Propagation des ondes de volume

Equation de Christoffel :

En intégrant l‘équation de Hooke (2.1) dans la relation fondamentale de la dynamique,

, on obtient l‘équation d‘onde dans le cas anisotrope :

La propagation _{d‘une onde plane ̂ ̂ ( ) dans un solide} piézoélectrique est régie par l‘équation de Christoffel. Avec la lenteur s(nΨ = k(nΨ/ω (en s/mΨ et la polarisation de l‘onde ûl.

Cette équation peut se résoudre sous la forme d‘un problème aux valeurs propres avec cette équation29 :

̂ ̂ (2.19)

et avec [Γil] le tenseur de Christoffel dont les composantes sont données par l‘expression suivante29 :

(2.20)

Les vitesses de propagation des ondes planes et les coefficients de couplage électromécanique pour chaque direction dans le plan (100) sont déterminés par la résolution des valeurs propres de la matrice de Christoffel.

Pour chaque direction de propagation, on obtient trois vitesses de propagation correspondant aux racines de :

| | (2.21)

où ilest le symbole de Kronecker et V la vitesse de propagation de l‘onde.

Les trois vitesses de propagation sont notées (Va, Vb, Vc) et chacune correspond à une polarisation. Les polarisations sont orthogonales entre elles. Comme nous l‘avons vu dans la partie 1.3.2, l‘onde dont la polarisation est dans le sens de propagation est appelée longitudinale, les deux autres sont transverses. Dans les milieux anisotropes, la polarisation de l‘onde n‘est pas exactement perpendiculaire ou parallèle à la direction de propagation on parle alors d‘ondes quasi-transverses et quasi-longitudinale.

Figure 2.2: Surface des lenteurs dans le plan (100) du GaAs pour les deux modes de cisaillement quasi-transversaux (lent et rapide) et pour le mode longitudinal

ηn représente par une courbe polaire dite courbe des lenteurs l‘inverse des vitesses des ondes élastiques selon chaque direction dans un plan du cristal étudié. Les graphes des lenteurs pour le GaAs ont été simulés à l‘aide d‘un programme, SlownessBuddy 1.4 (développé par le Dr. Vincent Laude) permettant de tracer les courbes de lenteur pour les ondes de volumes et de surface grâce aux formulations de Christoffel. Ainsi la surface des lenteurs pour le plan (100) du GaAs est représentée sur la Figure 2.2.

Excitation électrique :

δ‘excitation électrique appliquée sur le matériau piézoélectrique pour générer les ondes acoustiques peut être de plusieurs types. Ces différents types d‘excitation nécessitent des configurations d‘électrodes différentes. Dans le cas le plus usuel, l‘onde est excitée par un champ électrique orienté selon l‘épaisseur du résonateur (TFE, « thickness field excitation »Ψ comme c‘est le cas dans la plupart des microbalances à cristal de quartz. δes électrodes sont alors disposées sur les deux faces opposées du matériau piézoélectrique (Figure 2.3a).

Figure 2.3: Schémas représentant les différents types d'excitation : (a) excitation dans l’épaisseur (TFE), (b) excitation par champ latéral (LFE) et (c) excitation par champ

magnétique (EMAT)188

εais d‘autres méthodes d‘excitation telles que l‘excitation par champ latéral (δFE, « lateral field excitation » représentée sur la Figure 2.3b) ou par champ magnétique (EMAT, « electromagnetic acoustic transducer » représentée sur la Figure 2.3c) sont possibles et peuvent se révéler intéressantes lorsque le transducteur est utilisé pour des applications de capteur chimique ou biologique. En effet, ces configurations permettent d‘avoir les électrodes séparées de la partie fluidique du capteur ce qui facilite les connections électriques. De plus, les électrodes ne seront pas localisées dans la région de déplacement maximum, ce qui offre une meilleure stabilité et un facteur de qualité plus élevé186,187. Nous avons choisi dans ce travail des électrodes en conformation LFE placées sur la surface opposée à la zone de capture biologique.

Coefficient de couplage électromécanique :

Le coefficient de couplage électromécanique K représente le rendement de conversion entre l‘énergie électrique et l‘énergie mécanique. Ce coefficient est propre à un matériau, à un type d‘ondes et à une orientation particulière, il a une valeur comprise entre 0 et 1 (souvent exprimée en pourcentage). Dans de précédents travaux, le coefficient de couplage optimal a été déterminé en utilisant la méthode de Christoffel-Bechmann étendue189. Sa valeur maximale a été déterminée pour les orientations <011> et <011> du champ électrique dans le plan cristallographique (100) du GaAs. Cette valeur est égale à 6.66% pour les modes de cisaillement avec une excitation par champ électrique latéral. Des

résultats similaires ont été obtenus par Söderkvist190. Parmi les trois modes de propagation et en considérant le plan d‘excitation (100Ψ seuls les modes quasi-transverses peuvent être excités par LFE car le mode quasi-longitudinal possède un coefficient de couplage électromécanique nul dans ce plan189.

Rotation des matrices

δes trois matrices d‘élasticité, diélectrique et piézoélectrique sont représentées dans un repère de référence dont les trois axes (x, y, z) correspondent respectivement aux directions cristallographique <100>, <010> et <001>. Selon la direction d‘excitation et la direction de propagation de l‘onde, ce repère doit subir une rotation à l‘aide d‘une matrice de changement de base (ou matrice de passage) afin de calculer les nouveaux coefficients correspondant à cette orientation.

La matrice de changement de base est donnée par :

| |

(2.22)

où les angles α, et sont les trois angles d‘Euler et correspondent respectivement aux rotations du repère autour de l‘axe z, autour de l‘axe ζ et autour de l‘axe Z (Figure 2.4).

Dans le modèle numérique introduit par la suite, nous aurons besoin des angles d‘Euler pour orienter les directions <011>, <011> et <100> du cristal respectivement selon les axes X, Y et Z. ηn obtiendra le plan d‘excitation normal à l‘axe Z et les deux directions possibles d‘excitation selon les axes X et Y.

δes angles d‘Euler sont indiqués dans le tableau ci-dessous :

α

45° 90° 90°

Tableau 2.2: Angles d’Euler pour réaliser la rotation du repère initial où x, y, z = <100>, <010>, <001> à un repère X, Y, Z = <100>, <011>, <011>

Fréquence de résonance :

Dans le cas des modes TSε, l‘onde acoustique se propage dans l‘épaisseur du résonateur. δa résonance est obtenue lorsqu‘une onde stationnaire s‘établit entre les deux faces du résonateur. δa longueur d‘onde doit être équivalente au maximum, au double de l‘épaisseur.

δa fréquence de résonance s‘exprime donc selon l‘équation suivante :

( ) (2.23)

où Vm représente la vitesse de l‘onde pour le mode m (longitudinal (c), cisaillement rapide et lentΨ, n l‘harmonique (avec n=1 pour la fréquence fondamentaleΨ et h l‘épaisseur du résonateur.

δa vitesse de propagation pour l‘onde quasi-transverse rapide (mode b) est donnée par :

√ _√̅̅̅̅ √

avec b la valeur propre du modeconsidéré et ̅̅̅̅ la constante d‘élasticité durcie 191. La relation fréquence de résonance/épaisseur est donc donnée par :

(2.25)

Sensibilité du TSM par ajout de masse (cas idéal) :

δ‘accumulation d‘une masse idéale à la surface du transducteur, provoque une augmentation de l‘énergie cinétique, l‘énergie potentielle reste quant à elle inchangée. ηn considère qu‘une masse idéale est suffisamment fine et rigide et que son déplacement est uniforme selon son épaisseur. δ‘hypothèse de Rayleigh énonce que « la résonance dans un

système mécanique se produit aux fréquences auxquelles la densité d’énergie cinétique maximale Uk s’équilibre avec la densité d’énergie potentielle maximale Up »192. La

fréquence de résonance va donc changer pour équilibrer les deux énergies lors d‘un ajout de masse.

δa densité d‘énergie cinétique maximale d‘un résonateur TSε est donnée par l‘équation suivante49 :

∫ | | (

) (2.26)

où ρs est la densité de masse surfacique (masse/surface) de la couche ajoutée et ux(y) et ux0 sont respectivement le déplacement de l‘onde de cisaillement et son amplitude maximale, avec

La densité d‘énergie potentielle maximale Up est donnée par49 :

δes deux densités d‘énergie étant en équilibre, on en déduit l‘expression suivante :