4 Résolution du contact 4.1 Principe
4.3 Algorithme du gradient conjugué (CGM)
L’algorithme du gradient de conjugué va être particulièrement utilisé dans ce tra-vail pour résoudre les problèmes de contact mais aussi le problème d’hétérogénéité. Cette méthode a initialement été proposé par Hestenes et Stiefel [Hes80]. C’est une méthode itérative pour résoudre les problèmes linéaires
Ax= b (II.22)
Où A est une matrice carrée symétrique et définie positive. Ce problème est équi-valent à la minimisation de la forme quadratique
φ(x) = 1 2x
T
Ax − bTx (II.23) Le gradient conjugué peut donc être interprété comme un algorithme pour résoudre les systèmes linéaires, ou une technique de minimisation des formes quadratiques convexes. Le gradient de φ est le résidu du système linéaire,
∇φ(x) = Ax − b ≡ r(x) (II.24) Cette méthode est itérative. La solution est obtenue à partir des vecteurs direction de descente pk,
xk+1 = xk+ αkpk (II.25) Le gradient conjugué s’avère performant en temps de calcul, notamment pour ré-soudre de grands systèmes linéaires. L’autre avantage du gradient conjugué est le gain en mémoire par rapport à certaines méthodes. A chaque itération, la direction conjuguée pk est obtenue uniquement à partir de l’itération pk−1. Le stockage des itérations précédentes n’est pas nécessaire. Techniquement, une combinaison linéaire entre la direction précédente pk−1et la direction de descente la plus directe, −∇φ(xk) (soit −rk) définit la nouvelle direction de descente
5. Bilan 55 Où βk est choisi de façon à vérifier la propriété de conjugaison, pT
k−1Apk = 0.
Finalement, l’algorithme est le suivant : Choix d’une valeur initiale x0;
Initialisation des variables : r0 ← Ax0,p0 ← −r0,k ← 0 ;
while rk6= 0 αk ← r T krk pT kApk ; (II.27) xk+1 ← xk+1+ αkpk; (II.28) rk+1 ← rk+1+ αkApk; (II.29) βk+1 ← r T k+1rk+1 rT krk ; (II.30) pk+1 ← −rk+1+ βk+1pk; (II.31) k ← k + 1; (II.32) end while
Initialement cette méthode a été développée pour résoudre des problèmes sans contrainte. Cependant elle est utilisable dans le cadre des problèmes d’optimisation avec contraintes [Hes80],
min x∈ℜnφ(x) = 1 2x T Ax − bTx, avec ( ci(x) = 0 i ∈ E, ci(x) ≥ 0 i ∈ I. (II.33)
5 Bilan
Un code de contact élastoplastique a été développé dans le cadre des hypothèses classiquement utilisées en mécanique des contacts. La méthode de gradient conjugué est adapté à la résolution avec couplage du problème normal et tangentiel. L’algo-rithme d’optimisation sous contrainte cherche à minimiser l’énergie complémentaire. Les temps de calculs, générés pour la résolution des produits de convolution liant les contraintes en surface et les coefficients d’influence, sont minimisés grâce à l’utilisa-tion d’algorithmes de transformées de Fourier discrètes (DC-FFT). Cette méthode actuelle se prête particulièrement à l’étude des modes de fretting I, II, et III pour des matériaux homogènes élastoplastiques. Si l’on veut appliquer cette méthode à l’étude du phénomène de fretting sur matériaux composites complexes, on doit dis-poser de formulations analytiques élémentaires valides en espace semi-infini ainsi que d’un algorithme de résolution qui permet de traduire l’hétérogénéité du maté-riau. La modélisation de la plasticité ne fera pas l’objet d’études particulières ici. Les matériaux d’applications visés dans ce cadre d’étude sont uniquement élastiques endommageables.
Chapitre III
Hétérogénéités
Un matériau composite est par définition un matériau hétérogène. Dans ce chapitre on s’intéresse aux développements analytiques et numériques apportés au module d’hétérogénéité du modèle semi-analytique. Ce modèle propose en données d’entrée des matériaux élastiques hétérogènes constitués d’inclusions sphériques. Cependant, ce modèle atteint très vite ces limites lorsqu’il faut traiter des milliers d’inclusions hétérogènes proches de la surface de contact ou lorsque les propriétés matériaux sont très disparates. La méthode de résolution a donc été refondée, de nombreuses formulations analytiques ont été apportées, un schéma de validation est proposé, dans l’objectif d’être en mesure de modéliser un matériau composite tissé.
Sommaire
1 Introduction . . . 58 2 Méthode de l’inclusion équivalente . . . 60
2.1 Théorie d’Eshelby . . . 60 2.2 Méthode de résolution . . . 62
3 Solution en demi-espace par décomposition. . . 65
3.1 Formulations en espace infini . . . 65 3.2 Décomposition en sous-problèmes. . . 71 3.3 Déplacements générés en surface . . . 74 3.4 Validations de solutions élémentaires . . . 75
4 Solution en demi-espace par Galerkin . . . 80
4.1 Théorie . . . 80 4.2 Adaptation numérique . . . 86 4.3 Validations . . . 87
5 Prise en compte des influences mutuelles . . . 89
5.1 Algorithme numérique . . . 89 5.2 Application sur matériaux revêtus . . . 90
6 Prise en compte des gradients de contraintes. . . 92
6.1 Par approximation polynomiale . . . 92 6.2 Par méthode de voxelisation . . . 104
1 Introduction
La durée de vie des pièces mécaniques en contact est fortement affectée par la présence d’hétérogénéités dans le matériau, comme des renforts (fibres, particules), des précipités, des porosités, ou encore des fissures. Des hétérogénéités dures et de formes complexes peuvent créer des surcontraintes locales, initiatrices de fissures par fatigue proche de la surface de contact [Nel99,Vos85]. La présence d’hétérogénéités influence grandement les propriétés physiques et mécaniques du matériau à l’échelle locale et globale [Mur94]. Une analyse quantitative des surcontraintes créées par les hétérogénéités est nécessaire à la compréhension des mécanismes d’endommagement. Les hétérogénéités peuvent altérer aussi bien le comportement du matériau à l’échelle macroscopique que le champ de contraintes dans son voisinage dû à des déformations d’incompatibilité entre les hétérogénéités et le matériau environnant (la matrice). Eshelby [Esh57,Esh59,Esh06] a étudié les variations de contraintes en-gendrées par des hétérogénéités ellipsoïdales dans un massif infini. Cette résolution utilise la méthode de l’inclusion équivalente (EIM) consistant à assimiler une hété-rogénéité à une inclusion contenant des déformations d’incompatibilité équivalentes et ayant les mêmes propriétés matériaux que celles de la matrice. Ces déforma-tions d’incompatibilité, encore appelées « eigenstrains », peuvent être présentes sous forme de déformations inélastiques dans une inclusion. Ces déformations inélastiques peuvent être issues de transformations de phases, de déformations plastiques et/ou thermiques. Par définition [Mur87], de telles hétérogénéités sont encore appelées in-clusions hétérogènes. Du fait de la qualité et la précision des résultats obtenus, la méthode EIM fut intensivement étudiée et développée. Cependant, la plupart des développements appliqués aux problèmes d’hétérogénéités sont truffés d’hypothèses généralement incompatibles pour l’étude des contacts tridimensionnelles. Ces diffé-rentes hypothèses sont résumées ci-dessous.
La plupart des études se focalisent sur des hétérogénéités de géométries simples et régulières dans un massif élastique infini. De nombreuses solutions analytiques élé-mentaires sont obtenues pour des inclusions de formes simples (ellipsoïde [Esh57], cuboïdale [Chi77,Joh80], cylindrique [Wu95a,Wu95b]) dans une matrice infinie élas-tique isotrope. Très peu d’études traitent des hétérogénéités de formes arbitraires bi-dimensionnelles [Nak00] et encore moins d’hétérogénéités de formes arbitraires dans un massif semi-infini pour le cas tridimensionnel. Les travaux de Mura [Mur77,Seo79] et Chiu [Chi78] exposent les solutions analytiques pour des hétérogénéités de formes ellipsoïdales et cuboïdales dans un massif semi-infini élastique isotrope. Ces solu-tions, relativement complexes, considèrent une inclusion contenant des eigenstrains hydrostatiques (εkk = 0) équivalentes à des cubes de déformations plastiques. Une approche plus générale, sans à priori sur la nature des eigenstrains, consiste à décrire une inclusion de forme arbitraire en de multiples inclusions cuboïdales en se référant aux solutions de Chiu [Chi77] pour une matrice infinie élastique isotrope. Néan-moins discrétiser une forme tridimensionnelle arbitraire avec des cubes est beau-coup plus difficile qu’une discrétisation avec des éléments tétrahédriques. De telles solutions [Rod96,Tay01,Gao11] pourraient améliorer la résolution numérique du problème hétérogène grâce à une représentation géométrique adaptée et précise.
Devoir modéliser un contact entre deux massifs élastiques nécessite de décrire le comportement des hétérogénéités dans un massif semi-infini avec des formulations analytiques pour un massif infini. Deux possibilités sont alors envisagées dans ces
tra-1. Introduction 59 vaux. La première consiste à utiliser une méthode de décomposition du demi-espace en sous-espaces infinis, nécessitant une résolution numérique [Zho09]. Cette méthode fut initialement introduite et validée dans le code semi-analytique par Jacq [Jac02] puis reprise par Fulleringer [Ful11], et sera utilisée pour décrire le phénomène plas-tique [Cha11b]. La seconde est une méthode directe dite de Galerkin [Liu05,Liu12], initialement proposée par Mindlin and Cheng [Min50b], qui permet de déterminer analytiquement la solution du champ élastique causée par une eigenstrain dans un massif semi-infini élastique.
Du fait de la difficulté de traiter les interactions entre les inclusions hétéro-gènes, la plupart des études se concentre sur les interactions entre deux ou trois inclusions au maximum. Moschovidis et Mura [Mos75a] ont précisément étudié l’influence de deux hétérogénéités ellipsoïdales sans interpénétrations en approxi-mant l’expression des eigenstrains équivalentes avec des séries de Taylor. Cette ap-proche fut massivement explorée et adaptée pour différents cas d’applications res-trictives [Fon01,Ben06]. Ces solutions deviennent très lourdes numériquement dès lors que l’on souhaite traiter des centaines voir des milliers d’hétérogénéités. On sera alors amener à mettre en place une méthode numérique basé sur les algorithmes de gradients conjugués afin de résoudre un système linéaire de milliers d’équations gé-nérées par les milliers d’inclusions en minimisant les itérations de convergence.
Le champ de contrainte généré par le chargement extérieur est dans la plupart des cas considéré uniforme. Cependant, dans le cadre de nos simulations de contact, de forts gradients apparaissent en sous-couche. Deux possibilités sont alors envisa-gées dans ces travaux. La première consiste à exploiter les développements analy-tiques de Moschovidis et Mura [Mos75a] en exprimant chacun des champs élastiques sous formes polynomiales. La seconde méthode envisagée consiste à discrétiser une hétérogénéité de forme arbitraire en de multiples cuboïdes élémentaires, de taille cor-respondante à la discrétisation numérique du problème. L’eigenstrain dans chacun des cuboïdes est considérée uniforme.
Généralement soit une déformation inélastique initiale soit un chargement ex-térieur est considéré mais très peu traitent de la combinaison des deux sources d’eigenstrains. Dans ce chapitre, la formulation des eigenstrains correspondra à la somme de ces deux sources.
La plupart du temps, les problèmes de contact avec présence d’hétérogénéités en sous-couche ne sont pas résolus explicitement et une distribution de contact de type Hertzienne est considérée à la place [Kab02b,Kab02a,Cou03]. Cependant, la pression de contact peut être fortement affectée par des hétérogénéités proche de la surface de contact [Kuo07,Kuo08,Mil83]. Un couplage entre la résolution du contact et la résolution des eigenstrains est entrepris en actualisant la géométrie de la surface de contact modifiée par les surcontraintes inclusionnaires.
Les travaux effectués et exposés dans ce chapitre, s’appuyant sur la technique EIM, tentent de s’affranchir de toutes ces simplifications afin d’obtenir une solu-tion semi-analytique pour de multiples hétérogénéités de formes arbitraires et en interaction dans un massif semi-infini soumis à une sollicitation de fretting. Ce cha-pitre commence par introduire la théorie d’Eshelby nécessaire à la formalisation de la méthode de l’inclusion équivalente (EIM). Les deux méthodes permettant de considérer un massif semi-infini élastique isotrope seront décrites, validées et com-parées. La méthode numérique permettant de prendre en compte les interactions
entre de multiples hétérogénéités sera ensuite formalisée et étudiée. Enfin, les deux méthodes utilisées pour la prise en compte des gradients de contraintes à l’intérieur des inclusions seront explicitées, étudiées, et comparées.