Modèle éléments finis

Un modèle de simulation par éléments finis (FEM, « Finite Element Method) a été élaboré pour prévoir le comportement de la structure résonante en condition idéale puis selon différentes variables environnementales. La modélisation a été réalisée avec le logiciel de simulation à éléments finis COMSOL Multiphysics®. Nous avons construit un modèle dans la physique « dispositifs piézoélectriques » du module « MEMS ». δ‘analyse des fréquences propres et l‘analyse dans un domaine de fréquences sont les deux études utilisées dans ces travaux. Les paramètres géométriques introduits dans le modèle sont indiqués dans le Tableau 2.1 et la Figure 2.8a. Pour ce modèle, nous avons choisi une épaisseur de membrane de 70µm correspondant à une des plus fines membranes réalisées par microfabrication. COMSOL Multiphysics® utilise comme convention les orientations (100), (010) et (001) selon les axes x, y et z. Nous avons donc introduit une rotation de repère selon les angles d‘Euler α=4η°, =-90° et =-λ0° afin d‘obtenir les orientations déterminées dans de précédents travaux197 _{: excitation selon <011> ou <011> et épaisseur}

de la membrane selon la direction <100>. δ‘ensemble des domaines créés a été affecté au matériau arséniure de gallium. δa masse volumique, la matrice d‘élasticité, la matrice de couplage et la permittivité relative sont préalablement incluses dans les paramètres du matériau. ζous n‘avons pas introduit de couche de chrome ou d‘or en raison de leur épaisseur négligeable (respectivement 5-10nm et 200-400nm) comparée à celle de la membrane d‘arséniure de gallium. Nous avons ajouté dans le modèle piézoélectrique, un facteur de pertes mécaniques ( s=0.00591) dans la structure de GaAs apparaissant dans les composantes imaginaires des rigidités mécaniques185,193. Pour limiter les temps de calcul, nous avons réduit les dimensions latérales de la membrane sur le modèle à 400µm et ajouté des conditions de symétrie sur les faces latérales. Les deux autres faces latérales du modèle sont encastrées. Deux zones rectangulaires, de dimension 600µm x 400µm, ont été sélectionnées pour y ajouter la masse et le terminal (10VΨ d‘excitation. δe gap géométrique les séparant est de 200µm. Après de nombreux tests non concluants de simulation, nous avons décidé d‘ajouter des couches absorbantes parfaitement adaptées (ou PML, « Perfectly matched layer ») dans les extrémités encastrées de la structure. Ces domaines θεδ sont utilisés pour simuler l‘effet de la propagation et l‘absorption des ondes élastiques dans ces régions (qui ne sont pas résolues dans les dimensions réelles). Les simulations du résonateur ont d‘abord été considérées dans l‘air.

Nous avons choisi un maillage triangulaire libre sur le plan de la membrane et un maillage distribué dans l‘épaisseur (Figure 2.8b). La taille des éléments est comprise entre 14.4µm et 80µm.

Figure 2.8: (a) Modèle de simulation COMSOL® représentant les différents domaines avec leur affectation et (b) représentation du maillage du modèle

δes simulations du transducteur ont tout d‘abord été conduites en air à température ambiante. Nous avons pu déterminer la fréquence fondamentale de résonance des modes de cisaillement d‘épaisseur ainsi que leurs harmoniques. δes courbes d‘impédance (phase

et module) en fonction de la fréquence, obtenues par la simulation, ont été tracées sur la Figure 2.9a et b. Nous avons représenté également les déplacements de matière dans la structure respectivement en vue pleine et vue de coupe pour le mode fondamental qui a été déterminé par la simulation à f0 = 23.93 MHz (Figure 2.9c et d). On remarque pour le champ électrique généré dans le matériau, que si la structure ou un autre milieu se prolongeait en dessous du transducteur, le champ y pénétrerait (Figure 2.9e). Ce type de transducteur sera donc sensible aux paramètres électriques du milieu en contact. Si l‘on souhaite s‘affranchir de cet effet, il est alors nécessaire de réduire le rapport :

.

Figure 2.9: Résultats de simulation : (a et b) courbe de module et de phase de l’impédance pour la fréquence f0, (c) déplacement de matière dans la plaque à cette même fréquence

d’excitation (d) en vue de coupe et (e) vecteur champs électrique (flèches rouges) et gradient de potentiel (gris) représentés dans la section droite de la plaque résonante.

Une étude dans le domaine fréquentiel a permis d‘évaluer les fréquences de résonance sur une gamme de 20 MHz à 125 MHz sur laquelle sont situés les modes de cisaillement et leurs premières harmoniques pour cette épaisseur de membrane. Nous avons représenté la

phase de l‘impédance et le déplacement de matière en fonction de la fréquence d‘excitation. ζous pouvons observer les trois premières harmoniques impaires : f0 (Figure 2.10), fn=3 et fn=5, accompagnées pour chacune du profil de coupe du résonateur. Les valeurs de fréquence obtenues sont cohérentes avec celles calculées analytiquement (Tableau 2.3). Sur le graphique de déplacement, on note également la présence de modes de flexion à harmonique élevée pour cette gamme de fréquence.

Fréquences (MHz)

Fondamental 3ème _{harmonique 5}ème _harmonique

fn simulation 23.93 72.15 122.4

fn analytique 23.87 71.61 119.36

Tableau 2.3: Comparaison des valeurs des trois premières harmoniques impaires obtenues par la simulation numérique et par le calcul analytique

Figure 2.10: Courbes de déplacement en surface et courbe de phase de l’impédance en fonction de la fréquence sur une gamme 20-125 MHz. Vue en coupe du déplacement pour les

Nous avons vu dans la partie 2.2.1, que les constantes de rigidité du matériau sont dépendantes de la température184. Nous avons donc inclus les relations linéaires entre les constantes et la température dans notre modèle. Puis nous avons simulé le comportement du transducteur à différentes températures sur une gamme de β0°C à 110°C afin d‘évaluer l‘impact de ce paramètre sur le mode fondamental de cisaillement. Comme nous pouvons le voir sur la Figure 2.11 représentant le module de l‘impédance en fonction de la fréquence, l‘augmentation de la température provoque une déviation de la fréquence de résonance vers les plus basses fréquences. Le décalage obtenu entre 20°C et 100°C est de 0.12 MHz ce qui nous donne une déviation en fréquence équivalente à -60.2ppm/°C. Nous vérifierons expérimentalement cette valeur dans le chapitre 5.

Figure 2.11: Courbes montrant l’influence de la température sur le module d’impédance autour de la résonance pour les valeurs : T=20, 50, 80, 110°C.