Nous cherchons à résoudre le système d’équivalence. Ce système est composé d’équations linéaires et peut s’écrire sous une forme simplifiée, Aε∗ = B. La mé-thode du gradient conjugué (CGM) se prête tout particulièrement à la résolution de systèmes linaires Ax = B par méthode itérative. Le problème converge rapidement si la matrice G est définie positive symétrique. Pour des matrices non définies symé-triques et positives, la solution converge lentement avant de diverger ou d’osciller. L’algorithme de CGM modifié pour la résolution du système Aε∗ = B s’écrit comme,
d(0)= r(0) = B − Aε∗ (0) (III.130) τ(i)= κ r t (i)r(i) dt
(i)Ad(i) (III.131)
ε∗(i+1) = ε∗
(i)+ τ(i)d(i) (III.132)
r(i+1) = ri− τ(i)Ad(i) (III.133)
ρ(i+1) = r
t
(i+1)r(i+1)
rt
(i)r(i) (III.134)
Où l’indice entier i désigne le nombre d’itérations. Les vecteurs d et r sont les direc-tions et les résidus conjugués, respectivement. Le vecteur rtest le vecteur transposé de r. La variable τ est la longueur du pas à chaque itération. Le facteur κ est nouvelle-ment introduit au sein de l’algorithme du CGM afin de réduire le pas de convergence avant que la solution diverge ou oscille. Dans la plupart des cas, la solution converge pour un nombre d’itérations compris entre 5 et 10. Une profonde divergence a lieu dans le cas de cavités et sera régulée en jouant sur le coefficient de relaxation κ (0 < κ < 1). Le terme A · ε∗ de l’équation III.130 est calculé à partir de la partie gauche de l’équationIII.6. Le terme A·d est calculé en remplaçant ε∗ par d. La tech-nique de 3D-FFT est utilisée pour accélérer le calcul des termes A·d. Cette méthode itérative ne dégrade en rien la précision de la solution. Au contraire, elle permet de prendre en compte toutes les interactions mécaniques entre les inclusions hétéro-gènes. Ceci diffère grandement des méthodes basées sur des contraintes moyennes pour l’étude des interactions dans les matériaux composites [Hor93,Luo87].
5.2 Application sur matériaux revêtus
Le modèle d’homogénéisation a été jusqu’à maintenant appliqué sur des géomé-tries pleines cuboïdales ou ellipsoïdales sans vraiment se préoccuper des influences mutuelles entre hétérogénéités voisines. L’étude d’un matériau revêtu constitue une bonne application pour montrer l’importance d’ajuster les eigenstrains en fonction des inclusions voisines. Fulleringer [Ful11] a étudié durant sa thèse la présence d’un revêtement uniforme et comparé les pressions de contact à celles obtenues par O’Sul-livan [O’s88].
Figure III.17 – Distributions de la pression de contact pour différents revêtements avec la méthode semi-analytique EIM : Ec = 0.25Es, Ec = 0.5Es, Ec = Es, Ec = 2Es, et Ec = 4Es [Ful11].
Une sphère rigide de rayon R est en contact sur un massif semi-infini élastique (substrat) de module d’Young Es et de coefficient de Poisson νs recouvert d’un re-vêtement uniforme de propriétés matériaux (Ec, νc). Dans le cas du substrat sans revêtement, la théorie de Hertz prescrit un rayon de contact a0 et une pression de contact maximale P0. L’épaisseur du revêtement h est prise telle que h = a0. Les coefficients de Poisson du revêtement et du substrat sont égaux à 0.3. Cinq
confi-5. Prise en compte des influences mutuelles 91 gurations de revêtements sont employés : Ec = 0.25Es et Ec = 0.5Es (revêtement mou), Ec = Es (cas homogène), Ec = 2Es et Ec = 4Es (revêtement dur). La figure
III.17 montre les pressions de contact le long de l’axe x2 = 0 obtenues par Fullerin-ger [Ful11]. Ces résultats révèlent une insuffisance de la méthode semi-analytique à décrire précisément le comportement d’un matériau revêtu en particulier dans le cas d’un revêtement plus dur que le substrat. Lorsque que le revêtement est plus dur que le substrat (Ec = 4Es), la pression de contact augmente telle qu’il ne reste plus qu’un seul point en contact. La source d’erreur avancée dans cette thèse serait que les hétérogénéités sont proches de la surface, repoussant dans ses retranchements les limites de la méthode de décomposition. Afin de palier à ce problème, l’astuce était d’enrichir le substrat au lieu du revêtement. Dans notre cadre d’étude, cette astuce n’est pas applicable étant donné que le substrat sera lui-même enrichi pour tenir compte du caractère composite de celui-ci.
La même analyse est effectuée avec la méthode de l’inclusion équivalente modifiée (MEIM) présentée ici et qui tient compte des influences mutuelles entre les hétérogé-néités. Afin de pouvoir analyser les améliorations et/ou inconvénients apportés par les méthodes, la méthode de décomposition en sous-domaines est employée avec la même taille de maille que celle pour l’analyse III.17. Le domaine de calcul de taille (8a0× 8a0× 2.5a0) est maillé par 128 ×128×40 éléments cuboïdals. La figureIII.18
prouve que les modifications apportées à la méthode à travers l’algorithme CGM apporte une très bonne estimation des pressions de contact quelque soit la configu-ration du revêtement. La discrétisation de la contrainte normale dans la méthode de décomposition en sous-domaines n’est donc pas la source du problème de divergence pour cette étude. La version initiale de la méthode de l’inclusion équivalente utilise uniquement et directement le tenseur d’Eshelby pour relier la déformation induite à l’eigenstrain d’une hétérogénéité. En plus de ne pas prendre en compte l’influence des hétérogénéités voisines, le tenseur d’Eshelby est définie dans un espace infini. Dans la méthode EIM, la résolution des eigenstrains est donc effectuée dans un espace infini, ce qui peut expliquer les problèmes rencontrés auparavant pour des hétérogénéités proches de la surface.
−20 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 0.5 1 1.5 2 2.5 x1/a0 P /P 0 Resultats O Sullivan Resultats numeriques
Figure III.18 – Distributions des pressions de contact pour différents revêtements avec la méthode semi-analytique MEIM : Ec = 0.25Es, Ec = 0.5Es, Ec = Es,