• Aucun résultat trouvé

Méthodes en mécanique du contact

4 Pratique de modélisations numériques : appli- appli-cation au contact aube/disque

4.1 Méthodes en mécanique du contact

Les méthodes permettant de modéliser le contact peuvent être divisées en deux grandes familles : les méthodes analytiques et les méthodes numériques. Les

mé-4. Pratique de modélisations numériques : application au contact aube/disque 31 thodes analytiques reposent sur la théorie des plans semi-infinis. Dans certains cas, une discrétisation numérique des intégrales est nécessaire et on parle de méthode semi-analytique (SAM). Les méthodes numériques présentées ici utilisent la discré-tisation de la structure par un maillage mais il existe des méthodes sans maillage. Deux approches sont envisageables les méthodes des éléments finis (FEM) et les méthodes des éléments de frontière (BEM).

4.1.1 Solutions analytiques Contact Hertzien

Hertz fut le premier à travailler sur le contact entre solides déformables. Son article On the contact of elastic solids [Her82] publié en 1882 peut-être considéré comme le début de la mécanique du contact qui est devenue une branche de la mé-canique à part entière. Le problème traité est celui du contact élastique, sous un chargement normal statique. Les surfaces des corps en contact sont de type parabo-loïde elliptique et conforme. Cette conformité indique que les surfaces non-déformées des deux corps ne sont superposables autrement qu’en un point (contact pseudo-ponctuel) ou une ligne (contact pseudo-linéique). Le contact aube-disque ne peut pas être représenté par la théorie de Hertz. La définition du frottement de Cou-lomb est utilisée dans la plupart des modèles analytiques existants. Une première solution est celle du contact hertzien en glissement. Les cisaillements en surface sont directement obtenus par l’application de la loi de Coulomb. La solution du champ de contraintes résultant de cette configuration est fournie pour les contacts elliptiques par Sackfields et Hills [Sac83]. Cattaneo [Cat38] et Mindlin [Min49] fournissent les solutions du contact en glissement partiel. Le problème posé est celui du contact sphérique chargé normalement sur lequel un effort tangentiel, ne dépassant pas la limite fixée par la loi de Coulomb pour atteindre le glissement, est ensuite imposé. Le respect de la loi de Coulomb en tout point de la surface de contact créé une zone annulaire de glissement sur les bords du contact. Le problème de Cattaneo-Mindlin est étendu et généralisé à la fois par Ciavarella [Cia98a,Cia98b] et Jäger [Jä98] dans le cas bidimensionnel pour des géométries quelconques.

La théorie de Hertz est fondée sur trois hypothèses principales : une zone de contact elliptique, sans frottement et les hypothèses des massifs élastiques semi-infinis. Ce dernier point permet l’utilisation d’un pan important de la théorie de l’élasticité développée dans le cadre d’un espace élastique semi-infini sous certaines conditions énumérées ci-dessous :

– La zone de contact est de faible dimension par rapport à celle des corps. Dans ce cas les contraintes sont fortement concentrées dans la région proche de la zone de contact et ne sont pas influencées par des conditions limites lointaines. Cette condition est assurée par la non-conformité ;

– Les rayons de courbure doivent cependant être importants comparés à la di-mension du contact. Cette condition permet de valider la précédente. Mais elle implique aussi que l’inclinaison des surfaces en contact est faible. Cela permet d’approcher la région proche du contact par un plan et d’éviter d’atteindre des niveaux de contraintes non compatibles avec la théorie de l’élasticité. Les hypothèses de Hertz sont restrictives mais suffisent souvent à l’étude de la plupart des problèmes industriels. Elles fournissent la distribution de pression, les

dimensions du contact et l’amplitude des différents déplacements élastiques ou rigide et la solution en contraintes dans le volume. De nombreuses solutions analytiques ont été formulées dans le cas de contact non-hertziens particuliers. L’ouvrage référence de la mécanique des contacts rédigé par Johnson [Joh85] présente de façon quasi-exhaustive toutes ces solutions.

Géométries non-hertziennes

Un nombre important de solutions existe lorsque les géométries en contact ne peuvent être assimilées à des ellipsoïdes, telles que les contacts conformes. Les solu-tions restent cependant basées sur les hypothèses des massifs semi-infinis. La plupart de ces solutions sont données pour des problèmes bi-dimensionnels. Certaines confi-gurations tridimensionnelles permettent une résolution analytique, en particulier des géométries présentant une axisymétrie. La méthode employée repose sur les so-lutions des « équations intégrales singulières ». Plus de détails sur cette méthode se trouvent dans le livre de Galin [Gal53]. Concernant des contacts plus proches du contact aube-disque, il existe des solutions pour un contact entre un pion avec bords incurvés et un plan élastique. Alexandrov [Ale86] propose une solution analytique entre deux solides élastiques ayant une géométrie de contact de type queue d’aronde. La solution est donnée pour un chargement au niveau de l’axe de symétrie du pion. Il n’existe pas de solution analytique du problème tridimensionnel d’un pion avec bords incurvés avec massif élastique. Le problème s’écrit sous la forme d’équations intégrales dont il semble qu’il n’y ait pas de solution analytique simple. La résolu-tion de ce problème nécessite l’utilisarésolu-tion de méthodes numériques. Ces approches permettent de prendre en compte la modification des géométries de contact, résultat de l’usure.

4.1.2 Modèles numériques Méthodes des éléments finis

Cette méthode FEM (Finite Element Method) est certainement la plus aboutie des modélisations numériques en mécanique. De nombreux logiciels commerciaux, avec des interfaces graphiques facilitant l’utilisation existent. La quantité de phé-nomènes physiques pouvant être pris en compte est importante (dynamique, ther-mique, plasticité, viscosité, champs magnétique,...). La littérature sur la résolution du problème du contact par éléments finis est très riche, environ 20000 références sur sciencedirect. Les livres de Wriggers et Laursen [Wri06,Lau03] constituent de riches synthèses des aspects ayant trait aux éléments finis en mécanique du contact. Cependant les temps de calculs sont importants, et le sont d’autant plus que les forts gradients de contraintes à proximité des zones de contact obligent à utiliser un maillage fin. Des alternatives proches de la méthode des éléments finis ont été développées comme l’ajout d’une méthode sans maillage pour enrichir les éléments en contact. Kim et al. [Kim08] proposent une méthode intéressante pour le calcul du contact entre maillages incompatibles. Ils ajoutent des nœuds dans le maillage à l’interface de contact. Cette approche se nomme « MLS-based FEM » (moving least-square finite element method). Elle permet de transformer un contact nœud-surface en contact nœud à nœud. Une autre alternative proche de la méthode des éléments

4. Pratique de modélisations numériques : application au contact aube/disque 33 finis est la méthode des éléments frontières BEM (Boundary Element Method). Cette méthode repose sur le seul maillage de la frontière de la structure. L’ouvrage de Man [Man94] donne des explications sur les problèmes de contact résolus par la méthode des éléments frontières.

Méthodes semi-analytiques

Lorsque les solutions analytiques sont insuffisantes, il est possible de discrétiser le problème et de le résoudre en sommant numériquement des solutions analytiques de problèmes élémentaires telles que les solutions de Boussinesq [Bou85]. Ce type de modèle se nomme méthode « semi-analytique ». Kalker [Kal90] fut l’un des premiers à formaliser cette méthode. Les techniques numériques utilisées par les différents au-teurs diffèrent. Jaeger [Jae04] propose d’utiliser un algorithme de Gauss Seidel au lieu de l’algorithme de Newton-Raphson utilisé par Kalker. Ces méthodes ont ensuite été améliorées avec l’utilisation de techniques accélératrices comme les méthodes mul-tigrilles [Bra90,Lub91] ou les transformées de Fourier rapides [Ju96,Liu00,Pol00] et des algorithmes de résolutions performants tel que le gradient conjugué [Pol99]. La finesse des discrétisations rendue possible par ces méthodes les rendent incontour-nables dans l’étude des contacts rugueux [All05], presque impossible à envisager avec d’autres méthodes numériques. Récemment les phénomènes d’élasto-plasticité et de thermo-élastoplasticité [Ant04,Bou05,Jac02] ont été ajoutés à ce type de méthodes.

4.2 Modélisation numériques des composites à renforts