Ainsi, il est n´ecessaire de faire intervenir dans cette ´etude des m´ecanismes d’interaction de dunes autres que les interactions lointaines par le flux. L’explication du m´ecanisme d’instabilit´e pr´ec´edent laisse d’ailleurs penser que les rang de dunes de plus en plus petites vont finir par rencontrer le rang de dune en aval plus lent. Nous allons maintenant inclure les collisions de barchanes.
5.4.1 Collisions absorbantes
Fig. 5.11 – Instabilit´es par les collisions absorbantes: principe. (a) configuration de d´epart, o`u toutes les dunes font la mˆeme taille, `a l’exception d’une l´eg`erement plus grosse. (b) La dune en question croˆıt continˆument, `a cause des collisions absorbantes des dunes incidentes. Il ne reste qu’une grosse barchane.
Une premi`ere approche consiste `a consid´erer une collision molle o`u la dune incidente est absorb´ee par la dune impact´ee. Pour ´etudier cette situation, on consid`ere un champ totalement homog`ene, de densit´e N et comprenant une dune de taille l´eg`erement diff´erente w = (1+η)w∞. Comme elle est l´eg`erement plus grosse que les autres dunes de taille w∞, des
collisions peuvent apparaˆıtre, entraˆınant une variation de son volume. Plus pr´ecis´ement, le volume de cette dune particuli`ere varie suite `a trois ph´enom`enes : l’apport de sable par le flux, φin= qw, la perte de sable par les cornes, −φout et l’addition de dunes par collisions.
L’accroissement de volume dˆu aux collisions se calcule en d´eterminant le nombre de dunes qui vont impacter la dune cible pendant un temps dt, c’est `a dire le nombre de dunes pr´esent dans la surface (w + w∞)(c∞− c)dt. Le bilan de mati`ere pour cette dune un peu
plus large s’´ecrit : ˙
V = qw − Q(αw + ∆) + N∞V∞(w + w∞)
aQ(w − w∞)
ww∞
(5.30) ce qui peut se r´e´ecrire en introduisant une densit´e critique de dune Nc:
Nc = −∆ 2abw0 ∞ = signe(∆) ∆ 2abw2 ∞ (5.31) on obtient alors : τvη =˙ 6 − (2 + η) 2(1 + η) N∞ Nc η (1 + η)2 (5.32)
154 Instabilit´e par les collisions
Nc n’est une densit´e ”physique” que pour le cas o`u les dunes sont individuellement
stables (∆ < 2). Ceci n’est pas particuli`erement gˆenant, puisque pour le cas o`u les bar- chanes sont individuellement instables, le champ de dune est de
toute mani`ere instable vis `a vis des
Fig. 5.12 – Taux de croissance de l’instabilit´e en fonction de l’amplitude de la d´eformation initiale. Le cas des dunes individuellement instable est sans appel (∆ > 0). Pour les dunes individuellement stables, il apparaˆıt une zone d’instabilit´e si la densit´e de dunes est trop importante.
collisions. Par contre, mˆeme dans le cas des dunes stables, le champ de dunes peut devenir instable. En effet, au voi- sinage de η = 0, le taux de croissance σ = ˙η/η s’´ecrit :
|τv|σ =1 + N∞ Ncsigne(∆)
signe(∆) Une dune l´eg`erement plus large que la moyenne a le temps entre deux collisions de r´ecup´erer sa taille ”normale” en per- dant du sable par les cornes. Il n’y a alors plus de collision et le champ reste stable et stationnaire. En revanche si la densit´e de dunes est trop importante (N > Nc), l’apport de mati`ere par collisions
l’emporte sur la perte de mati`ere par les cornes, et la barchane devient instable : elle ne r´ecup`ere jamais sa taille ”nor- male” avant qu’une autre collision ne se produise. Ainsi, pour de trop grande densit´e, les champs de barchanes devraient ˆetre instable et se transformer en une gigantesque dune. Or, dans la r´egion de La’ayoune repr´esent´ee sur la Fig. 5.2, la densit´e des dunes varie entre 8.1/w∞2 et 1/w∞2 , `a comparer `a Nc ∼ 0.186 /w2∞ pour des dunes de 25 m. Cette densit´e
critique correspond `a 467 barchanes de 20 m de large (ou 4 dunes de 100 m) par kilom`etre carr´e ce qui est peu dense. Si les collisions de barchanes ´etaient des collisions absorbantes la plupart des corridors de barchanes seraient instables, que les barchanes soient ou non individuellement stables .
5.4.2 Collisions complexes ?
En r´ealit´e les collisions de barchanes ne sont pas n´ecessairement absorbantes [124,125]. D’apr`es [124] les collisions peuvent ˆetre soit absorbantes soit de type ”soliton”, la barchane incidente traversant la barchane cible. Nous verrons, plus tard dans cette th`ese qu’il n’en ait rien et qu’une collision de dunes repose sur des m´ecanismes non triviaux du point de vue des ´echanges de mati`eres. Pour l’instant il est raisonnable de penser que le r´esultat d’une collision binaire c’est encore deux dunes, mais dont les volumes ont vari´e. Appelons di et dc les dunes impactante et cible. Il existe deux types de situations tr`es diff´erentes.
Dans un premier temps, la dune cible peut grossir `a cause de la collision (cas (A) de la Fig. 5.13). Le bilan de masse s’´ecrit alors :
m0i= (6 − )mi (5.33)
m0c = mc+ mi (5.34)
Dans ce cas, l’analyse pr´ec´edente est encore valable. En effet, le moteur de l’instabilit´e est identique, sauf qu’il faut plus de collisions pour faire grossir et donc d´estabiliser la dune
Fig. 5.13 –Collisions complexes. (A) la collision participe au grossissement de la dune impact´ee. (B) la collision participe au grossissement de la dune impactante.
cible si elle est stable individuellement, ce qui revient `a changer la valeur de la densit´e cri- tique Nc. Notons tout de mˆeme que pour la partie avale du champ de dunes, l’effet doit
ˆetre plus important encore puisque la petite dune di continue de se propager spatialement
sur plusieurs rang´ees de barchanes avant d’ˆetre finalement compl`etement absorb´ee par une collision molle.
La deuxi`eme possibilit´e (cas (B) de la Fig. 5.13) correspond `a une diminution du volume de la dune cible lors d’une collision. La question de la stabilit´e doit ˆetre revue enti`erement puisque ce nouveau m´ecanisme collisionnel est stabilisant. Le bilan de masse s’´ecrit de la mˆeme mani`ere mais avec cette fois ci, < 0 :
m0i = (1 − )mi (5.35)
m0c = mc+ mi (5.36)
Dans les deux cas, tout le calcul expos´e pr´ec´edemment pour les collisions absorbantes reste valable en changeant l’apport de masse lors de chaque collision avec un facteur . Si > 0, on est dans un cas de gain de mati`ere pour la dune cible et sinon, dans un cas de perte de mati`ere. L’´equation de conservation de la masse s’´ecrit alors :
˙
V = qw − Q(αw + ∆) + N∞V∞(w + w∞)
aQ(w − w∞)
ww∞
, (5.37)
et en se basant sur le calcul pr´ec´edent : τvη =˙ 1 − (2 + η) 2(1 + η) N∞ Nc η (1 + η)2 (5.38)
Au commencement de l’instabilit´e (η = 0), le taux de croissance σ = ˙η/η, s’obtient en lin´earisant l’´equation pr´ec´edente :
|τv|σ = 1 + N∞ |Nc|signe(∆) signe(∆) (5.39)
On retrouve bien pour = 1 la situation des collisions absorbantes. Et pour > 0 les conclusions restent identiques sauf que la densit´e critique n´ecessaire pour d´estabiliser un champ de barchanes individuellement stable devient Nc0 = Nc
(comme chaque collision a
une influence moindre sur le grossissement de la dune que l’on ´etudie celle ci reste stable mˆeme pour des densit´es de dunes plus ´elev´ees). Mais, maintenant, il est ´egalement possible d’´etudier le cas, moins trivial, o`u les collisions ont un effet naturellement stabilisant c’est `
156 Instabilit´e par les collisions
Fig. 5.14 – Taux de croissance de l’instabilit´e en fonction de l’amplitude de la d´eformation initiale pour des collisions stabilisantes. (a) dunes individuellement instables, faible densit´e. (b) dunes individuellement instables, forte densit´e. (c) dunes individuellement stables.
Dans le cas d’un champ de barchanes stables individuellement, c’est `a dire pour ∆ < 0, le taux de croissance σ = ηη˙ est tout le temps n´egatif : le flux et les collisions agissent dans le mˆeme sens pour ramener la dune ´etudi´ee l´eg`erement plus grosse `a la taille de ces voisines. Dans le cas o`u les barchanes sont individuellement instables (comme celle simul´ees par le Ccc mod`ele), il est possible d’obtenir des couloirs stables puisque les collisions sont stabilisantes. Plus pr´ecis´ement, le taux de croissance pour une petite d´eformation devient pour le cas instable (∆ > 0) :
|τr|σ = 1 − N∞ Nc (5.40) Pour une situation peu dense, le taux de croissance est positif et la situation instable, la dune particuli`ere que l’on ´etudie continuant `a grossir ind´efiniment. L’effet d´estabilisant, c’est `a dire le diff´erentiel entre l’apport et la perte de sable l’emporte sur l’effet stabilisant des collisions. Si maintenant on consid`ere une situation tr`es dense, N∞ > Nc/, alors le
nombre de collisions est suffisant pour contrebalancer l’effet d´estabilisant du flux : la dune peut recouvrer sa situation de d´epart, et le champ de dune peut `a son tour revenir `a une situation stable en moyenne! En fait dans le m´ecanisme de stabilisation par collisions
∆ > 0 ∆ < 0
> 0 barchane instable barchane stable
champ instable champ instable N∞> Nc
< 0 barchane instable barchane stable champ stable (N∞> Nc) champ stable
Tab. 5.2 – Collisions et stabilisation des barchanes dans un champ de dunes
les barchanes incidentes di, qui ont servi `a ramener la barchane particuli`ere `a sa taille
d’´equilibre, ont l´eg`erement grossies. Elles sont donc susceptibles d’ˆetre impact´ees `a leur tour! L’exc`es de masse de la barchane particuli`ere se r´epartit alors progressivement dans
le champ de barchanes.
Le m´ecanisme des collisions permet ´egalement de comprendre qu’une dune qui subirait une r´eduction d’amplitude η retrouverait ´egalement son volume initial apr`es plusieurs collisions. Pour une dune avec une diminution de taille, w = (1 − η)w∞, on peut ´ecrire :
˙
V = qw − Q(∆ + αw) + Vcollisions, (5.41)
et le bilan de masse de la collision du point de vue de la dune impactante s’´ecrit :
m0i= mi+ ζmc (5.42)
m0c = (1 − ζ)mc (5.43)
o`u le param`etre ζ est l’´equivalent du param`etre , mais cette fois ci en faisant r´ef´erence `
a la masse perdue/gagn´ee par la dune cible, puisque c’est la dune impactante qui nous int´eresse. On a d’ailleurs tr`es simplement ζmc = −mi. Dans ce cas, le terme de volume
dˆu aux collisions s’´ecrit :
Vcollisions= ζN∞V∞(w + w∞)
aQ(w∞− w)
ww∞
. (5.44)
on remarquera au passage, que l’expression du terme de collisions fait intervenir maintenant (w∞− w) `a la place de (w − w∞) trouv´e pr´ec´edemment. Cette diff´erence de signe vient
directement du fait qu’on s’int´eresse ici `a la dune la plus rapide. ˙
V = qw − Q(∆ + αw) − ζN∞V∞(w + w∞)
aQ(w − w∞)
ww∞
(5.45) Par analogie avec les calculs pr´ec´edents (en changeant en −ζ), on obtient :
|τv|σ =1 − ζN∞ |Nc|signe(∆)
signe(∆) (5.46)
Dans le cas qui nous int´eresse (∆ > 0) cette expression devient : |τr|σ =1 −ζN∞
|Nc|
(5.47) Si on suppose des collisions d´estabilisantes, la petite dune est cens´ee perdre de la masse `
a chaque collision, ce qui correspond `a ζ < 0 (on peut v´erifier qu’on a bien alors > 0), et cette petite dune n’en finit pas de d´ecroˆıtre jusqu’`a disparaˆıtre. Maintenant, pour des collisions stabilisantes, on a ζ > 0 et dans ce cas, si la densit´e de dunes est suffisamment importante, cette dune va retrouver sa taille originale, en se nourrissant `a chaque collision : cette situation est ´egalement stable !
158 Conclusion