sont effectivement du mˆeme ordre, mais en revanche les courbes h = f (w) se comparent mal. Ceci tient pro- bablement au fait, qu’il faut ”r´egler” le co- efficient de diffusion D, pour obtenir une meilleure ad´equation entre le mod`ele nu- m´erique et les mesures de terrain. En utili- sant ls= 3.5m (voir plus bas), les donn´ees
de volume en fonction de la largeur, mesur´ees par Sauermann et al [23] sont cependant en bon accord avec les r´esultats du mod`ele Ccc .
3.3.2 D´eplacement stationnaire
Enfin, il est naturel de v´erifier que
Fig. 3.17 –Propagation des barchanes. La vitesse d´epend visiblement de la largeur de fa¸con hyperbolique. Il en est de mˆeme pour la hauteur, puisque les grandeurs sont toutes reli´ees de mani`eres affines.
les barchanes se d´eplacent avec une vitesse inversement proportionnelle `a leur dimensions (largeur, hauteur ou longueur) et font apparaˆıtre comme pour les donn´ees de terrain une vitesse li- mite pour un tas de hauteur nulle. Ainsi, la meilleure r´egression lin´eaire donne une relation de la forme.
c = aQ
w + wc
∼ aQ
w (3.44)
o`u a = 56 et wc = 9.5m. Dans la r´e-
gion de Tarfaya, une analyse du d´epla- cement de plusieurs dunes [123] per- met d’estimer Q ∼ 66m2/an. Les vi- tesses des barchanes de cette r´egion se comparent alors bien aux vitesses des barchanes num´eriques, pourvu que ls ∼ 3.5m. C’est avec cette valeur que
les donn´ees de volume de Sauermann ont ´et´e renormalis´ees sur le graphique Fig. 3.16.
Notons que la conservation de la masse en trois dimensions ne permet pas de relier aussi facilement qu’en deux dimensions, le flux de sable `a la crˆete, la hauteur de la dune
et la vitesse de celle-ci. Cette difficult´e vient du fait que maintenant une partie du flux de sable ne sert pas `a faire avancer la dune mais `a ´evacuer vers les bords l’ensemble du sable incident. En effet, en consid´erant une forme propagative et stationnaire, h(x − ct,y,t), l’´equation de conservation de la mati`ere s’´ecrit :
c = ∂xqx+ ∂yqy ∂xh
(3.45) ce qui en utilisant notre description du flux lat´eral peut se r´e´ecrire :
c = ∂xq − Dˆ − → ∇(ˆq−→∇h) ∂xh (3.46) L’int´egration de l’´equation de conservation de la masse sur l’axe de sym´etrie de la barchane donne en ´eliminant les termes en ∂yh (nuls par sym´etrie):
cH = qc− qin− D
Z xc
−∞
q(x)∂yyh dx (3.47)
ce qui en terme de comportement varie comme : cH ' (qc− qin) 1 −Dhl w2 ' (qc− qin)(1 − D/10) (3.48)
Ainsi, pour les grandes barchanes la vitesse varie effectivement comme l’inverse de sa hauteur. Ce r´esultat est parfaitement compatible avec la discussion que nous avions eu sur le lien entre l’inverse de la longueur d’une barchane et sa vitesse. En effet, ici nous nous int´eressons `a des barchanes `a l’´equilibre et qui sont toutes isomorphes en premi`ere approximation (en tout cas pour les dunes grandes devant ls), de ce fait le rapport d’aspect
Fig. 3.18 –Profil de la dune, h, enveloppe, he, flux de sable, q et flux satur´e qsat. (a) tranche centrale de
la barchane : q est en retard sur qs, une cellule de recirculation et une face d’avalanche sont pr´esentes, le
flux d’entr´ee qinest non nul, alors que le flux de sortie est nul pour cette tranche. (b) tranche d’une corne :
le flux est toujours en retard sur le flux satur´e mais il n’y a pas de d´ecollement de couche limite. Le flux de sortie est non nul pour cette tranche. Dans les deux cas, le flux q, est maximum avant le sommet.
h/l est identique pour toutes les tailles de dunes, et il est possible ici de prendre n’importe quelle grandeur (h, l ou w) pour caract´eriser la vitesse. Autrement dit, `a morphologie comparable, la distinction entre l et h que nous avions pr´esent´e dans le chapitre 2 n’a plus lieu d’ˆetre. De plus, par rapport au mod`ele bidimensionnel, il est `a pr´esent possible de prendre en compte l’existence d’un flux incident : plus le flux incident est grand, plus la barchane est lente. Ce constat est en parfait accord avec l’existence d’un flux satur´e : `a mˆeme vitesse de vent, l’´erosion doit ˆetre d’autant plus faible que le flux incident est grand.
112 Rˆole de la diffusion et solutions de type dˆomes
L’´equation de conservation de la masse montre enfin que q n’a plus aucune raison d’ˆetre maximal au sommet de la dune! Au contraire, il est bien l´eg`erement en retard par rapport au flux satur´e mais son maximum est atteint avant le sommet comme le montre la figure Fig. 3.18. Nous pouvons nous en convaincre en explicitant la d´eriv´ee du flux r´eel au sommet `a partir de l’´equation pr´ec´edente :
∂xq|xs = Dq|xs∆h|xs (3.49)
or au sommet de la dune ∆h < 0 et le flux de sable est bien maximum avant le sommet de la dune. Ce d´ecalage est d’autant plus grand que le coefficient de diffusion local effectif Dq|xs est grand et d’autant plus faible que la dune est ´etal´ee.