Prise en compte des ph´ enom` enes de mouillage

3.4 Prise en compte des ph´ enom` enes de mouillage

3.4.1 Pr´esentation de la d´emarche

A ce stade, le syst`` eme de Saint Venant propos´e n’est pas encore capable de simuler la dynamique de d´emouillage d’un film. En effet, bien que l’ensemble des ph´enom`enes gravitationnels, capillaires et visqueux soient pris en compte dans le mod`ele, nous avons n´eglig´e jusqu’`a pr´esent toute interaction entre les interfaces (liquide/gaz, liquide/solide etsolide/gaz) lorsque l’´epaisseur du film h tend vers 0. Ce sont ces interactions qui sont

`

a l’origine du mouillage ou du d´emouillage d’un film liquide. La m´ethode la plus utilis´ee dans la litt´erature afin d’int´egrer l’effet de ces interactions consiste `a d´efinir une nouvelle condition aux limites `a l’interfaceliquide/gaz pour le champ de pression qui s’´ecrit :

P(x, z =h) =Pg(x) + γ_lg K^xz(x) + Π_d(h) (3.90) qui correspond `a la condition aux limites (3.9) usuelle `a laquelle on ajoute un saut de pression de disjonction Π_d(h) induit par les interactions entre les interfacessolide/liquide et liquide/gaz s´epar´ees par l’´epaisseur h du film. La forme d’´equilibre macroscopique de l’interfaceliquide/gazau voisinage du point triple peut de retrouver en calibrant l’expres-sion de Π_d(h) par la m´ethode de Dejarguin [37].

Dans le cadre de ce travail, l’int´egration des effets de mouillage partiel se fait ´egalement via une pression de disjonction, on adopte cependant une m´ethode diff´erente de celle de Dejarguin. Plutˆot que de calibrer une pression de disjonction, on propose une m´ethode

´

equivalente qui consiste `a calibrer la densit´e d’´energie associ´ee aux interactions mol´eculaires (ou densit´e d’´energie de disjonction) not´eeedisj(h). Cette m´ethode pr´esente plusieurs avan-tages. D’une part, nous allons voir que travailler avec des ´energies (plutˆot qu’avec des pres-sions) peut s’expliquer de mani`ere physique. D’autre part, nous avons vu `a la remarque 8 que si nous trouvons l’expression de la densit´e d’´energie de disjonction edisj(h), la force lin´eique F_d(h) et la pression Π_d(h) associ´ees aux interactions mol´eculaires s’´ecrivent :

F^d(h) =h

∂e_disj

∂h

−e_disj(h) (3.91a)

Π^d(h) = ∂e_disj

∂h (3.91b)

On garantit ´egalement que le syst`eme de Saint Venant construit `a partir de la densit´e surfacique d’´energie du film (int´egrant celle des interactions mol´eculaires) donn´ee par

ef ilm(x, h, p, ρq) = ρ h u²

2 +ρ g^z h²

2 +γsl+γlg

q

1 +p²+edisj(h) (3.92) v´erifie toujours le bilan d’´energie (3.84) d´emontr´e `a la section 3.3.2.

3.4.2 Construction de la densit´e surfacique d’´energie de disjonction M´ethode de construction

Nous cherchons `a d´eterminer l’expressione<sub>disj</sub>(h) de la densit´e surfacique d’´energie de disjonction. Il existe plusieurs solutions qui d´ependent du degr´e de pr´ecision avec lequel nous souhaitons mod´eliser l’interfaceliquide/gazau voisinage du point triple. La premi`ere

approche consiste `a rechercher une expression exacte jusqu’`a des ´echelles mol´eculaires <

de l’ordre dunm pour retrouver la forme exacte de l’interface. Cependant, pour capturer num´eriquement ces ´echelles, il faut utiliser un pas de maillage extrˆemement fin (∆x∼ <), tr`es coˆuteux en temps de calcul.

La seconde approche, que nous avons adopt´ee, consiste `a trouver une expression sim-plifi´ee de e<sub>disj</sub>(h) qui permet de mod´eliser le comportement macroscopique d’un film partiellement mouillant au voisinage du point triple. Ainsi, nous souhaitons seulement retrouver une interface liquide/gaz qui forme un angleθs avec le substrat `a l’´echelle ma-croscopique, comme repr´esent´e sur la figure 3.8. On fait toutefois l’hypoth`ese (qui sera v´erifi´ee au chapitre 5) que l’interface rencontre le substrat sec avec une pente nulle, soit :

h→0lim p= lim

h→0 h_x = 0 (3.93)

Figure3.4 – Repr´esentation de la ligne triple `a diff´erentes ´echelles d’un liquide partielle-ment mouillant dans l’hypoth`ese lim

h→0 hx= 0.

On se place dans le cas d’un film liquide `a l’´equilibre sur un plan horizontal, le champ de vitesse en tout point x du film liquide est donc nul, et sa densit´e surfacique d’´energie est donn´ee par :

e_{f ilm}(x) = ρ g h²

2 +γ_sl+γ_lg q

1 +p²+e_disj(h) (3.94) Pour que e_disj(h) mod´elise une situation de mouillage partiel, caract´eris´ee par la pr´esence de zones mouill´ees et de zones s`eches, il faut qu’elle garantisse que la densit´e surfacique d’´energie du filmef ilm(h, hx) soit ´egale `a celle d’un substrat sec lorsque h= 0 et soit ´egale

`

a celle d’un substrat mouill´e lorsque h est grand devant le rayon d’action mol´eculaire <.

En s’appuyant sur la figure 3.5 qui d´ecrit ces deux situations, il ´evident que dans le cas d’un substrat sec (h= 0), la densit´e surfacique d’´energie du film est ´egale `a

e_{f ilm} (h= 0) =γ_sg (3.95)

A partir de cette condition aux limites, on a : e_{f ilm}(x, h= 0, p−→

h→00) =γ_sl+γ_lg+e_disj(h= 0) =γ_sg

=⇒ e_disj(h= 0) =γsg−γ_sl−γ_lg =S

(3.96)

3.4. PRISE EN COMPTE DES PH ´ENOM `ENES DE MOUILLAGE 101 avecS le param`etre d’´etalement introduit `a la section 1.2.2 qui est li´e `a l’angle de contact statiqueθ_s par :

S =γ_lg[cos(θs)−1] (3.97)

Dans le cas d’un substrat mouill´e par une ´epaisseur de film grande devant le rayon d’action mol´eculaire (h <), les interfaces solide/liquideetliquide/gaz sont trop ´eloign´ees pour interagir. Il n’existe donc plus de densit´e surfacique d’´energie associ´ee `a l’interaction de ces deux interfaces, ce qui signifie :

e_disj(h <) = 0 (3.98) Sachant que la pression de disjonction induite par les interactions mol´eculaires d´erive par d´efinition de la densit´e surfacique d’´energie via la relation (3.91a), on a :

e_disj(h= 0)−e_disj(h <) =− Z +∞

0

[Π_d(h)] dh=γ_lg[cos(θ_s)−1] (3.99) qui correspond exactement `a la relation augment´ee de Youg-Dupr´e (2.48) obtenu par Dejarguin que nous avons introduite `a la section 2.2.4 et qui prouve l’´equivalence de notre raisonnement.

Figure3.5 – Repr´esentation sch´ematique de l’´evolution de la densit´e d’´energie libre d’une tranche infinit´esimale de film liquide en fonction de son ´epaisseurh.

Proposition d’un mod`ele de densit´e d’´energie de disjonction

Ainsi, n’importe quelle expression de densit´e surfacique d’´energie de disjonction res-pectant les conditions aux limites (3.96) et (3.98) permet de mod´eliser une interface liquide/gazqui forme un angle macroscopique θsavec le substrat `a l’´equilibre. Pour cette raison, nous avons adopt´e une expression simple :

edisj(h) =γlg[cos(θs)−1] exp(−h/h∗) (3.100) qui relie continument la densit´e surfacique d’´energie d’un substrat sec `a celle d’un substrat mouill´e entre une ´epaisseur de film comprise entre h = 0 et h ≈ 5h∗. Le mod`ele choisi poss`ede donc deux param`etres r´eglables. Le premier est l’angle de contact statiqueθs qui modifie la mouillabilit´e du liquide. Le deuxi`eme est l’´epaisseurh∗ qui joue le role de rayon d’action des forces mol´eculaires, et dont le calibrage pour les applications num´eriques sera

´

etudi´e au chapitre 5. Ce mod`ele induit d’apr`es la relation (3.91a) une force lin´eiqueF^d(h) parall`ele au substrat ou une pression Π^d(h) donn´ees par :

F^d(h) =h

∂e_disj

∂h

−edisj(h) =γlg[1−cos(θs)]

1 + h

h∗

exp(−h/h∗) (3.101a) Π^d(h) = ∂edisj

∂h =γlg[1−cos(θs)] exp(−h/h_∗) h∗

(3.101b) et qui sont trac´ees sur la figure 3.6.

Figure 3.6 – Trac´e de la densit´e d’´energie de disjonction edisj(h), de la force lin´eique F^d(h) et de la pression de disjonction Π^d(h).

Le bilan de quantit´e de mouvement (3.51c) du syst`eme augment´e de Saint Venant s’´ecrit donc en tout pointx :

∂(ρq)

∂t + ∂

∂x(u ρq) + ∂

∂x

"

ρ g^z h²

2 +F^d(h)− γ_lg

p1 +p² −γ_sl

#

= ∂

∂x

"

−γ_lg h ∂

∂x

p p1 +p²

!#

+S(x, h, ρq)

(3.102)

3.4. PRISE EN COMPTE DES PH ´ENOM `ENES DE MOUILLAGE 103