du point de vue de l’homogénéisation linéaire. En revanche, elle est limitée dans le traitement des mécanismes de dégradation, où les interfaces sont primordiales. Une première approche sera donc proposée pour prendre en compte de manière explicite la décohésion aux interfaces renforts/matrice.
2 Description d’une cellule élémentaire à l’échelle
mésoscopique
2.1 Modélisation géométrique du renfort tissé
Les outils usuels de la modélisation géométrique des renforts tissés sont ici dif-ficilement utilisables en raison de la grande complexité du motif de tissage. Les travaux les plus complexes sont développés par la Katholieke Universiteit Leu-ven [Lom00a,Lom01,Lom07,Lom11,Ver05] et sont regroupés au sein d’un soft com-mercial. Ce logiciel est extrêmement répandu dans l’industrie et majoritairement utilisé à Snecma. Sa bibliothèque dispose d’une très large gamme de renforts tissés (2D et 3D), tressés, et non-crimp-fabric (NCF).
Ce type d’outils nécessite de modéliser les trajectoires des mèches et la forme des sections. Pour cela, la mèche est modélisée a postériori dans son environnement tissé à partir d’observations, d’analyses, et d’identifications expérimentales basées sur :
2. Description d’une cellule élémentaire à l’échelle mésoscopique 117 – Des coupes des renforts enduits de résine. La forme est conservée lors de la
coupe mais la résine peut modifier les propriétés de la section.
– Des mesures 3D externes sans contact à partir de mesures optiques sur les parties visibles par corrélation d’images numériques, des tomographies par rayons X, et des mesures par émission acoustique.
Les différentes études expérimentales effectuées sur des composites tissés bidi-mensionnels et tridibidi-mensionnels convergent vers une liste type de caractéristiques dont le modèle géométrique doit disposer, à savoir :
– Des trajectoires décomposables en une suite de droites et de courbes tangentes. Le logiciel WiseTex modélise la mèche comme un tuyau à section constante suivant une trajectoire courbe (polynôme de degré 5). Cependant, modéliser une mèche de section constante n’est pas cohérent avec les observations expé-rimentales. Les sections varient le long de la trajectoire.
– Contact surfacique au niveau des entrelacements. Le logiciel WiseTex ne gère pas, ce qui peut engendrer des interpénétrations ou des espaces vides entre les mèches en lieu et place du contact. Il peut exister d’autres contacts entre les mèches que ceux liés à l’entrelacement.
– La forme de la section peut être variable et dissymétrique (lenticulaire, ellip-tique, aplatie sur le bord).
– Les Plans tangents aux deux directions des mèches ne sont pas au même niveau. Une des conséquences majeures du non-respect de ces points est une représenta-tion de l’espace poreux peu réaliste, menant à des calculs de perméabilité faussés à l’échelle mésoscopique. La cellule élémentaire est alors bien souvent modifiée afin de gérer les problèmes d’interférences. Une option permet automatiquement de corriger les interférences en déformant localement la section. Une séparation artificielle est insérée entre les zones en contact. Les mèches sont ensuite comprimées pour for-cer la mise en contact. Cette approche a d’abord été proposée par Zako [Zak03] à travers un modèle intermédiaire éléments finis, puis implémentée dans le soft Me-shTex intégré au logiciel WiseTex. Cependant, les mèches se retrouvent fortement déformées localement conduisant à des fractions volumiques de fibres peu réalistes. Récemment, Durville a appliqué une méthode multifil [Dur05] basée sur la descrip-tion géométrique des mèches fournie par le logiciel WiseTex [Dur07]. Ce modèle EF est constitué d’un assemblage de multiples fibres constituées d’éléments poutres. Un modèle gérant les inter-contacts entre fibres constituant la mèche est une solution optimale pour gérer les problèmes d’interpénétration.
2.2 Approximation par la méthode des inclusions
équiva-lentes
Les mèches constituant la cellule élémentaire extraite du modèle WiseTex sont décomposées en de multiples segments caractérisés par leurs fractions volumiques, leurs orientations spatiales, les dimensions de la section et le rayon de courbure de la mèche. Tous ces paramètres sont fournis par le modèle géométrique. La
mé-(a)
(b)
Figure IV.1 – Correction d’une cellule élémentaire extraite de WiseTex (a) et construite sans interpénétration (b)
thode de l’inclusion équivalente est alors adaptée pour transformer chaque segment hétérogène en inclusions ellipsoïdales équivalentes. Ces ellipsoïdes ont les mêmes pro-priétés (orientation, section, fraction volumique) que ceux des segments associés. La discrétisation fine de l’architecture permet de préserver la fraction volumique totale et l’orientation globale du composite. Cette équivalence n’est pas une substitution physique des segments constituant la mèche, mais une alternative mathématique pour exprimer de façon équivalente l’état de déformations à l’intérieur et à l’exté-rieur de la mèche. Une relation entre les dimensions du segment et les dimensions de l’ellipsoïde équivalent reste très difficile à exprimer mais peut s’appuyer sur dif-férentes observations.
La figure IV.2 représente trois différentes configurations géométriques d’une mèche plongée dans une matrice chargée en traction. Sur la première configura-tion (a), la mèche est parfaitement droite, ce qui génère des contraintes axiales uni-formes dans la section, égales à la contrainte moyenne dans la mèche. Elle possède la plus importante capacité de chargement possible en traction. L’ellipsoïde équiva-lente aurait dans ce cas un rapport de forme infini. Lorsque la mèche est courbée, les contraintes axiales sont réduites et des contraintes en flexion s’y ajoutent. La diminution de la contrainte moyenne axiale est compensée par une augmentation du transfert de charge entre la mèche et la matrice. La contrainte moyenne en flexion dans la section droite devrait être nulle et ne pas contribuer à l’état de contrainte moyen de la section du segment considéré. Si le rayon devient très faible, la flexion est prédominante dans la section et la contrainte axiale dans la partie droite de la mèche diminue. Le rapport de forme de l’ellipsoïde doit donc refléter l’effet de la courbure des mèches sur leurs capacités mécaniques en charge. Une expression sim-pliste entre le rayon de courbure et le rapport de forme de l’ellipsoïde équivalent est proposée : a1 a2 = αRc a2 (IV.1) Où a1 est la longueur du demi-axe dans le sens longitudinal de l’ellipsoïde équivalent (sens axial de la mèche), et Rc le rayon de courbure du segment correspondant (voir FigureIV.3). Le facteur α est affecté par le mécanisme de transfert de charge entre la matrice et la mèche. Dans le cas de figure où les courbures ne sont pas trop prononcées (faible rayon de courbure), le facteur α est choisi constant et calibré en
3. Description d’une cellule élémentaire à l’échelle microscopique 119
charge
composite chargecomposite chargecomposite
Charge (fibre) Contrainte
(a) (b) (c)
Figure IV.2 – Traduction de la capacité en charge d’une mèche comme une fonction du rayon de courbure.
fonction des données expérimentales recueillies.