Ecoulement sur une bosse 2D de faible amplitude

Le probl`eme de d´epart est le suivant :

Fig. 3.2 – Ecoulement sur une bosse et pincement des lignes de courant. Pour un fluide parfait, sans frottement au niveau de la surface, il est possible d’estimer au premier ordre perturbatif le frottement pari´etal le long de la dune

comment d´ecrire l’´ecoulement de l’air lors- qu’il passe sur une bosse 2d de faible rap- port d’aspect vertical. En r´ealit´e, il nous suffit d’estimer le frottement pari´etal, τ , puisque c’est au niveau du sol qu’ont lieu les ph´enom`enes d’´erosions. Consid´erons donc un ´ecoulement bidimensionnel, dont le champ de vitesse est d´efini par les composantes u et v, sur une bosse h(x) = Hf (x/L). Les ´equations de Navier-Stokes s’´ecrivent alors : u∂xu + v∂zu = − 1 ρ∂xP + ν∆u (3.1) u∂xv + v∂zv = − 1 ρ∂zP + ν∆v (3.2)

o`u ν est la viscosit´e cin´ematique. Dans le cas d’un fluide parfait, les termes de dissipation deviennent n´egligeables et il est possible de mener un calcul perturbatif au premier ordre en H/L.

calcul `a l’ordre 1 Consid´erons les composantes u = U (Z) + u1(x,Z) et v = v1(x,Z) o`u

Z est la hauteur compens´ee Z = z − h(x,t). La bosse est suppos´ee suffisamment plate, H << L, pour que u1 << U et v1 << U . L’´equation d’Euler lin´earis´ee `a l’ordre O(1)

devient : U ∂xu1 = − 1 ρ∂xP (3.3) U ∂xv1= − 1 ρ∂yP, (3.4)

et l’´equation de continuit´e s’´ecrit :

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En n´egligeant les termes d’ordres O(2) les ´equations pr´ec´edentes se r´esument `a r´esoudre :

∆v1 = 0 (3.6)

qui apr`es r´esolution et utilisation de l’´equation de continuit´e donne [105] u1= U π Z +∞ −∞ ∂xh(x0) x − x0 dx 0 . (3.7)

Ainsi, il est relativement ais´e d’obtenir la variation au premier ordre de la vitesse au niveau du sol pour un ´ecoulement `a grand nombre de Reynolds. Physiquement, cette perturbation d´epend de la forme enti`ere de la bosse ce qui s’exprime par un terme non local. La diff´erence de vitesse entre le sommet de la bosse et son pied ne d´epend alors que de la forme de la bosse et pas de sa taille, ce qui est coh´erent avec un ´ecoulement sans ´

echelle caract´eristique interne. En prenant en compte l’´equation de la conservation de la masse ∂th + ∂xq = 0, et en assimilant le flux satur´e, qsat au flux r´eel, q, l’´evolution du relief

d’une bosse bidimensionnelle, est alors r´egi par une ´equation du type : ∂th = −Q∂x A π Z +∞ −∞ ∂xh(x0) x − x0 dx 0_{. (3.8)}

La r´esolution de cette famille d’´equations montre qu’une bosse sur un fond meuble se transforme en un train d’onde [105]. En d’autres termes, il y a un fort effet dispersif et la bosse, loin de se transformer en une dune compacte, s’´etale. De plus contrairement aux observations de terrain (voir chapitre 1) la vitesse de l’´ecoulement est maximale au sommet de la dune. Ce petit calcul est donc trop l´eger pour pouvoir mod´eliser l’existence d’une solution stationnaire pour le relief.

Fig. 3.3 – Principe du calcul de Jackson & Hunt [106, 107]. L’´ecoulement est ´etudi´e par domaines et les conditions aux limites entre chaque domaines, permettent in fine d’obtenir le profil des vitesses. En particulier, il est possible d’obtenir la vitesse du fluide dans la couche proche du sol (IS) o`u ont lieu les processus d’´erosion. Ce calcul de type ”matching asymptotique” est absolument non trivial.

calcul ´evolu´e Il est possible par des techniques de calcul plus complexes, de d´eterminer plus pr´ecis´ement la perturbation en vitesse induite par le d´efaut du relief. C’est notamment ce qu’ont r´ealis´e Jackson & Hunt [106] puis Hunt et al. [52,107] (voir aussi [57,58,108]). Leur calcul repose sur la d´etermination de l’´ecoulement turbulent par domaine (voir Fig. 3.3). Le

travail de th`ese novateur de Sauermann [32] a ´et´e d’extraire de ce calcul les effets physiques dominants et ”d’oser” les utiliser au cas de la barchane, o`u d’une part le rapport d’aspect du relief est trop grand pour rentrer dans les approximations h/l << 1, et d’autre part o`u on observe l’existence d’une s´eparation de couche limite incompatible avec le calcul de Jackson et Hunt. L’expression du frottement pari´etal perturb´e par la dune s’´ecrit :

τ τ0 = 1 + A π Z +∞ −∞ ∂ξh (x − ξ)dξ + B∂xh(x) (3.9)

Nous retrouvons le terme int´egral de l’analyse pr´ec´edente plus un nouveau terme, local, B∂xh, qui prend en compte la d´ependance de la vitesse avec la pente locale. Ce dernier

terme peut ˆetre interpr´et´e en disant que le fluide frotte plus sur la face aval (qui lui fait obstacle) que sur la face abrit´ee, qui le laisse s’´echapper. D’autres mod´elisations, d´eriv´ees diff´eremment proposent de rajouter directement le terme en B∂xh au calcul d’ordre O(1)

par des consid´erations d’efficacit´e d’´erosion en fonction de la pente locale [109,110], lorsque le relief s’oppose `a l’´ecoulement l’´erosion doit ˆetre plus importante [111, 112], d’o`u au pre- mier ordre un terme suppl´ementaire, ind´ependant de l’acc´el´eration du fluide, et variant comme ∂xh.

Bilan du mod`ele de l’´ecoulement

Ainsi d´ecrit, l’´ecoulement poss`ede les mˆemes

Fig. 3.4 –Frottement pari´etal sur une bosse gaus- sienne. (a) partie sym´etrique issue du resserrement des lignes de courant (effet de pression). (b) partie dissym´etrique. (c) profil global : le frottement pari´e- tal est l´eg`erement d´ephas´e par rapport au profil de la dune, conform´ement aux observations de terrain. D’apr`es [83]

propri´et´es de base que l’´ecoulement turbu- lent responsable de la formation des dunes dans le d´esert : il ne poss`ede pas d’´echelle de longueur interne et sa vitesse est maxi- male l´eg`erement avant le sommet pour une bosse sym´etrique. Cette dissym´etrie provient justement du terme de pente local, alors que le terme non local est lui sym´etrique et ne prend donc en compte que le pince- ment des lignes de courant au passage du relief. Par exemple, avec une bosse gaus- sienne, f (ξ = x/L) = exp −ξ2, l’expres- sion du frottement pari´etal (calcul´ee par Kroy [83]) s’´ecrit : τG= τ01 + 2A  1 √ π − ξ(B + erf iξ)f (ξ)  (3.10) ce qui se d´ecompose en une partie sym´e- trique et une partie dissym´etrique, comme le montre la Fig. 3.4. C’est ce d´ephasage entre le frottement pari´etal et le relief qui fournit l’origine de l’instabilit´e d’un lit de sable soumis `a l’action du vent [83,104]. Remarquons que l’´etude des instabilit´es granulaires sous-marines comme les rides montrent que le moteur de l’instabilit´e est ´egalement le d´ephasage entre le frottement pari´etal, et le relief [57, 58, 70]. Cette remarque montre donc que le m´ecanisme d’instabilit´e pour les dunes est bien le mˆeme dans l’eau et dans l’air, ce qui nous permettra de comparer les r´esultats num´eriques avec les exp´eriences.

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